2013金融数学第五讲(期权定价： 二叉树方法)

1.3构造树图的其他方法和思路
p 0.5 的二叉树图
在确定参数 可得：
p 、u
和
d
时，不再假设
u
1 d
，而令 p 0.5 ，
u e d e rq 2 2 Dt 2 Dt
r q 2 2 Dt 2 Dt
该方法优点在于无论 和 Dt 如何变化，概率总是不变的
1.3构造树图的其他方法和思路
1.1 0.9
期权的估值
Su = 22
ƒu = 1
S
期权ƒ 的价值为
e–0.12×0.25 [0.6523 1S+d 0=.314877 0]
= 0.633
ƒd = 0
两步二叉树模型
22
每步长为3个月
20 18
24.2 19.8 16.2
欧式看涨期权的估值
B
22
24.2 D 3.2
在2在.0节节125.点点27822BA03的的价价A值值
若在期权有效期内有多个已知红利率，则 iDt
S (1 i )u j d i j
时刻结点的相应的证券价格为：
（ i为0时刻到 iD时t刻之间所有除权日的总红利支付率）
1.2基本二叉树方法的扩展
已知红利额
将证券价格分为两个部分：一部分是不确定的；另一部分是期权有效期 内所有未来红利的现值。
假设在期权有效期内只有一次红利，除息日τ在到之间，则在时刻不确定部分的价值为：
熟悉
2
蒙特卡罗模拟
2.1
蒙特卡罗模拟的基本过程
熟悉
2.2
蒙特卡罗模拟的技术实现
熟悉
2.3
减少方差的技巧
了解
2.4
蒙特卡罗模拟的理解和应用
了解
3
有限差分方法
3.1
隐性有限差分法
熟悉
3.2
显性有限差分法
熟悉
3.3
有限差分方法的比较分析和改进
了解
3.4
有限差分方法的应用
了解
1.二叉树期权定价模型
把期权的有效期分为很多很小的时间间隔 ，
如果是欧式期权，可通过将 时刻T 的期权价值的预期值在 时间D长t 度
内以无风险利率 贴现求r出每一结点上的期权价值；
如果是美式期权，就要在树型结构的每一个结点上，比较在本时刻提 前执行期权和继续再持有 时Dt间，到下一个时刻再执行期权，选择其中较 大者作为本结点的期权价值。
1.1二叉树模型的基本方法
三叉树图
每一个时间间隔 内Dt证券价格有三种运动的可能：
1、从开始的 S上升到原先的 倍u ，即到达 ；Su
2、保持不变，仍为 S；
3、下降到原先的 d 倍，即 Sd
Su3
Su2
Su2
Su
Su
Su
S
S
S
S
Sd
Sd
Sd
Sd2 Sd2
Sd3
1.3构造树图的其他方法和思路
一些相关参数：
u e 3Dt
d1 u
股票的现价为 $20 三个月之后股票的价格或为 $22 或为 $18
Stock price = $20
Stock Price = $22 Stock Price = $18
构造无风险资产组合
考虑一个资产组合:持有 D 份股票 成为一份看涨期权的空头
当 22D – 1 = 18D or D = 0.25，22资D 产– 1组合是无风险 的
（ S0* 为零时刻的 S * 值）
j 0,1,
,i
1.2基本二叉树方法的扩展
利率是时间依赖的情形
假设 r ，f 即t 在时刻 的结点t 上，其应用的利率等于 到 t t 时 Dt
间内的远期利率，则：
p e f tDt d ud
u e f tDt 1 p
ud
这一假设并不会改变二叉树图的几何形状，改变的是上升和下降的概 率，所以我们仍然可以象以前一样构造出二叉树图
Su
S
ƒu
ƒ
Sd
ƒd
最初例子的修正
Su = 22
ƒu = 1 由于 p 是S风险中性概率，所以
20e0.12
0.25 = 22pƒ+ 18(1 – p ); p = 0.6523
或者，我们可以利用公式
Sd = 18 ƒd = 0
p erT d e0.120.25 0.9 0.6523
ud
期权定价：二叉树方法
浙江大学数学系 李胜宏（13018973561）
lshjrsx@163.com shli@zju.edu.cn
一个简单的二叉树模型
股票的现价为 $20 三个月之后股票的价格或为 $22 或为 $18
Stock price = $20
Stock Price = $22 Stock Price = $18
满足条件： SerDt pSu (1 p)Sd e rDt pu (1 p)d
假设证券价格遵循几何布朗运动，则：S 2 2Dt pS 2u2 (1 p)S 2d 2 S 2[ pu (1 p)d ]2
2 Dt pu 2 (1 p)d 2 pu (1 p)d 2
再设定： u 1/（d 第三个条件的设定则可以有所不同， 这是Cox、Ross和
S
1-p
图5.1 D时t 间内资产价格的变动
Sd
1.二叉树期权定价模型
二叉树模型实际上是 在用大量离散的小幅 度二值运动来模拟连 续的资产价格运动
1.1二叉树模型的基本方法
二叉树模型可分为以下几种方法：
（一）单步二叉树模型
1.无套利定价法
2.风险中性定价法
3.风险中性定价法
（二）证券价格的树型结构
= =
e–0.12 0.25(0.6523 2.0257
3.2 +190..38477
0) =
e–0.12
108.25(0.6523
E 0.0 2.0257 +
0.3477
0)
= 1.2823
C
0.0
16.2
F 0.0
一个看跌期权的例子：X＝52
50 4.1923
A
60
B
1.4147
40
C
9.4636
18D
资产组合的估值 ( 无风险利率为 12% )
无风险组合为: 持有 0.25份股票成为一份看涨期权的空头
三个月后组合的价值为 22 0.25 – 1 = 4.50 组合在时刻0的价值为 4.5e – 0.12 0.25 = 4.3670
期权的估值
资产组合为 持有 0.25份股票
成为一份看涨期权的空头 组合在时刻0的价值为4.3670 股票的价值是 5.000 (= 0.25×20 ) 从而，期权的价格为 0.633 (= 5.000 – 4.367 )
较优估计值， 和 表示fˆA用同一fˆB个二叉树、相同的蒙特卡罗模拟或
是同样的有限差分过程得到的估计值）
fij (0 i N ,0 j i)
（表示在时间 iDt时第j个结点处的欧式看跌期权的价值） 若有提前执行的可能性，则：fij max{X Su jdi j ,erDt[ pfi1, j1 (1 p) fi1, j ]}
1.2基本二叉树方法的扩展
1.2基本二叉树方法的扩展
当标的资产支付连续收益率为 q 的红利时，在风险中性条件下，证券价格的
因为是无风险组合，可用无风险利率贴现，得
SD f SuD fu erDt
将 D fu fd 代入上式就可得到：
SuHale Waihona Puke Baidu Sd
f erDt pfu 1 p fd
其中
p e rDt d ud
1.1二叉树模型的基本方法
在风险中性世界里： （1）所有可交易证券的期望收益都是无风险利率； （2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。在风险中性的条件下, 参数值
推广到一般情形
一个依赖于股票的衍生证券，到期时间为 T
Su
S
ƒu
ƒ
Sd
ƒd
推广到一般情形
(continued)
考虑一个组合：持有D份股票，成为一份衍生证券的空头
当 D满足下面的条件时，组合为无Su风D 险– ƒ：u
SuD
–
ƒu
=
Sd
D
S–dƒDd
or – ƒd
D ƒu fd Su Sd
Sd
Sd2 Sd2
Sd3
Sd4
一般而言，在 iDt 时刻，证券价格有i 1 种可能，它们可用符号表示为： Su j d i j
其中 j 0,1, ,i
注意：由于 u 1，使得许多结点是重合的，从而大大简化了树图。 d
1.1二叉树模型的基本方法
得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价 法，从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价。
72 D0
48
E
4
32 F 20
美式期权该如何估值？
50 5.0894
A
60
B
1.4147
40
C
12.0
72 D0
48
E
4
32 F 20
5.6 二叉树定价模型
1
二叉树期权定价模型
1.1
二叉树模型的基本方法
熟悉
1.2
基本二叉树方法的扩展
熟悉
1.3
构造树图的其他方法和思路
了解
1.4
二叉树定价模型的深入理解
pd
Dt
12
2
r
q
2
2
1 6
pu
Dt
12 2
2
r
q
2
2
1 6
pm 3
1.3构造树图的其他方法和思路
控制方差技术
基本原理：期权A和期权B的性质相似，我们可以得到期权B的解
析定价公式，而只能得到期权A的数值方法解。
假设：fB fˆB fA（ fˆA代表期fB权B的真实价值， 表示关于fA 期权A的
并假Dt设在每一个时间间隔 内证D券t
价格只有两种运动的可能：
1、从开始的 S上升到原先的 倍u ，即到达 ；Su
2、下降到原先的 d 倍，即 S。d
其中 u 1 d.如1图5.1所示。价格上升的概率假设为 ，下p降的概率假设为
1 p 。
Su p
相应地，期权价值也会有所不同，分
别为 fu 和 fd 。
S*(iDt) S(iDt)
当 iDt 时
S*(iDt) S (iDt) Der( iDt) 当 iDt 时（表示红利）
在 iDt 时刻：
当 iDt 时，这个树上每个结点对应的证券价格为：S0*u jd i j Der( iDt) 当 iDt 时，这个树上每个结点对应的证券价格为：S0*u jd i j
推广到一般情形
(continued)
组合在时刻 T的价值为 Su D – ƒu 组合在时刻0的价值为
(Su D – ƒu )e–rT 组合在时刻0 的价值又可以表达为 S D – f 从而 ƒ = S D – (Su D – ƒu )e–rT
推广到一般情形
(continued)
于是，我们得到
支付已知红利率资产的期权定价（支付已知收益资产的期权定价） 可通过调整在各个结点上的证券价格，算出期权价格；
如果时刻 i在Dt除权日之前，则结点处证券价格仍为： Su j d i j , j 0,1,, i
如果时刻 iDt 在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为：
S (1 )u j d i j j 0,1, ,i
一份看涨期权
一份基于该股票的三个月到期的看涨期权，其执行价格 为$ 21.
Stock price = $20 Option Price=?
Stock Price = $22 Option Price = $1
Stock Price = $18 Option Price = $0
一个简单的二叉树模型
ƒ = [ p ƒu + (1 – p )ƒd ]e–rT
其中
p erT d ud
Risk-Neutral Valuation
ƒ = [ p ƒu + (1 – p )ƒd ]e-rT
变量 p和 (1 – p ) 可以解释为股票价格上升和下降的风险
中性概率
衍生证券的价值就是它的到期时刻的期望收益的现值
4.证券价格的树型结构
（三）倒推定价法
5. 倒推定价法
二叉树方法的一般定价过程－以无收益证券的美式看跌期权为例
6.一般定价过程
1.1二叉树模型的基本方法
无套利定价法：
构造投资组合包括 D 份股票多头和1份看涨期权空头
当 SuD u SdD fd 则组合为无风险组合 此时 D fu fd
Su Sd
假设把一期权有效期划分成N个长度为Dt 的小区间，同时用 Su j d i j
表示结点 (i, j处) 的证券价格可得： fN，j max(X Su jd N j ,0) 其中 j 0,1, , N 假定期权不被提前执行，Dt后，则： fij erDt[ pfi1, j1 (1 p) fi1, j ]
增长率应该为r q ， 因此：
e (rq)Dt pu (1 p)d
p e (rq)Dt d ud
u e Dt
d e Dt
对于股价指数期权来说， q 为股票组合的红利收益率； 对于外汇期来说， q 为国外无风险利率，
因此以上式子可用于股价指数和外汇的美式期权定价。
1.2基本二叉树方法的扩展
Rubinstein所用的条件）
由以上三式可得，当 Dt 很小时： p e rDt d u e Dt
ud
从而 f erDt pfu 1 p fd
d e Dt
以上可知，无套利定价法和风险中性定价法具有内在一致性。
1.1二叉树模型的基本方法
Su4 Su3
Su2
Su2
Su
Su
S
S
S
Sd