【五年高考真题】2019届高考理科数学复习 第十章 第二节 二项式定理及其应用

第二节 二项式定理及其应用

考点一 二项展开式中项的系数

1．(2015·新课标全国Ⅰ，10)(x 2

＋x ＋y )5

的展开式中，x 5y 2

的系数为( ) A ．10

B ．20

C ．30

D ．60

解析 T k ＋1＝C k

5(x 2

＋x )

5－k y k

，∴k ＝2.

∴C 2

5(x 2

＋x )3y 2

的第r ＋1项为C 25C r 3x 2(3－r )x r y 2

，∴2(3－r )＋r ＝5，解得r ＝1，∴x 5y 2的系数

为C 25C 1

3＝30. 答案 C

2．(2014·四川，2)在x (1＋x )6的展开式中，含x 3

项的系数为( ) A ．30

B ．20

C ．15

D ．10

解析 只需求(1＋x )6

的展开式中含x 2

项的系数即可，而含x 2

项的系数为C 2

6＝15，故选C. 答案 C

3．(2014·湖南，4)⎝ ⎛⎭

⎪⎫12x －2y 5

的展开式中x 2y 3

的系数是( )

A ．－20

B ．－5

C ．5

D ．20

解析 展开式的通项为T k ＋1＝C k 5(12

x )5－k ·(－2y )k ＝(－1)k ·22k －5C k 5x 5－k ·y k

，令5－k ＝2，

得k ＝3.则展开式中x 2y 3的系数为(－1)3

·22×3－5C 3

5

＝－20，故选A.

答案 A

4．(2013·新课标全国Ⅱ，5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2

的系数为5，则a ＝( ) A ．－4

B ．－3

C ．－2

D ．－1

解析 已知(1＋ax )(1＋x )5

的展开式中x 2

的系数为C 2

5＋a ·C 1

5＝5，解得a ＝－1，故选D. 答案 D

5．(2012·湖北，5)设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 012

＋a 能被13整除，则a ＝( )

A ．0

B ．1

C ．11

D ．12

解析 由于51＝52－1，(52－1)2 012

＝C 0

2 01252

2 012

－C 1

2 012522 011

＋…－C 2 0112 012521

＋1，所以只需

1＋a 能被13整除，0≤a <13，所以a ＝12，选D. 答案 D

6．(2015·北京，9)在(2＋x )5

的展开式中，x 3

的系数为________(用数字作答)． 解析 展开式通项为：T r ＋1＝C r 525－r x r

，∴当r ＝3时，系数为C 35·2

5－3

＝40. 答案 40

7．(2015·天津，12)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14x 6

的展开式中，x 2

的系数为________．

解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14x 6的展开式的通项T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x r ＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫－14r

x 6－2r ； 当6－2r ＝2时，r ＝2，所以x 2的系数为

C 26

⎝ ⎛⎭⎪⎫－142

＝15

16

. 答案

1516

8．(2014·新课标全国Ⅰ，13)(x －y )(x ＋y )8

的展开式中x 2y 7

的系数为________(用数字填写答案)．

解析 由二项展开式公式可知，含x 2y 7

的项可表示为x ·C 7

8xy 7

－y ·C 68x 2y 6

，故(x －y )(x ＋

y )8的展开式中x 2y 7的系数为C 78－C 68＝C 18－C 2

8＝8－28＝－20.

答案 －20

9．(2014·新课标全国Ⅱ，13)(x ＋a )10

的展开式中，x 7

的系数为15，则a ＝________(用数字作答)． 解析 T r ＋1＝C r 10x 10－r a r

，令10－r ＝7，得r ＝3，∴C 310a 3

＝15，即

10×9×83×2×1

a 3

＝15，∴a 3＝

18，∴a ＝12. 答案 12

10．(2013·四川，11)二项式(x ＋y )5

的展开式中，含x 2y 3

的项的系数是________(用数字作答)．

解析 设二项式(x ＋y )5

的展开式的通项公式为T r ＋1，则T r ＋1＝C r 5x

5－r

·y r

，令r ＝3，则含

x 2y 3的项的系数是C 35＝10.

答案 10

11．(2012·浙江，14)若将函数f (x )＝x 5

表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2

＋…＋a 5(1＋x )5

，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________.