关于刚体的基本运动
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B1, 分别作垂直于A A 、BB 的圆弧, 此两圆弧相交 于 C 点.
连接 OC 并以 OC 为轴( 如果位移是在 dt 时 间完成, 此轴通常称为转动瞬轴, 简称为瞬时轴) . 则A B 位移可通过绕此轴转某一角度实现.
因为刚体在运动过程中形状不变, 故有 AB = A B
又因为 A C = A C , BC = B C 所以球面三角形 A CB 和 A CB 全等, 于是
dr B dt
=
d rA dt
+
!A
rB
( 3)
r! = r - rB
( 4)
此处的!B 为刚体绕基点 B 的转动角速度.
又因为
r = rB + r!
dr dt
=
drB + dt
!B
r!
( 5)
由式( 1) 、( 3) 、( 4) 、( 5) 可得
!A ( r - rB ) = !B ( r - rB ) ( 6) 由于 A 、B、P 是刚体上任意的点, 即r - rB 是任意 的, 所以
!A = !B 这样就证明了刚体转动的角速度与基点的选取无
关, 至此, 定理一得证. 定理二( 位移定理) : 刚体定点运动的任一位
移, 可由它绕过定点的某轴作转动而得到. 下面给出该定理证明. 刚体绕某固定点转动时, 刚体上的所有其他
点只能在以此点为中心的球面上运动. 同时. 在过 固定点的任一直线上的刚体中各点, 其运动的轨 迹是相似的同心球面曲线. 因而只须讨论任一球 面上各点的运动即可. 而确定某一球面上各点的 位置. 事实上只要确定其上任意两点( 或连接此两 点的圆弧) 的位置即可.
A x y z , 设动系绕基点 A 旋转的角速度为!A , 刚体 上任一点 P 相对动静两系的位矢分别为r 和r , 如 图 1 所示, 由图 1 可知
r = rA + r 利用绝对微商与相对微商的关系, 可求得 P 点的
绝对速度
V=
dr dt
=
d rA dt
+
dr dt
=
d rA dt
+
dr dt
图2
以定点 O 为球心, 任意长为半径作一球面, A 和 B 是球Baidu Nhomakorabea上的任意两点. 连接 A 、B 成圆弧A B ,
且令其为初位置, 其终位置为A B , 如图 2 所示. 定理二要求证明. 由初位置A B 到终位置A B , 可 绕通过定点 O 的某一轴经过一次转动达到.
作圆弧A A 、BB , 且过A A 及BB 的中点 A 1,
基点的平动位移与绕基点转动所致位移的叠加.
为了证明 刚体的 转动角 速度与 基点选 择无
关, 我们在刚体上任取另外一点 B, 它相对 A 点的
位矢为rB , 相对静系的位矢为rB . P 点相对 B 点的
位矢为r!, 则有
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物理与工程 Vol. 19 No. 3 2009
r B = rA + r B
+
!A
r
由于
dr dt
=
0
所以
V=
drA dt
+
!A
r
( 1)
此式可改写如下
dr = drA + d∀A r
( 2)
d ∀A 为刚体在 dt 时间内绕基点 A 转过的角位移.
式( 2) 中, 第一项 drA 对刚体内所 有点都一样, 称
为刚体的平动位移. 第二项是绕基点 A 转动的贡 献. 式( 2) 说明, 刚体作一般运动的位移 dr 等于随
THE BASIC MOTION OF RIGID BODY
Zou Yong Xu Binfu Zhang Keqin
( College of Physics Science and Techn ol ogy, Wu han U nivers ity, W uhan, H ubei 430072)
Abstract T his art icle has induced t w o t heo rems w hich are helpf ul to co mpr ehend and solve t he mot ion of rig id bo dy. Key Words basic mot ion; t ranslat ion; f ixed axis rot at io n
∀A CB = ∀A CB ∀A CB + ∀ BCA = ∀A CB + ∀ BCA ∀A CA = ∀BCB 上式表明, 如果刚体绕 OC 轴转一角度 ∀A CA ( 或 ∀ BCB ) , 则 A 和 B 分别与 A 、B 重合, 即 A B 与 A B 重合. 至此. 定理二得证. 由定理一可知: 刚 体的一般运动可看成随基 点的平动和绕基点的转动( 定点转动) , 即刚体的 一般运动可视为平动和定点转动的合成, 而定点 转动还不是基本的, 根据定理二, 由于刚体的实际 运动是连续的, 定点转动可视为绕一系列瞬时轴 的连续转动. 瞬时轴始 终过定 点, 但 在不同 的瞬 时, 瞬时轴的位置不同. 到这里, 我们就可以理解 # 刚体的基本运动分为平动和转动两种, 刚体的一 般 运动可 以看 成是 平动 和转 动的 合成 运动∃ 了.
定理一( 恰斯尔定理) : 刚体的一般运动可以 分解为随基点的平动和绕基点的转动. 基点的选 择具有任意性, 它既可以在刚体上, 又可以在刚体 外( 但必须与刚体保持刚性连接) . 刚体转动的角 速度与基点选择无关. 下面予以证明.
图1
在刚体上任选一基点 A , 它相对静系 O 的
位矢为rA , 以 A 为原点建立一与刚体固连的动系
参考文献
[ 1] 程守洙. 普通物理学 第五版. 北京: 高等教育出版社, 1996 [ 2] 马文蔚. 物理学 第四版. 北京: 高等教育出版社, 2002 [ 3] 许定安, 王 波, 丁 棣 华. 经 典 力 学. 武 汉: 武 汉 大 学 出 版
社, 1996
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物理与工程 Vol. 19 N o. 3 2009
关于刚体的基本运动
邹 勇 徐斌富 章可钦 ( 武汉大学物理科学与技术学院, 湖北 武汉 430072)
( 收稿日期: 2008 11 24; 修回日期: 2009 01 01)
摘要 关键词
文中介绍了恰斯尔定理和位移定理及两个定理的证明, 最后得出刚体的一般运动都可 看成是平动和定轴转动的合成运动的结论. 这对于理解和处理刚体的运动是有益的. 基本运动; 平动; 定轴转动
在许多普通物理的教材中, 关于刚体的运动 是这样描述的: 刚体的基本运动分为平动和转动 两种, 刚体的一般运动可以看成是平动和转动的 合成运动. 这里所说的转动是指绕轴转动. 那么, 为什么刚体的基本运动是平动和转动? 为什么刚 体的一般运动可以看成是平动和转动的合成运动 呢? 为了回答这个问题, 下面先介绍两个定理及 其证明.
连接 OC 并以 OC 为轴( 如果位移是在 dt 时 间完成, 此轴通常称为转动瞬轴, 简称为瞬时轴) . 则A B 位移可通过绕此轴转某一角度实现.
因为刚体在运动过程中形状不变, 故有 AB = A B
又因为 A C = A C , BC = B C 所以球面三角形 A CB 和 A CB 全等, 于是
dr B dt
=
d rA dt
+
!A
rB
( 3)
r! = r - rB
( 4)
此处的!B 为刚体绕基点 B 的转动角速度.
又因为
r = rB + r!
dr dt
=
drB + dt
!B
r!
( 5)
由式( 1) 、( 3) 、( 4) 、( 5) 可得
!A ( r - rB ) = !B ( r - rB ) ( 6) 由于 A 、B、P 是刚体上任意的点, 即r - rB 是任意 的, 所以
!A = !B 这样就证明了刚体转动的角速度与基点的选取无
关, 至此, 定理一得证. 定理二( 位移定理) : 刚体定点运动的任一位
移, 可由它绕过定点的某轴作转动而得到. 下面给出该定理证明. 刚体绕某固定点转动时, 刚体上的所有其他
点只能在以此点为中心的球面上运动. 同时. 在过 固定点的任一直线上的刚体中各点, 其运动的轨 迹是相似的同心球面曲线. 因而只须讨论任一球 面上各点的运动即可. 而确定某一球面上各点的 位置. 事实上只要确定其上任意两点( 或连接此两 点的圆弧) 的位置即可.
A x y z , 设动系绕基点 A 旋转的角速度为!A , 刚体 上任一点 P 相对动静两系的位矢分别为r 和r , 如 图 1 所示, 由图 1 可知
r = rA + r 利用绝对微商与相对微商的关系, 可求得 P 点的
绝对速度
V=
dr dt
=
d rA dt
+
dr dt
=
d rA dt
+
dr dt
图2
以定点 O 为球心, 任意长为半径作一球面, A 和 B 是球Baidu Nhomakorabea上的任意两点. 连接 A 、B 成圆弧A B ,
且令其为初位置, 其终位置为A B , 如图 2 所示. 定理二要求证明. 由初位置A B 到终位置A B , 可 绕通过定点 O 的某一轴经过一次转动达到.
作圆弧A A 、BB , 且过A A 及BB 的中点 A 1,
基点的平动位移与绕基点转动所致位移的叠加.
为了证明 刚体的 转动角 速度与 基点选 择无
关, 我们在刚体上任取另外一点 B, 它相对 A 点的
位矢为rB , 相对静系的位矢为rB . P 点相对 B 点的
位矢为r!, 则有
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物理与工程 Vol. 19 No. 3 2009
r B = rA + r B
+
!A
r
由于
dr dt
=
0
所以
V=
drA dt
+
!A
r
( 1)
此式可改写如下
dr = drA + d∀A r
( 2)
d ∀A 为刚体在 dt 时间内绕基点 A 转过的角位移.
式( 2) 中, 第一项 drA 对刚体内所 有点都一样, 称
为刚体的平动位移. 第二项是绕基点 A 转动的贡 献. 式( 2) 说明, 刚体作一般运动的位移 dr 等于随
THE BASIC MOTION OF RIGID BODY
Zou Yong Xu Binfu Zhang Keqin
( College of Physics Science and Techn ol ogy, Wu han U nivers ity, W uhan, H ubei 430072)
Abstract T his art icle has induced t w o t heo rems w hich are helpf ul to co mpr ehend and solve t he mot ion of rig id bo dy. Key Words basic mot ion; t ranslat ion; f ixed axis rot at io n
∀A CB = ∀A CB ∀A CB + ∀ BCA = ∀A CB + ∀ BCA ∀A CA = ∀BCB 上式表明, 如果刚体绕 OC 轴转一角度 ∀A CA ( 或 ∀ BCB ) , 则 A 和 B 分别与 A 、B 重合, 即 A B 与 A B 重合. 至此. 定理二得证. 由定理一可知: 刚 体的一般运动可看成随基 点的平动和绕基点的转动( 定点转动) , 即刚体的 一般运动可视为平动和定点转动的合成, 而定点 转动还不是基本的, 根据定理二, 由于刚体的实际 运动是连续的, 定点转动可视为绕一系列瞬时轴 的连续转动. 瞬时轴始 终过定 点, 但 在不同 的瞬 时, 瞬时轴的位置不同. 到这里, 我们就可以理解 # 刚体的基本运动分为平动和转动两种, 刚体的一 般 运动可 以看 成是 平动 和转 动的 合成 运动∃ 了.
定理一( 恰斯尔定理) : 刚体的一般运动可以 分解为随基点的平动和绕基点的转动. 基点的选 择具有任意性, 它既可以在刚体上, 又可以在刚体 外( 但必须与刚体保持刚性连接) . 刚体转动的角 速度与基点选择无关. 下面予以证明.
图1
在刚体上任选一基点 A , 它相对静系 O 的
位矢为rA , 以 A 为原点建立一与刚体固连的动系
参考文献
[ 1] 程守洙. 普通物理学 第五版. 北京: 高等教育出版社, 1996 [ 2] 马文蔚. 物理学 第四版. 北京: 高等教育出版社, 2002 [ 3] 许定安, 王 波, 丁 棣 华. 经 典 力 学. 武 汉: 武 汉 大 学 出 版
社, 1996
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物理与工程 Vol. 19 N o. 3 2009
关于刚体的基本运动
邹 勇 徐斌富 章可钦 ( 武汉大学物理科学与技术学院, 湖北 武汉 430072)
( 收稿日期: 2008 11 24; 修回日期: 2009 01 01)
摘要 关键词
文中介绍了恰斯尔定理和位移定理及两个定理的证明, 最后得出刚体的一般运动都可 看成是平动和定轴转动的合成运动的结论. 这对于理解和处理刚体的运动是有益的. 基本运动; 平动; 定轴转动
在许多普通物理的教材中, 关于刚体的运动 是这样描述的: 刚体的基本运动分为平动和转动 两种, 刚体的一般运动可以看成是平动和转动的 合成运动. 这里所说的转动是指绕轴转动. 那么, 为什么刚体的基本运动是平动和转动? 为什么刚 体的一般运动可以看成是平动和转动的合成运动 呢? 为了回答这个问题, 下面先介绍两个定理及 其证明.