(整理)习题71定积分的概念和可积条件.

第七章 定积分

习 题 7.1 定积分的概念和可积条件

1. 用定义计算下列定积分：

⑴

()ax b dx +⎰01

;

⑵

a dx x 01

⎰ (a >0).

解 （1）取划分：11210<-<<<<

n n n n ，及 ),,2,1(n i n

i i ==ξ，则 n

x i 1

=∆，于是

)(2

)11(21)(1

∞→+→++=+∑=n b a

b n a n b n i a

n

i ，即 b a

dx b ax +=

+⎰

2

)(1

。 （2）取划分：11210<-<<<<

n n n n ，及 ),,2,1(n i n

i i ==ξ，则 n x i 1=∆，

于是 )

1()

1(1111n

n

n

i n

i a n a a n a --=∑=。因为 )(ln 111

∞→→-n a n

a n

，)(11

∞→→n a n ，所以a

a a n a a n a

n n

n

i n

i ln 1

)

1()1(11

11

-→--=∑=， 即

a

a dx a x ln 1

1

-=

⎰

。 ⒉ 证明，若对[,]a b 的任意划分和任意∈i ξ[,]x x i i -1，极限∑=→∆n

i i i x f 1

)(lim ξλ都存

在，则f x ()必是[,]a b 上的有界函数。

证 用反证法。设∑=→∆n

i i i x f 10

)(lim ξλI =，则取0,1>∃=δε，对任意的划分P 与任意

1[,]i i i x x ξ-∈，只要δλ<∆=≤≤)(max 1i n

i x ， 就有1)(1

+<∆∑=I x f n

i i i ξ。

取定了划分后，n 与(1,2,

)i x i n ∆=也就确定，如果f x ()在[,]a b 上无界，则

必定存在小区间1[,]i i x x -，f x ()在1[,]i i x x -上无界。取定

111,,,,,i i n ξξξξ-+，必可取到i ξ，使

1)(1

+<∆∑=I x

f n

i i

i

ξ 不成立，从而产

生矛盾，所以f x ()必是[,]a b 上的有界函数。

⒊ 证明Darboux 定理的后半部分：对任意有界函数f x ()，恒有

l i m ()λ→=0

S P l 。

证 0>∀ε，因为l 是S 的上确界，所以 S ∈'∃)(P S ，使得 2

)(0ε

<

'-≤P S l 。

设划分b x x x x a P p ='<<'<'<'=' 210

:，m M ,是f x ()的上、下确界，取 ⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛

--'∆'∆'∆=))(1(2,,,,min 21

m M p x x x p ε

δ ， 对任意一个满足δλ<∆=≤≤)(max 1i n

i x 的划分

b x x x x a P n =<<<<= 210:，

记与其相应的小和为)(P S ，现将P P ,'的分点合在一起组成新的划分P ''，则由引理7.1.1，0)()(≤''-'P S P S 。

下面来估计)()(P S P S -''：

（1）若在),(1i i x x -中没有P '的分点，则)(),(P S P S ''中的相应项相同，它们的差为零；

（2）若在),(1i i x x -中含有P '的分点，由于两种划分的端点重合，所 以这样的区间至多只有1-p 个。由δ的取法，可知 p j n i x x j i ,,2,1,,,2,1, =='∆≤≤∆δ，

所以在),(1i i x x -中只有一个新插入的分点j x '，这时)(),(P S P S ''中的相 应项的差为

)()]()([11----'-''+-''i i i j i i i j i x x m x x m x x m ))((1---≤i i x x m M δ)(m M -<， 从而 2

))(1()()(0ε

δ≤--<-''≤m M p P S P S 。

综合上面的结论，就有

)]()([)]()([)]([)(0P S P S P S P S P S l P S l -''+''-'+'-=-≤εε

ε

=+

+<2

02

，

即

l P S =→)(lim 0

λ。

⒋ 证明定理7.1.3。

证 必要性是显然的，下面证充分性。

设 0>∀ε，存在一种划分P '，使得相应的振幅满足3

1ε

ω<

'∆'∑=p

i i i x ，

即3)()(ε

<

'-'P S P S 。取⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--'∆'∆'∆=))(1(3,,,,min 21m M p x x x p εδ ，对任意一 个满足δλ<∆=≤≤)(max 1i n

i x 的划分

b x x x x a P n =<<<<= 210:，

现将P P ,'的分点合在一起组成新的划分P ''，则由Darboux 定理的证明过程，可得

)]

()([)]()([)]()([)]()([)]()([)()(0P S P S P S P S P S P S P S P S P S P S P S P S -''+''-'+'-'+

'-''+''-=-≤

εε

ε

ε

=+

++

+<

3

03

03

，

由定理7.1.1，可知)(x f 在],[b a 上可积。 ⒌ 讨论下列函数在 [0,1] 的可积性：

⑴ f x ()⎩

⎨

⎧=≠-=;0,0,0],[1

1x x x x

⑵ f x ()⎩⎨

⎧-=;,1,

,1为无理数为有理数x x ⑶ f x ()⎩

⎨

⎧=;,,

,0为无理数为有理数x x x

⑷ f x ()⎩

⎨⎧=≠=.0,0,0),sgn(sin x x x π 解：（1）0()1f x ≤<，且)(x f 在[0,1]上的不连续点为111

,,,,23x n

=与

0x =。0>∀ε，取定ε2>m ，)(x f 在区间]1,1

[m

上只有有限个不连续点，

所以)(x f 在]1,1[m 上可积，即存在]1,1

[m

的一个划分P ，使得

2

1

ε

ω<

∆∑=n

i i i x ，将P 的分点和0合在一起，作为[0,1]的划分'P ，则

εε

ε

ωωω=+

<

'∆'+∆='∆'∑∑=+=2

2

111

11

x x x n

i i i n i i i ，

由定理7.1.3，)(x f 在[0,1]上可积。