中考数学一元二次方程组综合题及详细答案

，
．于是，对正整数
，有
原式=
6．关于 x 的方程(k－1)x2+2kx+2=0 （1）求证：无论 k 为何值，方程总有实数根．
（2）设 x1，x2 是方程(k－1)x2+2kx+2=0 的两个根，记 S= + + x1+x2，S 的值能为 2 吗？
若能，求出此时 k 的值．若不能，请说明理由． 【答案】（1）详见解析；（2）S 的值能为 2，此时 k 的值为 2． 【解析】 试题分析：（1） 本题二次项系数为(k－1)，可能为 0，可能不为 0，故要分情况讨论；要 保证一元二次方程总有实数根，就必须使△ ＞0 恒成立；（2）欲求 k 的值，先把此代数式 变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可． 试题解析：（1）①当 k-1=0 即 k=1 时，方程为一元一次方程 2x=1,
3．解方程：
3x 2x 1
2
2
3x 2x 1
3
0
．
【答案】x= 1 或 x=1 5
【解析】
【分析】
设 y 3x ，则原方程变形为 y2-2y-3=0, 解这个一元二次方程求 y，再求 x． 2x 1
【详解】
解：设 y 3x ，则原方程变形为 y2-2y-3=0． 2x 1
解这个方程，得 y1=-1,y2=3,
中考数学一元二次方程组综合题及详细答案
一、一元二次方程
1．李明准备进行如下操作实验，把一根长 40 cm 的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围 成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于 58 cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？ (2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于 48 cm2，你认为他的说法正确吗？请说明 理由． 【答案】 (1) 李明应该把铁丝剪成 12 cm 和 28 cm 的两段；(2) 李明的说法正确，理由见解 析. 【解析】 试题分析：（1）设剪成的较短的这段为 xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm．就可以表示 出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于 58cm2 建立方程求出其解即可； （2）设剪成的较短的这段为 mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm．就可以表示出这两个 正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于 48cm2 建立方程，如果方程有解就说明李 明的说法错误，否则正确． 试题解析：设其中一段的长度为 cm，两个正方形面积之和为 cm2，则
﹣（2k+1）x+4（k﹣ 1 ）＝0 的两个实数根，求△ ABC 的周长． 2
【答案】△ ABC 的周长为 10． 【解析】 【分析】 分 a 为腰长及底边长两种情况考虑：当 a=4 为腰长时，将 x=4 代入原方程可求出 k 值，将 k 值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ ABC 的周长；当 a=4 为 底边长时，由根的判别式△ =0 可求出 k 值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出 b+c 的值，由 b+c=a 可得出此种情况不存在．综上即可得出结论．
经检验 是方程（﹡）的根，但
，∴
【解析】
（1）计算△ =（2k-3）2-4k（k-3）=9＞0，再利用求根公式即可求出方程的两根即可；
（2）有（1）可知方程的两根，再有条件 x1＞x2，可知道 x1 和 x2 的数值，代入计算即
可．
一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、
∴ 3x 1或 3x 3．
2x 1
2x 1
解得 x= 1 或 x=1． 5
经检验：x= 1 或 x=1 都是原方程的解． 5
∴ 原方程的解是 x= 1 或 x=1． 5
【点睛】 考查了还原法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据 方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．
，
（其中
），当
时，
，解这个方程，得
，
，∴ 应将之剪成 12cm 和 28cm
的两段；
（2）两正方形面积之和为 48 时，
，
，
∵
， ∴ 该方程无实数解，也就是不可能使得两正方形面积
之和为 48cm2，李明的说法正确． 考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．
2．在等腰三角形△ ABC 中，三边分别为 a、b、c，其中 ɑ＝4，若 b、c 是关于 x 的方程 x2
x= 有一个解；
②当 k-1≠0 即 k≠1 时，方程为一元二次方程， △ =（2k）²-4×2（k-1）=4k²-8k＋8="4(k-1)" ²＋4＞0 方程有两不等根 综合①②得不论 k 为何值，方程总有实根
（2）∵ x ₁＋x ₂＝
,x ₁ x ₂=
∴ S= + +பைடு நூலகம்x1+x2
= =
=
=
=2k-2=2， 解得 k=2， ∴ 当 k=2 时，S 的值为 2 ∴ S 的值能为 2，此时 k 的值为 2． 考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系．
【详解】
当
a＝4
为腰长时，将
x＝4
代入原方程，得：
42
4 2k
1
4
k
1 2
0
解得： k 5 2
当 k 5 时，原方程为 x2﹣6x+8＝0， 2
解得：x1＝2，x2＝4， ∴ 此时△ ABC 的周长为 4+4+2＝10；
当 a＝4 为底长时，△ ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×4（k﹣ 1 ）＝（2k﹣3）2＝0， 2
保护水资源，是科学发展观的重要体现.依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措
施，其中规定每月用水量超过 （吨）时，超过部分每吨加收环境保护费 元.下图反映
了每月收取的水费 （元）与每月用水量 （吨）之间的函数关系. 请你解答下列问题：
5．已知 为正整数，二次方程
的两根为
，求下式的值：
【答案】
【解析】 由韦达定理，有
解得：k＝ 3 ， 2
∴ b+c＝2k+1＝4． ∵ b+c＝4＝a， ∴ 此时，边长为 a，b，c 的三条线段不能围成三角形． ∴ △ ABC 的周长为 10． 【点睛】 本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三 角形的三边关系，分 a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．
4．已知：关于 的方程 （1） 用含 的式子表示方程的两实数根；
有两个不相等实数根
．
（2）设方程的两实数根分别是 ， （其中
），且
【答案】（I） kx2+（2k－3)x+k－3 = 0 是关于 x 的一元二次方程．
∴
由求根公式，得
．∴
或
，求 的值．
（II）
，∴
．
而
，∴
，
．
由题意，有
∴
即
（﹡）
解之，得