专题6动力学特殊问题与方法

物体只有微小形变即可视作刚体, 与弹簧相比, 刚体就
是劲度系数 ky ] 的弹簧, 弹力的变化 是瞬间发生 的,
故本题中当线一断, B 、C 的状态改 变, B 、C 间的 弹力
立即就发生变化 了. 读者 在/ 小 试身 手0 第 7、11 和 12 题时可留意.
五、非惯性系与惯性力
相对于惯性 系以 加速 度 a 运 动的 参考 系 称为 非
三、力的加速度效果分配法则
如图 6- 8 所示物理 情景同 属于 这样 一类问 题: 联 结体在外力作用下 各部分 具有相 同的加 速度, 根据 F
= ma, 如 果引起整体加 速度的 外力 大小为 F, 则引 起 各部分同一加 速度的 力大 小与 各部分 质量 成正 比, F
这个力的加速度效 果将依 质量正 比例地 分配. 根据 这 个分配规律, 我们可以简 捷地确 定联结 体之间 的相 互
平力 F 作用在 B 时, 使 A 产 生加 速度 的 力是 B 对 A 的最大静摩擦力 Ff m, 根 据力的 加速度 效果分 配法则,
有 Ff m=
Lmg =
m 2 m+
mF ; 同 理, 当水 平力 Fc 作用 在
物体 A , 而 A 、B 也保持相对静止, 一起沿水平面运动,
应满足
Ff m=
零; 线断后它们的受力情况发生了变化, 加速度如何要
由木块所受合 力决 定. 我 们先 来看 木块 A , A 受 重力
与弹簧弹力 , 前者是 恒力不 变, 后 者在 线断的 瞬间, 由
于弹簧长度未及改变因 而也未 变, 所 受合力 与线 断之
前一 样为 零, 故加 速度 aA 为 0; 再看 B、C 组 成 的系 统, 与线断前 相比, 所受 重力 ( mB + mC ) g、弹 簧 弹力
= 30b, B 为 固定 在斜 面下 端 与斜面 垂 直的 木板, P 为 动
滑轮, Q 为 定 滑 轮, 两 物 体
的质 量 分别 为 m 1 = 01 4 kg
和 m 2 = 012 kg, m1 与斜 面
图 6- 6
间无摩擦, 斜面上的绳子与斜面平行, 绳不可伸长, 绳、
滑轮的质 量及摩 擦不计, 求 m2 的 加速度 及各段 绳上 的张力.
m
B
Bg
cos
A.
我们看到借助于 质点系 的牛顿 第二 定律, 一些 联
结体问题的解答大为简化了.
二、加速度相关关系
绳、杆等约束物系或接 触物系 各部 分加速 度往 往
有相关联系, 确定它们的大小关系的一般方法是: 设想 物系各部分从静止开始匀加速运动 同一时间 $t , 则由
# 45 #
s=
1 2
作用. 例 如 图 ( a) 、( b) 中, m 与 M 间 拉 力 大 小 均 为
M
m +
mF;
图
(
c)
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、(
d)
中
m
与
M
间 压力 大 小均 为
M
m +
mF; 图(
e)
中绳 上张力 大小为M
m +
m Mg ;
图(
f)
中
m
与M
间静摩擦
力大小
为M
m +
mF .
在图( a)
、( c) 中,
如果物体与地面间动 摩擦 因数为 L, 整 体所受 摩擦 力
速度, 关键在分析该瞬时质点的受力, 特别是当研究对
象运动状态发生突变时, 须对 制约着 对象运 动状 态的
各个力的情况做出准确判断.
例 6 如图 6- 10 所示, 木 块 A 、B 的质 量分 别为
mA = 01 2 kg, mB = 014 kg , 盘 C 的质量 mC
= 016 kg , 现挂 于天 花板 O 处, 整 个装 置
( 大小等于 mAg )未变, 只是少 了线上 张力 F = ( mA + mB+ mC ) g, 故线 断瞬 间, B 、C 所受 合力 大小 为( mA
+ mB + mC ) g , 方 向 竖 直 向 下, 则 aB = aC =
m
A+ mB
m +
B+ mC
m
Cg
=
11 2
g,
方向竖直 向下. 由 于 B 、C
至少右移了
h#cot
H,
即
a g
\
hcot h
H, 故
a \ gcot
H.
对斜面体而言, 因与物体无相互作用, 故有
F - LM g= M a \ M gcot H, F \( L+ cot H) M g.
水平拉力至少是( L+ cot H) Mg . 例 4 如图 6- 6 所示, A 为固 定斜面 体, 其 倾角 A
思路依/ 尽量取整体0应首先选定 A 、B 、D 构成的 系统 为研究对象, 对 这个 系统 而言, 水 平压 力 F 只 引起 质
点 A 水平方向加速度, 因滑 块 B、斜面 体 D 在 水平 方 向加速度均为零. 只要求出 质点
A 的加速度, 其水平分量唾手可 得, 为了求 A 的加速度, 我们 可
另取以绳相连的 A 、B 为研究对 象, 在图 6- 4 所示坐标中建 立牛 顿第二定律方程.
图 6- 4
对 A 、B 、D 构成的系统有 F= mAax ; 对 A 、B 构成的系统有
mAg sin A- mBg= ( mA + mB ) a;
又有
ax = Acos A.
由上三式易得
F=
mA
m
Asin AmA + m
一、质点系的牛顿第二定律 牛顿第二定律也可运用于由加速度不同的质点组
成的系统. 设系 统中 各 质点 的质 量 为 m1 、m2 , , mi , ,m n; 系统 以外 物 体对 系统 的 力有 F1 、F2 , , Fi , ,Fn, 这些力 可能 作用 在系 统 内不 同的 质点; 系统 各质点的加速度分别为 a1、a2 , , ai , , an , 则有
均可不计, 绳子 长度 不变, 试 求重 物的 加
速度与绳子相对于人手的加速度.
分析与解 本题中, 人 与重物通 过绳
相关联, 若取人、绳、物 组成的系 统为研 究
对象, 则可不必 考虑 人与绳 之间 的相互 作
用, 根据系统的牛顿第二定律, 在图 6- 2 所
示坐标轴上建立运动方程为
图 6- 1
M g- mg = M a+ mam, 于是可得
º
将 º 式代入 ¹ 式中即得
2m1gsin A- m12a2- m2 g- m2g = m12a2+ m2 a2,
a2=
2
m
1 gsin A4 m1+ m
m
2
2
g
,
# 46 #
代入数据可得 a2=
g 9
U 11 09 m/ s2. 将 a2 代入 º
式得 T 1 U 1109 N , 则 T 2 = 2T 1 U 2118 N .
n
n
E Fi= E miai.
i= 1
i= 1
与单独质点的牛顿第 二定律 一样, 上述 关系 具有
矢量性、瞬时性、独立性且有相同的适用范围.
在处理静力学问题时, 我们 曾讲 到选取 研究 对象
一般应遵循/ 尽量 取整体0 的原 则, 以回避对 象各 部分
间相互作用的/ 纠葛0 关系; 在处理动力学问题时, 质点
第 33 卷 第 11 期 2004 年 11 月
竞赛辅导
中学物理教学参考
Physics T eaching in M iddle Schools
V ol. 33 N o. 11 Nov. 2004
专题 6 动力学特殊问题与方法
沈晨
教你一手
这里, 我们要介 绍动力学 的几个 特殊问 题及 处理 方法.
和 mB , 斜 面倾 角 为 A, 当 滑
块 A 沿斜面体 D 下滑, 滑块
B 上升时, 地 板突 出部 分 E 对 斜面 体 D 的 水 平 压 力 F
为多大? ( 绳 子 质量 及 一 切 摩擦不计)
分析与解 题目要求 确
图 6- 3
定地板突出部分 E 对斜面体 D 的水平压 力 F , 我 们的
是有一过程 的, 本题 中, 在 线刚断 的瞬 时, 弹 簧长 度未
及变化, 故弹力维持原状, 事实 上到下 一瞬时 A 、B 间
相对位置变化, 弹力就 会减 小; B 、C 间 的弹 力则 是由
两者接触处 微小形变引 起的, 刚体、刚 性杆、不可 伸长
的绳等其模型特征就是 不发生 形变但 却有弹 性, 实际
处于静 止. 当 用 火 烧断 O 处 的细 线 的 瞬
间, 木块 A 的加 速度 aA 及木 块 B 对盘 C 的压力 FBC 各是多少?
分析与 解 本 题研 究 对 象为 一 质 点
系, 先后涉 及两 个 不同 状态: 用火 烧 断 O 图 6- 10
处细线之前, 整 体均 处 于 静 止, A 、B、C 所 受 合力 为
由 m1 、m2 两段绳及滑轮 P 组成的系统, 系统受力如 图
6- 7, 按图示坐标建立的牛顿第二定律方程为
T 1 + m1 gsin A- m 2 g= m 12 a2+ m 2 a2
¹
再对 m 1 建立方程: m1 g sin A- T 1= m1 2a2,
得 T 1 = m1 gsin A- m 12 a2
加
速度相同, 则产生 C 加速度的力为
FBC=
mCaC-
mCg=
mC
m
A
+ m
m B+
B+ m
m
C
C
-
m Cg
=
m
B
m +
C
m
m
C
A
g
,
得
FBC= 112 N.
上例中, 还请读者注意到, 由弹簧形变引起的弹力
和由( 杆、绳等) 微小形变引起的弹力的相异之处: 弹簧
弹力取决于弹簧形变情 况, 而 弹簧形 变的发 生与 变化
系的牛顿第二定律使我们对那些各部分加速度不同的
质点系也能用整体方法去解决. 例 1 如图 6- 1 所示, 跨过定滑 轮的一 根绳子, 一
端系着 m= 50 kg 的 重物, 一端 握在 质量 M = 60 kg 的人手中. 如果人不把绳握 死,
而是相对地面以 a=
1 18
g
的加 速度下 降,
设绳子和滑轮的质量、滑轮轴 承处的摩擦
at2
知,
加 速度与 位移 大小 成 正比,
确 定了 相关
物体在同一时间内的位 移比, 便确定 了两者 加速 度大
小关系.
例 3 如图 6-5 所示, 质量为 m 的 物体静止 在倾 角为H 的 斜 面 体上, 斜面 体
的质量为 M , 斜面体 与水平 地面 间的 动 摩擦 因 数为 L.
现用 水 平拉 力 F 向右 拉 斜
Lm
g
\
2m 2m +
mFc. 由 以上两式 相除可 得
Fc [
F 2
,
即
Fc不得超过
F 2
.
四、牛顿第二定律的瞬时性
从时间效应上说, 加速度与力是瞬时对应的, 有力
时才有加速 度, 外力 一旦改 变, 加 速度 也立即 改变, 力
与加速度的因果对应具 有同时 性, 这 是我们 在运 用运
动定律时要把握好的一 条特性. 确定 某瞬时 质点 的加
面体, 要 使物 体 与斜 面体 间
图 6- 5
无相互作用力, 水平拉力 F 至少要达到多大?
分析与解 当物体与 斜面体 间无 作用力 时, 显然
物体的加速度为 g , 只要 找到斜 面体 与物体 加速 度的 关系, 确定斜面体的加速度, 即可由牛顿第二定律求出
F . 考虑临界情 况, 斜面 体至 少具 有这 样的 加 速度 a: 在物体自由下落了斜面 体高度 h 的 时间 t 内, 斜 面体
发生相 对 滑动 而 一起 沿 水 平面 运 动; 若改用水平力 Fc拉 A , 要使 A 、B 不发
生相对滑动, 求 Fc的最大值. 分析与解 本题中, 所谓 A 、B 刚
图 6- 9
好不发生相对滑动 而一起 沿水平 面运动, 意即 系统 有 相同的加速度, 但 A 、B 间静摩 擦力已 达最大 值. 当 水
产生的加速度为 Lg , 而各部 分引起 Lg 的力 大小与 各 部分质量是成正 比的, 根据 力的 独立 作用 原理, m 与
M 间相互作用力不会发 生变化, 仍 依质量正 比例分 配
F,
即大小为M
m +
mF
.
图 6- 8 例 5 如图 6- 9 所示, 木块 A 、B 静 止叠放在 光滑
水平面上, A 的质量为 m , B 的质量为 2 m. 现施水平 力 F 拉 B , A 、B 刚 好不
分析与解 根据题给条
件, 可以判断 m1 将沿斜面下 降, m2 则上升, 但加速度的大 小不同, 由 几何关 系可知, 若
m1 沿斜面下降 s, m2 向上升
高 s/ 2, 故两者加速度大小关 系是 a1 = 2a2. 设跨过滑轮 P
图 6- 7
的绳上张力为 T 1, 跨过滑轮 Q 的绳上张力为 T 2, 先研究
am
=
M (gm
a) -
g
图 6- 2
=
6 5
#
17 18
g
-
g=
2 15
g.
由图 6- 2 可知, 绳的加速 度( 即重物 加速度 ) 与 人的 加
速度同方向, 则绳相对于人的加速度
a 绳对人=
am-
a=
2 15
g-
118g =
7 90
g.
例 2 如图 6-3 所示, 滑块 A 、B 质 量分 别是 mA