全国优质课- 单调性与最大(小)值

《函数单调性与最值第一课时》教学设计

一、教学内容解析

（1）教学内容的内涵、数学思想方法、教学重点。

本节课选自人教A 版《普通高中课程标准实验教科书数学必修1》第一章第1.3节第一课时。 教材研究的函数的单调性是严格单调，是研究“函数值y 随自变量值x 的增大而增大（或减小）”的性质。这一性质的直观反映了函数从左向右是持续上升还是持续下降的；它反映了的是函数图像的变化趋势。函数的单调性不同于函数的奇偶性，单调性研究的是函数的局部性质，而奇偶性研究的是函数的整体对称性。

函数单调性的研究过程体现了一些重要的数学思想方法：

1.“数形结合”的思想：先借助函数图像直观观察，再借助表格列举计算分析归纳发现增减函数的数字特征，再进一步用符号语言刻画。

2.从特殊到一般的思想：先通过学生比较熟悉的一次函数，二次函数的探究发现“函数值y 随自变量值x 的增大而增大（或减小）”的一般规律，再用符号语言抽象出函数单调性的定义。

3.类比的方法：得出增函数的定义后只需要类比探究就可以得出减函数的定义。

4.体现了研究概念（定义）问题的一般思路：经历情景化—去情景化—情境再现 经历情景化：先通过生活实例让学生体会到单调性在实际生活中的背景。

去情境化：通过两个具体函数的探究发现“函数值y 随自变量值x 的增大而增大（或减小）”这一现象，再通过探究分析这一现象的本质，从而抽象出函数单调性的定义。

情境再现：利用定义去分析问题、解决问题。

同时这一研究过程也体现了“发现问题”—“提出问题”—“分析问题”—“解决问题”这一研究问题的一般思路。

教学重点是：通过活动探究引导学生发现如何用符号化的语言：在定义域I 的某个区间D 上任意取的两个数21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <（或)()(21x f x f >）则称函数为区间D 上的增函数（或减函数）来刻画“函数值y 随自变量值x 的增大而增大（或减小）”这一特征。

（2）教学内容的知识类型。

1.概念性知识：函数单调性的定义。

2.程序性知识：根据函数图像找函数的单调性区间、判断函数的单调性。

3.元认知知识：“发现问题”—“提出问题”—“分析问题”—“解决问题”这一研究问题的一般思路；从特殊到一般；类比研究的思想均属于元认知知识。

（3）教学内容的上位知识与下位知识。

1.上位知识：文字语言、图形语言、符号语言、函数的表示方法（图像法、列表法、解析法）、研究函数的基本方法是我们学习函数单调性的上位知识。

2.下位知识：单调性的证明、根据单调性画函数图像、函数的最值、利用单调性比大小是函数单调性的下位知识。

（4）思维教学资源和价值观教学资源。

本节课引入例子摘取自生活实例，再结合天气预报引发学生建立函数模型去观察图像变化趋势从而激发学生观察发现思维；再从学生熟悉的“一次函数、二次函数”入手探究发现函数变化趋势的本质从而抽象定义，既能激发学生从“特殊到一般”从“感性到理性”的思想，也能培养学生“数学抽象”这一素养。

二、教学目标设置

1.通过学生画出两个特殊的一次函数、二次函数的图像能直观地判断函数的变化趋势，并 能用文字语言描述函数的变化趋势。

2.通过老师几何画板动画演示和学生的类比探究让学生体会并理解“任意……都……”的含义。

3.通过例题1和定义辨析进一步让学生理解单调性的定义.

4.在两个特殊函数探究中归纳抽象出单调性的定义，从而培养学生“数学抽象”这一素养。

5.在类比增函数的探究方法探究减函数定义过程中，让学生体会“类比方法”。

6.通过生活实例引入，让学生感受数学来源于生活高于生活，体会数学的应用价值。

7.通过活动设计，问题串联，让学生经历过程探究、经历从直观到抽象、从特殊到一般、类 比研究的过程，形成理性数学思维，体会事物互相联系互相影响的辩证主义唯物观。 三、学生学情分析

（1）学生已有的认知基础

学生通过初中阶段对一次函数、二次函数、反比例函数的学习，以及高中阶段对函数概念的学习和函数表示方法的学习，已经明确了研究函数的一些基本思路和基本方法。初中阶段学生也接触过“单调性”它是用描述性的语言即“y 随x 的增大而增大（或减小）”来描述变量之间的依赖关系，而一次函数、二次函数、反比例函数都可以很好地呈现这一规律，这位我们抽象函数单调性的定义提供了认知基础。

此外通过学生小学初中阶段的学习，学生具备了一定的数学素养：如抽象概括、类比推理、数据处理等，为新知学习提供了一定的保障。

（2）达成教学目标所需要认知基础

本节课目标的达成需要学生有一定的“数学抽象”能力和“有限”与“无限”的观点，需要 学生有一定的“数形结合”的思想。

（3）“已有基础”与“需要基础”之间的差异

学生对两个具体数据的比较应该是清楚的，但要将具体的数据比较转化为“任意”两个数据大小的比较存在一定认知差异；学生用文字语言描述“y 随x 的增大而增大（或减小）也是没有问题的，但要将“文字语言”的描述抽象为为“符号语言”的描述还存在一定差异。

（4）教学难点及突破策略

难点1：如何用符号语言刻画“y 随x 的增大而增大（或减小）”。

突破策略：通过回顾2

)(x x f =图像直观感受“y 随x 的增大而增大（或减小）”；再通过“列 表法”由形入数在表中任选两对数据比较其大小第一次发现“y 随x 的增大而增大（或减小）”在解析式上的体现：如当21<时，有)2()1(f f <；再通过几何画板动画演示在x 轴上任取两个数及图像上对应的函数值12(),()f x f x ，比较其函数值的大小，引导学生体会数字表示与字母表示的区别；从而实现对“y 随x 的增大而增大（或减小）”的符号化描述。 难点2：如何理解“任意……都……” 突破策略：

1. 结合学生熟悉的问题举例说明“任意……都……”的含义：如：“我班任意一位同学都是好人”，帮助学生理解其含义。

2. 在增函数定义探究中老师通过几何画板动画演示在x 轴上任取两个数及图像上对应的函数值12(),()f x f x ，比较其函数值的大小让学生观察、体会“任意……都……”的含义。在学生