含参数二次函数分类讨论的方法总结

二次函数求最值参数分类讨论的方法
分类讨论是数学中重要的思想方法和解题策略,它是根据研究对象的本质属性的相同点和不同点,将对象分为不同种类然后逐类解决问题．
一般地,对于二次函数y=a (x m )2+n ，x ∈[t ，s ]求最值的问题;解决此类问题的基本思路为：根据对称轴相对定义域区间的位置，利用分类讨论思想方法。

为做到分类时不重不漏，可画对称轴相对于定义域区间的简图分类。

①表示对称轴在区间［，］的左侧，②表示对称轴在区间［，］且靠近区间的左端点，③表示对称轴在区间且靠近区间的右端点，④表示对称轴在区间［t ，s ］的右侧。

然后，再根据口诀“开口向上，近则小、远则大”；“开口向下，近则大、远则小”即可快速求出最值。

含参数的二次函数求最值的问题大致分为三种题型，无论哪种题型都围绕着对称轴与定义域区间的位置关系进行分类讨论
题型一：“动轴定区间”型的二次函数最值
例１、求函数2()23f x x ax =-+在[0,4]x ∈上的最值。

分析：先配方，再根据对称轴相对于区间的位置讨论，然后根据口诀写出最值。

解：222()23()3f x x ax x a a =-+=-+-
∴此函数图像开口向上，对称轴x=a
①、当a ＜0时，0距对称轴x=a 最近，4距对称轴x=a 最远，
∴x=0时，min y =3，x=4时，max y =19-8a
②、当0≤a＜2时，a 距对称轴x=a 最近，4距对称轴x=a 最远，
∴x=a 时，min y =3-a2，x=4时，max y =19-8a
③、当2≤a＜4时，a 距对称轴x=a 最近，0距对称轴x=a 最远，
∴x=a 时，min y =3-a2，x=0时，max y =3
④、当4≤a 时，4距对称轴x=a 最近，0距对称轴x=a 最远，
∴x=4时，min y =19-8a ，x=0时，max y =3
例2、已知函数2()(21)3f x ax a x =+--在区间3[,2]2
-上最大值为1,数a 的值 ① ② ③ ④
t t +s 2s
分析:取a=0,a ≠0，分别化为一次函数与二次函数,根据一次函数、二次函数的性质分类讨论.
解:1)若a=0,则f(x)=-x-3,而f(x)在3[,2]2
-上取不到最大值为1,∴a ≠0 2)若a ≠0,则2()(21)3f x ax a x =+--的对称轴为0122a x a
-= (Ⅰ)若3()12f -=，解得103a =-，此时0233[,2]202
x =-∈- a<0, 0()f x 为最大值，但23()120
f -≠ (Ⅱ) 若(2)1f =解得34a =此时013[,2]32
x =-∈- 0310,43
a x =>=-距右端点2较远，(2)f 最大值符合条件
(Ⅲ) 若0()1f x =解得32
a -±=
当0a =<时034[,2]2
x =-∉-
当302a --=<时034[,2]2
x =∈-
综收所述34a =或32a --= 评注：此类题属于“动轴定区间”型的二次函数最值，解决此类问题的关键是讨论对称轴相对于定义域区间的位置，讨论时做到不重不漏。

题型二：“动区间定轴”型的二次函数最值
例3．求函数2
()23f x x x =-+在x ∈［a,a+2］上的最值。

解：2()23f x x x =-+2(1)2x =-+ ∴此函数图像开口向上，对称轴x=1
①当a ＞1时，a 距对称轴x=1最近，a+2距x=1最远，
∴当x=a 时，min y =- a ２+3 ,x=a+2时，max y = a ２ +2a+3
②当0＜a≤1时，1距对称轴x=1最近，a+2距离x=1最远，
∴当x=1时，min y =2 ,x=a+2时，max y = a ２ +2a+3
③当-1＜a≤0时，1距对称轴x=1最近，a 距x=1最远，
∴当x=1时，min y =2 ,x=a 时，max y =a ２-2a+3
④当a≤-1时，a+2距对称轴x=1最近，a 距x=1最远，
∴当x=a+2时，min y = a ２ +2a+3 ,x=a 时，max y = a ２ -2a+3
题型三：“动轴动区间”型的二次函数最值
例５、已知函数22()96106f x x ax a a =-+--在1
[,]3
b -上恒大于或等于０，其中实数[3,)a ∈+∞,数b 的围． 分析：找出函数的对称轴：3a x =结合区间1[,]3b -讨论3a b ≥或133
a b -<<的情况 解：∵21()9()106,[,]33
a f x x a x
b =---∈- 若3a b ≥时，f(x)在1[,]3
b -上是减函数 ∴min y =2()9()1063a f b b a =---即29()1063a b a ---≥0则条件成立 令22()(610)96,[3,)u g a a b a b a ==-++-∈+∞
(Ⅰ)当3b+5≤3时.即23
b ≤-则函数g(x)在[)3,+∞上是增函数 ∴2min (3)9183096u g b b ==--+-
即2918270b b --≥解得b ≥3或b ≤-1 ∵23
b ≤-,∴b ≤-1 (Ⅱ)当3b+5>3即23
b >-
,min (35)3031u g b b =+=-- 若-30b-31≥0解得3130b ≤-与23
b >-矛盾; (2)若133a b -<<时, min ()1063
a y f a ==--即-10a-6≥0 解得35a ≤-与[3,)a ∈+∞矛盾; 综上述：
b ≤-1
评注：此题属于“动轴动区间”型的二次函数最值，解决的关键是讨论对称轴与定义域区间的位置更便于我们分类类讨论，然后依据口诀，很快就可解决问题。

最后,我们在得用分类讨论方法解题中要注意两个原则：一、分类不重不漏；二、一次分类只能按已确定的同一标准进行．
二次函数分类讨论补充习题
1．已知函数()222f x x x =++，若[]R a a a x ∈+∈,2,，求函数的最小值，并作出最小值的函数图象。

2．已知函数2
()3f x x =-+，若()26f x kx ≤-+在区间[]2,1-上恒成立，数k 的取值围。

3．已知k 为非零实数，求二次函数,122
++=kx kx y (,2]x ∈-∞的最小值。

4．已知3a ≤，若函数()2
21f x x ax =-+在[]3,1上的最大值为()a M ，最小值为()a m ，又已知函数()()()a m a M a g -=，求()a g 的表达式。

含参数的二次函数问题练习题
1、 当41≤≤x 时，求函数242-+-=x x y 的最小值。

2、 已知函数()12-+=ax ax x f ，若()0<x f 恒成立，数a 的取值围。

3、 当20≤≤x 时，函数()()3142-++=x a ax x f 在2=x 时，取得最大值，数a 的
取值围。

4、 已知函数322+-=x x y ，在m x ≤≤0时有最大值3，最小值2，数m 的取值
围。

5、 已知函数()122+-=px x x f ，当0≥x 时，有()0≥x f 恒成立，数p 的取值围。

6、 方程0122=++x ax 至少的一个负数根，数a 的取值围。

7、 方程0322=-+-a ax x 的两根都在()2,0，数a 的取值围。

8、 方程k x x =-
2
32在()1,1-上有实根，数k 的取值围。

9、已知()2223t tx x x f --=，当31≤≤-x 时，有()0≤x f 恒成立，数t 的取值围。

10、已知()t x x x f ++-=232，当11≤≤-x 时，有()0≥x f 恒成立，数t 的取值围。

11、已知()2234a ax x x f -+-=，当21≤≤x 时，有()0≥x f 恒成立，数a 的取值围。

12、已知()b bx x x f +-=23，当12≤≤-x 时，有()0≥x f 恒成立，数b 的取值围。

13、函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象关于直线2b x a
=-对称。

据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程[]2()()0m f x nf x p ++=的解集不可能
是
A. {}1,2 B {}1,4 C {}1,2,3,4 D {}1,4,16,64
含参数的二次函数问题练习题答案：
1、2min -=y ；
2、04≤<-a ；
3、21-≥a ；
4、21≤≤m ；
5、1≤p
6、1≤a ；
7、23≤<a ；
8、25169<≤-
k ；9、3≥t 或9-≤t ； 10、5≥t ；11、
13
2≤≤a ；12、0≥b ； 13、D
[13解析]:设()t x f =则方程[]2()()0m f x nf x p ++=，可化为02=++p nt mt ，若此方程有两个等根0t ，则有()0t x f =，可以有选项A ，B ，若02
=++p nt mt 有两个不等根21,t t ，则有()1t x f =，()2t x f =；如图若()1t x f =的两根为21,x x ，()2t x f =的两根为43,x x ，应有21,x x 的中点与43,x x 中点应相同，即
241232+=+，选项C 符合要求，而选项D 中2
6412164+≠+，则不满足。

故选D
二次函数在闭区间上的最值
一、 知识要点：
一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。

一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.
设f x ax bx c a ()()=++≠2
0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。

分析：将f x ()配方，得顶点为--⎛⎝ ⎫⎭⎪b a
ac b a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值：
（1）当[]
-∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac b a f x -⎛⎝ ⎫⎭⎪=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。

（2）当[]-∉b a
m n 2，时 若-<b a m 2，由f x ()在[]
m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n () 若n b a <-2，由f x ()在[]
m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n () 当a <0时，可类比得结论。

二、例题分析归类：
（一）、正向型
是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。

对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。

此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。

1. 轴定区间定
二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在
定区间上的最值”。

例1. 函数y x x =-+-2
42在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。

解：函数y x x x =-+-=--+22
4222()是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是x =2，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，
如图1所示。

函数的最大值为f ()22=，最小值为f ()02=-。

图1
练习. 已知232x x ≤，求函数f x x x ()=++2
1的最值。

解：由已知232x x ≤，可得032≤≤x ，即函数f x ()是定义在区间032，⎡⎣
⎢⎤⎦⎥上的二次函数。

将二次函数配方得f x x ()=+⎛⎝ ⎫⎭⎪+1234
2，其对称轴方程x =-12，顶点坐标-⎛⎝ ⎫⎭⎪1234，，且图象开口向上。

显然其顶点横坐标不在区间032，⎡⎣
⎢⎤⎦⎥，如图2所示。

函数f x ()的最小值为f ()01=，最大值为f 32194
⎛⎝ ⎫⎭⎪=。

图2
2、轴定区间变
二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。

例2. 如果函数f x x ()()=-+112
定义在区间[]
t t ，+1上，求f x ()的最小值。

解：函数f x x ()()=-+112
，其对称轴方程为x =1，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。

如图1所示，若顶点横坐标在区间[]
t t ，+1左侧时，有1<t ，此时，当x t =时，函数取得最小值f x f t t ()()()min ==-+112。

图1
如图2所示，若顶点横坐标在区间[]
t t ，+1上时，有t t ≤≤+11，即01≤≤t 。

当x =1时，函数取得最小值f x f ()()min ==11。

图2
如图3所示，若顶点横坐标在区间[]
t t ，+1右侧时，有t +<11，即t <0。

当x t =+1时，函数取得最小值f x f t t ()()min =+=+112
综上讨论，⎪⎩
⎪
⎨⎧<+≤≤>+-=0110,11
,1)1()(22min
t t t t t x f 图8
例3. 已知
2
()23f x x x =-+，当[1]()x t t t ∈+∈R ，时，求()f x 的最大值． 解：由已知可求对称轴为1x =．
（1）当1t >时，2min max ()()
23()(1)2
f x f t t t f x f t t ∴==-+=+=+，．
（2）当11t t +≤≤，即01t ≤≤时，．
根据对称性，若
2
1
21≤++t t 即1
02t ≤≤
时，2
max ()()23f x f t t t ==-+．
若2121>++t t 即1
12t <≤时，2max ()(1)2f x f t t =+=+．
（3）当11t +<即0t <时，
2max ()()23
f x f t t t ==-+．
综上，⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≤+->+=21,3221,2)(22
max
t t t t t x f 观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，而有时候又分三种情况讨论呢？这些问题其实仔细思考就很容易解决。

不难观察：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。

第一个例题中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；而它的最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。

根据这个理解，不难解释第二个例题为什么这样讨论。

对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下： 当a >0时
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+<-+≥-=)
)((212)())((2
12)()(21max 如图如图，，n m a b n f n m a b m f x f ⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(543min
如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f
当a <0时
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
<
-
≤
-
≤
-
>
-
=
)
(
2
)
(
)
(
2
)
2
(
)
(
2
)
(
)
(
8
7
6
max
如图
如图
如图
，
，
，
m
a
b
m
f
n
a
b
m
a
b
f
n
a
b
n
f
x
f f x
f m
b
a
m n
f n
b
a
m n
()
()()()
()()()
min
=
-≥+
-<+
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
，
，
如图
如图
2
1
2
2
1
2
9
10
3、轴变区间定
二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。

例4. 已知x21≤，且a-≥
20，求函数f x x ax
()=++
23的最值。

解：由已知有-≤≤≥
112
x a
，，于是函数f x()是定义在区间[]
-11
，上的二次函数，将f x()配方得：f x x a a
()=+
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪+-
2
3
4
22
二次函数f x()的对称轴方程是x a
=-
2
顶点坐标为--
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
a a
2
3
4
2
，，图象开口向上由a≥2可得x a
=-≤-
2
1，显然其顶点横坐标在区间[]
-11
，的左侧或左端点上。

函数的最小值是f a
()
-=-
14，最大值是f a
()14
=+。

图3
例5. (1)求2
f(x)x2ax1
=++在区间[-1,2]上的最大值。

(2) 求函数)
(a
x
x
y-
-
=在]1,1
[-
∈
x上的最大值。

解：(1)二次函数的对称轴方程为x a =-，
当1
a 2-<
即1
a 2>-时，max f (x )f (2)4a 5==+； 当1a 2-≥即1
a 2
≤-时，max f (x )f (1)2a 2=-=+。

综上所述：max
12a 2,a 2f (x )14a 5,a 2
⎧
-+≤-⎪⎪=⎨⎪+>-
⎪⎩。

(2)函数4)2(22a a x y +--=图象的对称轴方程为2a x =，应分121≤≤-a ，12-<a ，1
2
>a
即22≤≤-a ，2-<a 和2>a 这三种情形讨论，下列三图分别为 （1）2-<a ；由图可知max ()(1)f x f =- （2）a ≤-22≤；由图可知max ()()2
a
f x f = （3） 2>a 时；由图可知max ()(1)f x f =
∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤--<-=2,)1(22,)2(2
,)1(a f a a
f a f y 最大
；即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤--<+-=2
,122,42,)1(2a a a a
a a y 最大 4. 轴变区间变
二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。

例6. 已知2
4()(0),y a x a a =->，求22
(3)u x y =-+的最小值。

解：将
24()y a x a =-代入u 中，得
①，即时，
②，即时，
所以
（二）、逆向型
是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。

例7.已知函数2
()21
f x ax ax
=++在区间[3,2]
-上的最大值为4，数a的值。

解：2
()(1)1,[3,2]
f x a x a x
=++-∈-
（1）若0,()1,
a f x
==，不符合题意。

（2）若0,
a>则
max
()(2)81
f x f a
==+
由814
a+=，得3
8
a=
（3）若0
a<时，则
max
()(1)1
f x f a
=-=-
由14
a-=，得3
a=-
综上知3
8
a=或3
a=-
例8.已知函数2
()
2
x
f x x
=-+在区间[,]
m n上的最小值是3m最大值是3n，求m，n的值。

解法1：讨论对称轴中1与,,
2
m n
m n
+
的位置关系。

①若，则max
min
()()3
()()3
f x f n n
f x f m m
==
⎧
⎨
==
⎩
解得
②若12m n
n +≤<，则max min
()(1)3()()3f x f n f x f m m ==⎧⎨
==⎩，无解 ③若12m n
m +≤<
，则max min ()(1)3()()3f x f n f x f n m ==⎧⎨==⎩，无解 ④若
，则max min
()()3()()3f x f m n f x f n m ==⎧⎨==⎩，无解
综上，4,0m n =-= 解析2：由211()(1)22f x x =-
-+，知11
3,,26
n n ≤≤，则[,](,1]m n ⊆-∞， 又∵在[,]m n 上当x 增大时)(x f 也增大所以max min ()()3()()3f x f n n
f x f m m
==⎧⎨==⎩
解得4,0m n =-=
评注：解法2利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了m ，n 的取值围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。

例9. 已知二次函数2
f (x )ax (2a 1)x 1=+-+在区间3,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的最大值为3，数a 的值。

这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分a 0>与a 0<两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。

若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程就简明多了。

具体解法为： （1）令2a 1f ()32a --
=，得1
a 2
=- 此时抛物线开口向下，对称轴方程为x 2=-，且32,22⎡⎤
-∉-⎢⎥⎣⎦
，故12-不合题意；
（2）令f (2)3=，得1
a 2
=
此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远，故1
a 2
=符合题意； （3）若3f ()32-
=，得2a 3
=- 此时抛物线开口向下，闭区间的右端点距离对称轴较远，故2
a 3
=-符合题意。

综上，1a 2=
或2a 3
=-
解后反思：若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先斩后奏的方法，利用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍，从而避开繁难的分类讨论，使解题过程简洁、明了。

三、巩固训练
1．函数y 12
++=x x 在]1,1[-上的最小值和最大值分别是 （ ）
)(A 1 ,3 )
(B 43 ,3 （C ）21- ,3 （D ）4
1
-, 3 2．函数242
-+-=x x y 在区间]4,1[ 上的最小值是 （ ）
)(A 7- )(B 4- )(C 2- )(D 2
3．函数5
48
2
+-=
x x y 的最值为 （ ） )(A 最大值为8，最小值为0 )(B 不存在最小值，最大值为8
（C ）最小值为0, 不存在最大值 )(D 不存在最小值，也不存在最大值 4．若函数]4,0[,422∈+--=x x x y 的取值围是______________________ 5．已知函数f x ax a x a ()()()[]=+---
2
21303
2
2≠在区间，上的最大值是1，则实数a 的值为
6．如果实数y x ,满足12
2
=+y x ，那么)1)(1(xy xy +-有 （ ）
(A)最大值为 1 , 最小值为
21 (B)无最大值，最小值为4
3
（C ）)最大值为 1, 无最小值 (D)最大值为1，最小值为4
3
7．已知函数322
+-=x x y 在闭区间],0[m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值围是
（ ）
(A) ),1[+∞ (B) ]2,0[ (C) ]2,1[ (D) ]2,(-∞ 8．若12,0,0=+≥≥y x y x ，那么2
32y x +的最小值为__________________
9．设21,,x x R m ∈是方程0122
2=-+-m mx x 的两个实根，则2
221x x +的最小值______
10．设),](1,[,44)(2
R t t t x x x x f ∈+∈--=求函数)(x f 的最小值)(t g 的解析式。

11．已知)(x f 2
2
a
ax x +
-=，在区间]1,0[上的最大值为)(a g ，求)(a g 的最小值。

12.（2009卷）设a 为实数，函数2()2()||f x x x a x a =+--.(1)若(0)1f ≥，求a 的取值围；(2)求()f x 的最小值；(3)设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，直接写出．．．．(不需给出演算步骤)不等式()1h x ≥的解集.【解析】本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。

（1）若(0)1f ≥，则2
0||111a a a a a <⎧-≥⇒⇒≤-⎨≥⎩ （2）当x a ≥时，2
2
()32,
f x x ax a =-+2
2
min
(),02,0()2(),0,033
f a a a a f x a a f a a ⎧≥≥⎧⎪⎪==⎨⎨<<⎪⎪⎩⎩ 当x a ≤时，2
2
()2,f x x ax a =+-2
min
2
(),02,0()(),02,0
f a a a a f x f a a a a ⎧-≥-≥⎧⎪==⎨⎨<<⎪⎩⎩ 综上22
min
2,0
()2,03
a a f x a a ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩ （3）(,)x a ∈+∞时，()1h x ≥得2
2
3210x ax a -+-≥，222412(1)128a a a ∆=--=-
当a a ≤≥
时，0,(,)x a ∆≤∈+∞；
当a >0,
得：(0x x x a ⎧⎪≥⎨
⎪>⎩
讨论得：当a ∈时，解集为(,)a +∞;
当(a ∈
时，解集为()a ⋃+∞;
当[a ∈
时，解集为)+∞.。