圆内接四边形性质定理

C
D ·O
B
A E
P
圆内接四边形性质定理证明：
如右图：圆内接四边形ABCD ，圆心为O ，延长BC 至E ，AC 、BD 交于P ，则： 一、圆内接四边形的对角互补：∠ABC+∠ADC=180°，∠BCD+∠BAD=180° 二、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角：∠DCE=∠BAD 三、圆内接四边形对应三角形相似：△BCP ∽△ADP 四、相交弦定理：AP×CP=BP×DP
五、托勒密定理：AB×CD+AD×CB=AC×BD
一、圆内接四边形的对角互补的证明（三种方法）
【证明】方法一：
利用一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。

如图，连接OB 、OD 则∠A=
21β，∠C=2
1
α ∵α+β=360°
∴∠A+∠C=2
1
×360°=180°
同理得∠B+∠D=180°
（也可利用四边形内角和等于360°）
【证明】方法二：
利用直径所对应的圆周角为直角。

设圆内接四边形ABCD
证明：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°
连接BO 并延长，交⊙O 于E 。

连接AE 、CE 。

则BE 为⊙O 的直径 ∴∠BAE=∠BCE=90° ∴∠BAE+∠BCE=180°
∴∠BAE+∠BCE-∠DAE+∠DAE=180° 即∠BAE-∠DAE+∠BCE+∠DAE=180°
∵∠DAE=∠DCE （同弧所对的圆周角相等） ∴∠BAE-∠DAE+∠BCE+∠DCE=180° 即∠BAD+∠BCD=180° ∠A+∠C=180°
∴∠B+∠D=360°-（∠A+∠C ）=180° （四边形内角和等于360°）
【证明】方法三：
利用四边形内角和为360°及同弧所对的圆周角均相等
连接AC 、BD ，将∠A 、∠B 、∠C 、∠D 分为八个角 ∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8 ∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8=360（四边形内角和为360°）
∠4=∠1，∠7=∠2，∠8=∠5，∠3=∠6 （同弧所对的圆周角相等）
∴∠1+∠2+∠5+∠6=2
1
×360°=180°
∵∠1+∠2=∠A ∠5+∠6=∠C ∴∠A+∠C=180°
∴∠B+∠D=360°-（∠A+∠C ）=180° （四边形内角和等于360°）
二、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角证明
如图，求证：∠DCE=∠BAD ∠BCD+∠DCE=180°（平角为180°）
∠BCD+∠BAD=180°（圆内接四边形的对角互补） ∴∠DCE=∠BAD
三、圆内接四边形对应三角形相似
如上图，求证：△BCP ∽△ADP ，△ABP ∽△DCP
证明： ∵∠CBP=∠DAP ，∠BCP=∠ADP （一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。

） 又∵∠APD=∠BPC （对顶角相等） C A
B
D
·O
α
β
C
D ·O
B
A E
P
·O B
C
D
1
2 4
3 5
6
7 8
∴△BCP ∽△ADP
∵∠BAP=∠CDP ，∠ABP=∠DCP
（一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。

） 又∵∠APB=∠DPC （对顶角相等） ∴△ABP ∽△DCP
四、相交弦定理
仍用上图，求证：AP×CP=BP×DP 证明：
∵△BCP ∽△ADP （圆内接四边形对应三角形相似） ∴CP
DP BP
AP =（相似三角形的三边对应成比例） ∴AP×CP=BP×DP
求证：如图，四边形ABCD 内接于圆O ，那么AB ×CD+AD ×BC=AC ×BD
【证明】方法一：
作辅助线AE ，使∠BAE=∠CAD ，交BD 于点E ∵∠ABE=∠ACD （同弧AD 所对的圆周角相等） 又∵∠BAE=∠CAD ∴△ABE ∽△ACD
∴CD BE AC AB =，即AB ×CD=AC ×BE (1)
∵∠BAE=∠CAD ∴∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC 即∠BAC=∠EAD
又∵∠ACB=∠ADE （同弧AB 所对的圆周角相等） ∴△ABC ∽△AED
∴AD
AC DE
BC =，即BC ×AD=AC ×DE (2)
(1)+(2),得
∴AB ×CD+BC ×AD=AC ×BE+AC ×DE=AC （BE+DE ）=AC ×BD
【证明】方法二：
利用西姆松定理证明托勒密定理。

（提示：本题要使用正弦定理），初三现有知识还不能求证。

广义托勒密定理
广义托勒密(Ptolemy)定理指出，圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘
积，其推论是任意凸四边形ABCD ，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC ，而且当ABCD 四点共圆时取等号。

内容：凸四边形对边乘积和≥对角线的积
托勒密定理的推论：任意凸四边形ABCD ，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC ，当且仅当ABCD 四点共圆时取等号。

证明如下：在四边形ABCD 中,连接AC 、BD,作∠ABE=∠ACD,∠BAE=∠CAD ，则△ABE ∽△ACD
∴ BE/CD=AB/AC,AB/AC=AE/AD ∴BE*AC=AB*CD ①,AB/AE=AC/AD ∵∠BAE=∠CAD
∴∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC 即∠BAC=∠DAE 又∵AB/AE=AC/AD,
∴△ABC ∽△AED ∴BC/ED=AC/AD ∴ED*AC=AD*BC② ①+②,得
AC*(BE+ED)=AB*CD+AD*BC 又∵BE+ED≥BD
∴AC*BD≤AB*CD+AD*BC
C
D ·O
B
A E
P
B A
C E
·O D
从而命题得证，
且仅当E点落在线段BD上时，等号成立
此时∠ABD=∠ACD
∴ABCD四点共圆
托勒密定理逆定理同样成立:一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积,
则这个凸四边形内接圆。