正余弦函数的图像与性质

正余弦函数的图像与性质

例题1.值域最值:

三角函数最值问题的解题技巧

三角函数的最值问题,是三角函数基础知识的综合应用,它与二次函数、三角函数的单调性、三角函数的图像等知识联系在一起,该问题综合性强,解题方法也多样化.解这类问题是运算能力、分析问题和解决问题能力的综合体现,有一定的难度,要注意灵活选用方法.下面介绍解三角函数最值问题的常见方法.

1、形如sin y a x b =+型的函数的最值

例题:1)求函数2sin3y x =-的最值及取得最值时自变量x 的集合

2)函数32sin(2),,334y x x πππ⎡⎤

=-∈⎢⎥⎣⎦

的值域是____

练习:1)求函数1)3

2sin(2++

=π

x y 的最值,并求出相应自变量x 的取值范围

2)已知函数)32sin(2)(π-

=x x f ,若]2

,4[π

π∈x ,求函数)(x f y =的最值以及相应自变量x 的值. 2、形如x b x a y cos sin +=型的函数的最值.

例题: 1)求函数x x x x f sin )cos (sin )(⋅-=的最值

2)已知(1,2sin )a x =，(3cos 2,cos )b x x =-,设函数()f x ＝a ·

b .若[],0x ∈-π,求)(x f y =的最大值、最小值并求出对应的x 值 3) 当-

≤≤

=+π

π

2

2

3x y x x 时，函数的（）sin cos A.最大值为1,最小值为-1

B.最大值为1,最小值为-

1

2

C.最大值为2,最小值为-2

D.最大值为2,最小值为-1 4)已知函数x x x f 2cos 3)4(sin 2)(2

-+=π

,若不等式2)(≥-m x f 在]2

,4[π

π∈x 上恒成立.求m 的取值范围.)2|)((|≤-m x f

2、形如c x b x a y ++=sin sin 2)0(≠a 型的函数的最值.

这类问题最后化为二次函数的三角最值问题,利用三角函数的有界性1)(cos sin 1≤≤-x x ,并结

合二次函数的性质求得结论.闭区间上的二次函数一定存在最大值、最小值,并且最大值、最小值又一定在极值点或区间端点处获得.

例题:求函数1sin sin 2

++=x x y ,6sin 4cos 42

+--=x x y 的最值. 练习:1)函数22sin 2cos 3y x x =+-的最值 2)求函数x x y sin cos 2

+=在区间[,]44

ππ

-

上的最小值. 3)求函数6sin 42cos 4+--=x x y 的最值.

4）已知函数(x)f 2

2cos 2sin 4cos x x x =+-。求(x)f 的最大值和最小值。

3、含有x x x x cos sin ,cos sin +的函数的最值问题.

通常方法是换元法:令)22(cos sin ≤≤-+=t x x t ,将x x cos sin 转化为t 的关系式,从而使问题转化为二次函数的最值问题.但要注意换元后变量的取值范围. 例题:求函数x x x x y cos sin cos sin ++=的最大值.

练习:函数x

x x

x x f cos sin 1cos sin )(++=

的值域为______________.

由以上几种形式,可以归纳出解三角函数最值问题的基本方法:一是应用正弦、余弦函数的有界性来求；二是利用二次函数闭区间内求最大值、最小值的方法；三是利用重要不等式或利用数形结合的方法来解决.

4、形如d x c b x a y ++=

sin sin 或b

x a y +=sin (了解内容)

例题:求函数x

x y sin 2cos 2+-=练习:1)求函数x x y cos 232sin -+=求函数2

sin sin +=x x y 的最值

说明: 个定点与动点的直线斜率的最值问题.

例题2.周期性

)421sin(2π-=x y )32sin(+=x y π )6

2cos(π

+-=x y

练习:（1)函数)4sin(π

ω+

=x y 的图像相邻两条对称轴之间的距离等于

3

π

,求ω的值.

（2)直线1=y 与函数)4sin(πω+=x y 的图像相邻两交点之间的距离等于3

π

,求ω的值和周期.

（3)已知函数)4

sin(π

ω+=x y ,若对任意x R ∈都有12()()()f x f x f x ≤≤成立,且12||x x -的最小

值为6

π

,求ω的值

（4）设函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3

π

个单位长度后，所得的图像与

原图像重合，则ω的最小值等于

(A)

1

3

(B)3 (C)6 (D)9 【答案】：C 【命题意图】：本小题主要考查三角函数及三角函数图像的平移变换、周期等有关知识。 【解析】：由题意知

3

π

为函数()()cos 0f x x ωω=>周期的正整数倍，所以*2(),663

k k N k π

π

ωω

=•

∈=≥，故ω的最小值等于6.

例题3.单调性

例题:1、求函数)3

2sin(2)(π

-

=x x f 的单调增区间（或在区间[0,]π上的单增区间).

2、α、β、γ均为锐角,若31sin =α,2tan =β,4

3

cos =γ,则α、β、γ的大小顺序是（ )A.γβα<< B.βγα<< C.αβγ<< D.αγβ<<

练习:（1)求函数)3

2sin(2)(π

+-=x x f 的单调增区间.

（2)比较13cos 6sin 6,22a =

-22tan131tan 13b =+,1cos502

c -=的大小 例题4. 对称性

1)函数x y 2

1

sin =的图象的一条对称轴的方程是______

A 0=x

B 2

π

=

x C π=x D π2=x

2)设函数()sin(2) (0),f x x ϕπϕ=+-<<()y f x =的一条对称轴是直线8

x π

=.求ϕ得值；

练习:1)下列函数中,最小正周期为π,且图象关于直线3

x π

=

对称的是（ ). A.)62sin(+=x y B.sin()26x y π=+ C.sin(2)6y x π=- D.sin(2)3

y x π

=-

3)以下命题中,正确命题的序号是: