行星模型

模型组合讲解——行星模型

［模型概述］

所谓“行星”模型指卫星绕中心天体，或核外电子绕原子旋转。它们隶属圆周运动，但涉及到力、电、能知识，属于每年高考必考内容。

［模型讲解］

例1. 已知氢原子处于基态时，核外电子绕核运动的轨道半径m r 101105.0-⨯=，则氢原子处于量子数=n 1、2、3，核外电子绕核运动的速度之比和周期之比为：（ ） A. 3:2:1::321=v v v ；3333211:2:3::=T T T B. 3

3

3213213:2:1::;3

1:

2

1:

1::==T T T v v v

C. 3

33213213

1:

2

1:1::;2:3:6::==T T T v v v

D. 以上答案均不对。

解析：根据经典理论，氢原子核外电子绕核作匀速率圆周运动时，由库仑力提供向心力。 即

r

v

m

r

ke 2

2

2

=，从而得

线速度为mr

k e

v =

周期为v

r T π2=

又根据玻尔理论，对应于不同量子数的轨道半径n r 与基态时轨道半径r 1有下述关系式：

12

r n r n =。

由以上几式可得v 的通式为：

n

v mr k n

e v n 11

==

所以电子在第1、2、3不同轨道上运动速度之比为：

2:3:63

1:21:

1::321==v v v

而周期的通式为：

13

1

13

112

2/22T n v r n

n

v r n v

r T ====πππ

所以，电子在第1、2、3不同轨道上运动周期之比为：

3

3

3

3213:2:1::=T T T

由此可知，只有选项B 是正确的。

例2. 卫星做圆周运动，由于大气阻力的作用，其轨道的高度将逐渐变化（由于高度变化很缓慢，变化过程中的任一时刻，仍可认为卫星满足匀速圆周运动的规律），下述关于卫星运动的一些物理量的变化情况正确的是：（ ） A. 线速度减小；B. 轨道半径增大；C. 向心加速度增大；D. 周期增大。

解析：假设轨道半径不变，由于大气阻力使线速度减小，因而需要的向心力减小，而提供向心力的万有引力不变，故提供的向心力大于需要的向心力，卫星将做向心运动而使轨道半径减小，由于卫星在变轨后的轨道上运动时，满足3

2

r T

r GM v ∝=

和，故v 增大而T

减小，又2

r

GM m

F a =

=

引，故a 增大，则选项C 正确。

评点：一般情况下运行的卫星，其所受万有引力不刚好提供向心力，此时，卫星的运动速率及轨道半径就要发生变化，万有引力做功，我们将其称为不稳定运动即变轨运动；而当它所受万有引力刚好提供向心力时，它的运行速率就不再发生变化，轨道半径确定不变从而做匀速圆周运动，我们称为稳定运行。

对于稳定运动状态的卫星，(1)运行速率不变；(2)轨道半径不变；(3)万有引力提供向心力，即r

mv r

GMm 2

2

=

成立，其运行速度与其运动轨道处于一一对应关系，即每一轨道都有一确

定速度相对应。而不稳定运行的卫星则不具备上述关系，其运行速率和轨道半径都在发生着变化。

［模型要点］

人造卫星的运动属于宏观现象，氢原子中电子的运动属于微观现象，由于支配卫星和电子运动的力遵循平方反比律，即2

1r

F ∝，故它们在物理模型上和运动规律的描述上有相似

点。

［特别说明］

一. 线速度与轨道半径的关系

设地球的质量为M ，卫星质量为m ，卫星在半径为r 的轨道上运行，其线速度为v ，可知r

v

m

r

GMm 2

2

=，从而1

,-∝=

r

v r

GM v 即。

设质量为'm 、带电量为e 的电子在第n 条可能轨道上运动，其线速度大小为v ，则有

n

n

r v

m

r ke 2

2

2

=，从而1

2

,-∝

=

n

n

r v mr ke

v 即。

可见，卫星或电子的线速度都与轨道半径的平方根成反比。

二. 动能与轨道半径的关系 卫星运动的动能为r

E r

GMm E k k 12∝

=

即。

氢原子核外电子运动的动能为：

n

k n

k r E r ke

E 122

∝

=

即

可见，在这两类现象中，卫星与电子的动能都与轨道半径成反比。

三. 运动周期与轨道半径的关系

对卫星而言，v

r T π2=，将v 与r 的关系式代入，得3

2

3

22

,4r T

GM

r T

∝=

即π。

对于电子，同样可得到这个关系式3

2

n r T

∝。

该式即为开普勒第三定律，解题时可以直接使用。

四. 能量与轨道半径的关系

运动物体能量等于其动能与势能之和，即p k E E E +=。

从离地球较远轨道向离地球较近轨道运动，万有引力做正功，势能减少，动能增大，总能量减少

从离氢原子较远轨道向离氢原子较近轨道运动，库仑力做正功，电势能减少，动能增大，总能量减少。

推论：卫星（或电子）的轨道半径与卫星（或电子）在该轨道上的能量的乘积不变。 由于描述运动规律的各物理量都是轨道半径r 的函数，故各个物理量之间的关系都可以通过r 这个桥梁来相互转化，一个量变化，其他各量都随之变化。

五. 地球同步卫星

1. 地球同步卫星的轨道平面：非同步人造地球卫星其轨道平面可与地轴有任意夹角，而同步卫星一定位于赤道的正上方，不可能在与赤道平行的其他平面上。

2. 地球同步卫星的周期：地球同步卫星的运转周期与地球自转周期相同。

3. 地球同步卫星的轨道半径：据牛顿第二定律有

03

20

2

02

,,ωω

ωGM

r r m r

GMm =

=得与

地球自转角速度相同，所以地球同步卫星的轨道半径为km r 4

1024.4⨯=。其离地面高度也