苏教版数学高二- 选修1-1学案 椭圆的几何性质

2.2.2 椭圆的几何性质

课时目标

1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.

2.明确标准方程中a ，b 以及c ，e 的几何意义，a 、b 、c 、e 之间的相互关系.

3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题．

1．若椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b

2＝1 (a>b>0)． (1)方程中x 、y 的取值范围分别为______________．

(2)椭圆关于________、________和________都是对称的，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做________________．

(3)椭圆的四个顶点坐标为________________________________________．长轴长为________，短轴长为________．

2．椭圆的焦距与长轴长的比e ＝________，叫做椭圆的离心率，离心率e 的范围

________．当e 越接近1，椭圆________，当e 越接近于______，椭圆就越接近于圆．

一、填空题

1．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为________．

2．P 是长轴在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b

2＝1上的点，F 1、F 2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ，则PF 1·PF 2的最大值与最小值之差一定是________．

3.已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点.满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心

率的取值范围为________．

4．设0

＝1与x 225＋y 29＝1具有相同的________． 5．如图所示，A 、B 、C 分别

为椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1 (a>b>0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该椭圆的离心率为________． 6．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为

55

，且过点P(－5,4)，则椭圆的

方程为______________．

7．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b

2＝1 (a>b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为______．

8．椭圆上x 29＋y 225

＝1上到两个焦点F 1，F 2距离之积最大的点的坐标是________． 二、解答题

9.

如图，已知P 是椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1 (a>b>0)上且位于第一象限的一点，F 是椭圆的右焦点，O 是椭圆中心，B 是椭圆的上顶点，H 是直线x ＝－a 2c

(c 是椭圆的半焦距)与x 轴的交点，若PF∠OF ，HB∠OP ，试求椭圆的离心率e.

10.已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m.

(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；

(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．

能力提升

11．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为________．

12．已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F 1(－3，

0)，且右顶点为D(2,0)．设点A 的坐标是⎝⎛⎭

⎫1，12. (1)求该椭圆的标准方程；

(2)若P 是椭圆上的动点，求线段PA 的中点M 的轨迹方程．

1．椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围，在求解一些存在性和判断性问题中有着重要的应用．

2．椭圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形．椭圆的对称性在解决直线与椭圆的位置关系以及一些有关面积的计算问题时，往往能起到化繁为简的作用．

3．椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量，通过解方程或不等式可以求得离心率的值或范围．

4．在与椭圆有关的求轨迹方程的问题中要注意挖掘几何中的等量关系．

2．2.2 椭圆的几何性质

知识梳理

1．(1) (2)x 轴 y 轴 原点 椭圆的中心 (3)A 1(－a,0)、A 2(a,0)、B 1(0，－b)、B 2(0，b) 2a 2b

2.c a

0

1.14 解析 由题意可得2

1m ＝2×2，解得m ＝14

. 2．c 2

解析 由椭圆的几何性质得PF 1∠，

PF 1＋PF 2＝2a ，

所以PF 1·PF 2≤⎝⎛⎭⎫PF 1＋PF 222＝a 2，当且仅当PF 1＝PF 2时取等号． PF 1·PF 2＝PF 1(2a －PF 1)＝－PF 21＋2aPF 1＝－(PF 1－a)2＋a 2≥－c 2＋a 2＝b 2，

所以PF 1·PF 2最大值与最小值之差为a 2－b 2＝c 2.

3.⎝⎛⎭

⎫0，22 解析 ∠MF 1→·MF 2→＝0，∠M 点轨迹方程为x 2＋y 2＝c 2，其中F 1F 2为直径，

由题意知椭圆上的点在圆x 2＋y 2＝c 2外部，

设点P 为椭圆上任意一点，则OP>c 恒成立，

由椭圆性质知OP≥b ，其中b 为椭圆短半轴长，

∠b>c ，∠c 22c 2，

∠⎝⎛⎭⎫c a 2<12，∠e ＝c a <22

. 又∠0

22

. 4．焦距

解析 由0

＝1焦点在y 轴上，焦距为8.而椭圆x 225＋y 2

9

＝1的焦点在x 轴上，焦距也为8. 5.－1＋52 解析 由(a ＋c)2＝a 2＋2b 2＋c 2，得b 2＝ac ，

又∠b 2＝a 2－c 2，∠c 2＋ac －a 2＝0，

∠e ＝c a ，∠e 2＋e －1＝0，∠e ＝－1＋52

. 6.x 245＋y 236

＝1 解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)，将点(－5,4)代入得25a 2＋16b

2＝1， 又离心率e ＝c a ＝55，即e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15

，解之得a 2＝45，b 2＝36， 故椭圆的方程为x 245＋y 2

36

＝1. 7.255

解析 由题意知椭圆的焦点在x 轴上，又直线x ＋2y －2＝0与x 轴、y 轴的交点分别为

(2,0)、(0,1)，它们分别是椭圆的焦点与顶点，所以b ＝1，c ＝2，从而a ＝5，e ＝c a ＝255

. 8．(±3,0)

解析 设椭圆上的动点为P ，由椭圆定义可知

PF 1＋PF 2＝2a ＝10，

所以PF 1×PF 2≤⎝⎛⎭⎫PF 1＋PF 222 ＝⎝⎛⎭⎫1022＝25，

当且仅当PF 1＝PF 2时取等号；

由⎩⎪⎨⎪⎧

PF 1＋PF 2＝10；PF 1＝PF 2. 解得PF 1＝PF 2＝5＝a ，此时点P 恰好是椭圆短轴的两个端点，即P(±3,0)．