高三一轮复习平面向量知识点整理

⑶三角形不等式:

平面向量知识点整理

1、概念

（1） 向量：既有大小，又有方向的量. 有向线

段的三要素：起点、方向、长度.

（2） 单位向量：长度等于 1个单位的向量.

（3） 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 提醒：

① 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；

② 两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念： 两个向量平行包含两个向量共线

但两条直线平行不包含两条直线重合；

③ 平行向量无传递性！（因为有零向量） ④三点A B 、C 共线=AB 、AC 共线 长度相等且方向相同的向量.

长度相等方向相反的向量。 a 的相反向量是-a

数量：只有大小，没有方向的量.

(4) (5) 相等向量: 相反向量: (6) 向量表示: 几何表示法 AB ;字母a 表示；坐标表示：a = xi +y j =（x , y ）. (7)

向量的模: 设OA=α ,则有向线段QA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作:

|a|.

(8) (| a ,X 2 ∙ y 2, a? =| a |2 = X 2 ■ y 2。

零向量：长度为 O 的向量。a = O= I a I= O.

【例题】1.下列命题：（1）若 它们的起点相同，终点相同。

（3）若

ABCD 是平行四边形，则I

AB =DC o （5）若a=bb 毛，则a =C 。 则a 〃C 。其中正确的是 __________ Ub ,则a=b 0（2）两个向量相等的充要条件是 B

AB=DC ,则ABC^是平行四边形。（4）-若

6）若 a"b,b∕ c , 4

耳

2.已知a,b 均为单位向量，它们的夹角为60 ,那么|a 3b| （答:（4）（5））

（答: .13）；

2、向量加法运算

⑴三角形法则的特点：首尾相连.

⑵平行四边形法则的特点：

共起点.

J+⅛ = AB÷BC = AC J+^=. AB+AΓ = A?

a -七兰肾

⑷运算性质：①交换律：a b a；②结合律：a，"亠c=a，b^c ；

③ a 0=0 a=a.

⑸坐标运算：设a = χ1,y1 , b = x2, y2 ,贝U a x1 x2, y< y2 .

3、向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量.

⑵坐标运算：设a = Xι,yι , b = X2,y2 ,贝U W -b = x1 - x2,y1 - y2 .

、——一

设二、一m两点的坐标分别为χ∣,y1 , χ2, y2,则一二M =χ1-

χ2,y1-y2.

【例题】—一一.一

(1)① AB+BC+CD= ;② AB—AD—DC= ;

T —I -H-=⅛-- T r 4

③(AB _CDJ_(AC _BD) = ___________ (答：① AD ;② CB ;③ 0);

(2)若正方形ABCD 的边长为 1, AB = a,BC =b,AC =C ,则 |a b c| = __________

(答:2 2 );

(3)已知作用在点A(1,1)的三个力F1 = (3,4),F2 =(2, —5),W =(3,1),则合力

F3的终点坐标是_________

(答：(9,1))

4、向量数乘运算：

⑴实数■与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作■ a .

① a =■ ∣∣a ;

②当■ 0时，a的方向与a的方向相同；

4 4 T 呻

当■ ：：：0时，a的方向与a的方向相反；当■ =0时，∙a=0 .

⑵运算律：①'总；②声攸Y a—a」a:③，a b = a b.

⑶坐标运算：设 a=[.x,y ,则■ a =⅛[x,y [：i ；.x, ■ y .

--■ 1 」

【例题】(1)若M (-3, -2), N (6, -1),且MP—3 MN,则点P的坐标为____________

3

(答：(-6,-7));

3

5、向量共线定理：向量a a=0与b共线，当且仅当有唯一一个实数■,使

2 2

b「a .设 a = X1,y1 , b =他皿,(^Z O )二(a b) =(|a||b|) 0

【例题】 ⑴ 若向量2 = (x,1)j = (4,x),当X = _____ 时a 与b 共线且方向相同

Ht

片 I

L i L -

(答：2);

(2)已知 a =(1,1)b =(4, x) , u=α^2b , 3 = 2a+b ,且 UlIG ,贝U X= _______

(答：4);

,_ _ .

4 4 H ⅛ √ ⅛ 4

6 向量垂直： a _ b= a b = 0：= Iabl=Ia - bI ：= x 1x 2

y 1y 2

=0 .

【例题】 ⑴ 已知 O^ = (-1,2),O^≡(3,m),若 _OB ,则 m= ______________

(答:-)；

2

(2) 以原点O 和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB ,N B=90 则点B 的坐标是 _________

斗

胡 T * 」答：(1,3)或(3,-1));

(3) 已知暑=(a,b),向量n 丄m ,且d ，则m 的坐标是 ______________

(答:(b,—a)或(―b,a))

7、平面向量的数量积：

⑴a b=；a”bcose （2≠0,）.零向量与任一向量的数量积为o.

⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①a_b= a ∙b =O .②当a 与b 同向时，

a 2 =∖Q 2 或 a=J a ‘a .③

⑶运算律：①a b = b a ;②］L a b a b =

⑷坐标运算：设两个非零向量 a = x 1, y 1 , b = x 2,y 2 ,则Qb = x 1x< y 1y 2.

设a = x 1, y 1 , b = x 2,y 2 ,贝U a ⊥b= a 〃 b = 0= x 1x 2+ y 1y 2= 0

∙

贝V a // b ：= a = λ b(b≠ 0)：= x 1y 2= x 2y 1.

两点间的距离：若A(X lf y I ),B(x 2i y 2 )f 贝9 ABA J(x

2-码『+(乃一Hr

设a 、b 都是非零向量，a=x ∣,y 1 , b=X 2,y 2 ,二是a 与b 的夹角，则 -X ^ 絆 2 ； (注 ∣a ∙b μ∣a ∣∣b ∣)

% y 1 ；X2 y 2

若 a = X, y ,贝U =x 2

y 2, 或 a =pχ2 + y 2

.

;当a 与b 反向时，a b = -；a| b ; b

≤∣a%ι.

a ■

b ;③ a b

c = a c b c .

COST = a