插值与基函数上

第四章 插值与基函数 重新回忆虚功方程它是解释有限元法的思想基础。
注意到未知位移是通过插值函数用结点位移表示
实
虚
[N] 是关键。故可以说采用
插值函数位移模式是有限元法的一个重要特点。这样提高
插值精度是提高有限元法精度的重要手段。换言之,用什 么单元的问题是关键问题，它决定了工作量和精度。
插值函数类是有限维的，与空间向量存在着一组基一样， 也存在一组基函数，所有同一类的插值函数都可通过这组 基函数表现出来。例如三角形单元中有三个基函数（一组 基）。
试求 要求
直线 则
方程
再求 要求
是二次式。 则 必含
直线
方程
则
方程
则 必含
利用对称性，即写出其他基函数
(4.30)
基函数的图形
③逼近度 因
, 故有估计
④总体自由度 比较一次插值，总体自由度为NP，现在提高一次， 变为4NP，工作量增加很多，但是光滑度仍然是不
够的，所以用高次插值要权衡一下利弊。除二次线 性插值外，还有三次插值，受阻制的三次插值等三 角形单元。由于实际中用得不多在此只作粗略介绍。 2）三次插值
另外又把N变换成三角形弧长的一次式[式（2-35）]
这里，研究一个小区间：
令
(4.4)
λ1 λ2
则
1
1
(4.5)
xi
Xi+1
称为单元 上线性插值基函数，很有用
（这样，无论对于哪一个单元都可以用同一形式表示）
恰好又为长度比： (4.6)
性质： 10 记
点的坐标为
，则有
(4.7)
这说明坐标X与满足关系式
（1）三次插值 ，插值函数
使在每个单
元 上满足： 10
20 式（亦即
A1
C A3
A2
设
边
是 的三次式）
的齐三次
唯一可解性：
为一个自变量
在 的三次式（在点
点也类似情况）。由于已设 点在x,y向微商为0，
故对任意方向，特别是
向微商亦为0，从而边
只要此三点不在一条直线上，这样的平 面Q显2 然是唯一确Q3定的。因此插值函数写成
（一次式） (4.16)
亦即单元 e上有 单元e的基函数
(4.17) ，均为一次式且满足
(4.18)
我们在平面问题中已谈过三角形单元,基函数可取
(i.,j=1,2,3)
若在e上定义
则
(4.19)
其中
在第三章一开头我们谈过主要研究一个插值函数的连续
(4.9)
任意区间标准区间[0,1] 注意Euler 积分公式
利用式（3.9）直接得到
(4.10)
(4.11)
这个公式在计算线单元“刚度系数”和“荷载向量”常用
2．高次Lagrange 型插值(1)
的定义：
已知函数 要求：
在各单元顶点和中点的函数值 和
10
20 在每个单元
上
是二次
式。给中点值的原因是三点能使二
性,逼近度和整体自由度，下面讨论一下这三个问题。
连续性：三角形上的线性插值在一条边上的值等于此边两
端节点所作的线性插值，由一维插值的唯一性即知在任何
两个三角形单元的公共边界上
连续，从而在整
个 上亦连续。
逼近度 由插值的唯一性有 从而由逼近定理有估计
(4.20)
总体自由度 NP （2）面积坐标 线性插值基函数很有用,深入讨论
利用（3.10）式Euler 积分
得到一个十分有用的公式 若令
3．高次Lagrange 插值 1）二次插值 以六结点二次三角形为例，知 顶点和各边中点上的值，求函数
（中点）i=1,2,3
在各单元 在任意e上有
这种b结点元具有12个自由度，单元中的应力是线性的， 不再是常数。
①唯一可解性：（思路与一维高次Lagrange 的证法是一样
对于基函数，一般研究下述问题： 1．连续性（光滑性） 2．逼近阶（误差大小）
3．总体自由度（关系到离散单元的数量、工作量） 为说明每类插值函数的逼近度，需要引进函数的度量， 命
其中n=1,2,3分别对应一维，二维和三维情况。
都是非负整数。
逼近定理 设f(x)是给定在Ω上的函数，它使得
有意义， 是f(x) 的插值函数，
从图形看
用长度坐标表示时：
考虑到
，则
含
因子,再要满足
则可写出
则
必
（即
时 ），
同理
(4.13)
（2） （i）
的性质
在
上连续,且有分段连续微商
（ii）当 即
是二次多项式时， 就是 从而由逼近定理估计
本身，
（iii） 的总体自由度：2N-1 一般说来，总还可以构造更高次的Lagrange 型插值函数，
其中
为边界上的边数，显然
是一个小数，
当边足够多时，可认为
近似为0
证毕。
四边形单元的情况类同，证明从略，从式子中可以见到,
多边形单元加内点并不合算，加一个点的工作量等于加一
个单元的工作量。
2．线性插值与面积坐标
（1）线性插值型（即Lagrange型）插值：
一次式
表示空间平面，根据插
Q1
值函数的定义它通过三个定点
的（
）之间有
一一对应关系，（
）可作为坐标，称为长度坐标
（只有一个变量独立）。
20 单元顶点 （0，1）和（
和形心的长度坐标分别是（1，0）， ）。
30 任一k次多项式
是
的齐k次多项式，反
之亦然（由于
，任何数乘以1还是原数，只须对
的任一项
乘以
使可得到
的齐k次式） 另：把k次多项式
化成
的k次多项式虽可有
它在位移光滑的区域 上有L-1阶连续微商，而L阶微商
在 上分块连续,如果它对于K次多项式
是准确的，
即
，则有估计式
(4.2)
其中 与h,f无关的常数。
是所有插值单元的最大直径，M是
（注） 是插值运算因子， 变为
，即把f(x)
（一）一维插值
1．线性插值（Lagrange型）与长度坐标
Lagrange型：只要求插值多项式本身在插值点上取
全三次插值是唯一的，但又是无用的，因它对
一次式都不准确。如
一次式中就包含
, 去掉后不准了，所以
要选择的三次插值函数的原则为：逼近度尽可能
高，三次不准则退守二次准确。
一般二次多项式的形式为
化为齐次式有
(4.32)
对于插值函数（三次）
欲使 （E）
问题归结为求 10
，必须满足条件（E）
，使
(4.33)
20在单元 上
是 的齐三次式（即 的
三次多项式）且系数满足条件（E），故亦称为受
限制的三次插值。
基函数 原来的基函数除（E）外，其他基函数的条
件显然满足,三条边上
故只要改变原基函
数中
项系数，使其满足（E）即可。
原来 可令 据条件（E）定出
故有
三条边上 节点 故
类似有：
这项为0，改变系数不影响在 之函数值。
上
是三次式
为构造 即
根据条件（即
),多项式
中必含
及
项，从而
,否则至少4次.
，要在每个单元 上构造四个基函数，
(4.14)
这些基函数应满足：
用长度坐标表示，注意到 由
，则
可知
这样
必含
项，故导数要为0，
根据长度坐标的性质（3），
多项式， 这样可将
表为
的多项式为齐3次
为待求系数
利用
得到 同理得
之条件 ，有
的，对于边
即为
一样）
设
，在边
上，因
，
故
是 二次式，以二次式在
和
三点为0。故由一维二次插值的唯一性知
在 上必恒为0，这样它必含 。同理它亦必含 故
但根据假设，在
点
即
故c=0即
这样就满足了唯一性。由于在每一边
上唯一，因此两个相领单元公共边的
必连续
共属
②基函数有两类：
其中（i）
(4.29)
（ii）单元 上
20 若f(x)取作一次多项式，则
就是它本身，即
，从而由逼近定理有估计：
其中
30
总体自由度为N（即N个节点）
为了表达更简洁，下面研究长度坐标，回忆上一章线性
插值基函数的线性变换[式（2-32）到式（2-35）]
B λ2
Pm
1
0 1A
λ1
e
Pi (t=0)
Pj（t=l)
将e变成
平面上的标准三角形OAB。
形心C，共10点，10个基函数 基函数
(4.31)
连续性
Hale Waihona Puke Baidu逼近度
总体自由度
3）受限制的三次插值 总体自由度增高多占不少内存， 想要减少一点,但对L型插值来说， 边上4个自由度是不可少的，要
保证三次和相邻元连续，因此只能在形心上想法， 表面上看，去掉三次式的某项作不完全的三次插
值是可行的，如去掉
项，这样的不完
必定是基函数。
连续性
逼近度
总体自由度
4．Hermite插值
重新回顾三角形剖分
，
每边加一个自由度等于顶点加三个自由度,内部加
一个自由度等于顶点加两个自由度，因此增加边 上自由度很不合算。另外用Lagrange型插值次数 再多也只能保证插值函数在 上连续，而不 可能有导数连续，因此研究Hermite 型插值是有 意义的。
准三角形OAB。
x
平面上的标
B λ2
(3) 面积坐标的性质: 10 三角形三顶点
1
y
0 1A
λ1
和形心的面积坐标分别为
（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）和
20 三角形条边 分别为
A λ1
的方程
0
B
λ2
30 下图,过任一点Q作平行于
的直线分别交
两边于
两点,则在线段
上恒有
B3 Q2
Q1 Q B2
并分别叙述了它们的充滑性，
逼近度和总体自由度，这也是谈插值必谈的三点，根据 这三点，权衡精度和工作量这对矛盾的统一体来选择或 构造各种不同的插值多项式。
在讲一维插值中多次利用长度坐标
这
为我们方便地写出插值基函数提供了条件，需熟练
掌握，在二维插值中，这种思想将发展成面积坐标。
在这里再次强调
的定义
（二）二维插值 1．二维插值的特点：
多种不同的形式，但齐k次多项式却是唯一的。
只要证明对任何
有
，
即有
这是因为在开区间（0,1）中任取k+1个不同点
， 由于当
时
(4.8)
其系数行列式为
如
时
的解
，有
，故式（4.8）
40
若取 为独立变量（
），则
x1
Q1
X2 Q2
L为
为顶点的单元的长度。
为方便起见，把对x的积分换成对长度坐标的积分，特别 是当被积函数本身已由长度坐标表出的时候。
次式唯一确定。有两种 方法可以证明
10与上次课一样，列出
然后证明系数行列式 插值时比较复杂
但此法在处理高维
20思路是
或
要证
的唯一性，只须指出
若 插值函数
，则在
是一个多项式且由假设有
上二次
故其必然同时含有因子 即
因
为二次式，故必有
方法简单易推广。
基函数
，则 (4.12)
称为单元 上二次插值的基 函数，很容易从长度坐标得到。
式（3.14）也可写成
（4.15） (4.14a)
（2）
的性质：
（i）
在
连续的二阶微商。
上有一阶连续微商和分变
（ii）如 本身，即
为三次多项式，则
就是
则有估计式
（iii）总体自由度：2N
归纳一下： 一维插值讲了三种插值多项式，分别为 ①线性Lagarange 型
②高次Lagrange型
③Hemnite 型
证：（三角形）Ω 内总内角和ψ，每一单元和π，故ψ=πNE
从顶点看，每点周角2π，故
其中α为边界
节点的外角， 为边界节点总数。
对于一般结构来说，外角总数总是远远小于结点数的。现 在上式中NPπ，则分母远远大于分子，因此在结点足够多 时，可认为
则
即
对于边，一个单元三条边，每条属于Ω内部的边又与两个 单元相联，有
已知值(=f(x))
Hermite型：除本身外，还要求多项式的微商（
，
法向微商）在插值点上取已知值。
插值函数的定义 设区间[a,b]被分成若 干单元，节点为
已知函数 使得
10 20 在第一单元 是一次式。
在各节点的值，插值函数 上
(4.3)
线性插值函数的性质
10
在[a,b]上连续,有分段连续微商。
看图，在一面问题中我们已讨论过基函数
的性质，特别是（3.23）式,我们已给出过 这里我们再详细讨论一下。
回顾式（3.23）
同理：
(4.21)
令
由基函数性质（注意式2.31），有
(4.22)
(4.23)
显见
(4.24)
与x,y是1-1对应的， 依频于
通常称
为面积坐标（或重心坐标齐次坐标）前已
谈过，把x,y平面上的各单元e都变为
Q3
有类似结果
40 任一x,y的k次多项式是
的齐k次多项式，反
之亦然（只须对每个
次单项式乘
以
，再展开便得
的齐k次多项
式，反之亦然——在一维Lagrange 插值中证过类似情况）
50 取
为独立变量，则利用式（4.24）（4.23）得
同理
，故有
(4.25)
解联列方程组。 (4.26)
(4.27) 插值函数用面积坐标表示在积分计算中有很大方便
一维的推广，但情况复杂一些，如 10 两个相邻单元结点的连续可微不等于边的连续可微 性，因此对每个插值函数在整个区域上的连续可微必须认 真考虑。
20 插值点既可以是单元顶点，又可以是单元边界点， 甚至内点插值，因此对总体自由度方面要有新认识。
引理
三角形剖分 NP：NE：NS≈1：2：3
四边形剖分 NP：NE：NS≈1：1：2
如当中加两个点等等。这样插值函数逼近的 精度会有所提高，但充滑性并不增加，不合 算。如作位移模式，仅位移连续，而转角等 不连续。因此，如需在单元顶点上增加微商 条件的话，拟采用Hermite型插值。
3．三次Hermite 型插值
（1）
的定义
函数
在每单元端点的函数值
和
微商值，
使
满足
10
20 在每一单元