古扎拉蒂《计量经济学基础》复习笔记和课后习题详解-第1篇 单方程回归模型(第6~9章)【圣才出品】
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第 6 章 双变量线性回归模型的延伸
6.1 复习笔记
考点一：过原点回归 ★★
1．定义及模型估计 过原点的回归模型中是指不含截距项或截距项为 0 的回归。过原点的回归模型估计结 果与正常回归模型的结果的对比如表 6-1 所示。
模型就是参数 α 和 β2 的线性函数，并且是变量 Yi 和 Xi 的对数的线性函数，从而可用
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OLS 回归来估计。由于线性性质，该模型被称为对数-对数、双对数或对数线性模型。
（2）特点
①β 测度的是 Y 对 X 的弹性，即给定 X 变化的百分数引起 Y 变化的百分数。
2．标准化
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（1）定义及其优势
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标准化是指将所有的变量减去样本均值后，再除以样本的标准误。使用标准化后的变量
进行回归，可以避免变量单位对于回归方程的影响。与传统的回归模型相比，标准化能够更
好的估计回归方程。
（2）β 系数
表 6-1 过原点模型和不过原点模型的区别
2．特点及回归性质 （1）特点
∧
①∑ui＝0 对有截距项模型一定成立，但对无截距项模型不一定成立。 ②判定系数 r2 对惯用的模型来说总是非负的。但对无截距模型来说，有时可能出现负 值。 （2）判定系数
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复合增长率：取 β2 估计值的反对数，再从中减去 1，然后用 100 乘以这个差值即可。 （4）线性趋势模型 Yt＝β1＋β2t＋ut 即不做 lnY 对时间的回归，而是做 Y 对时间的回归。这样的模型称为线性趋势模型， 并且把时间变量 t 取名为趋势变量。如果方程中的斜率系数是正的，则 Y 中存在上升趋势； 反之，如果它是负的，则 Y 中存在下降趋势。 因为增长模型和线性趋势模型的回归子不相同，所以不能比较它们的 r2 值。
3．对数到线性模型 模型可写为：Yi＝β1＋β2lnXi＋ui。 斜率系数：β2＝Y 的变化/X 的相对变化＝∆Y/（∆X/X）。 ∆Y＝β2（∆X/X），Y 的绝对变化（∆Y）等于 β2 乘以 X 的相对变化。如果后者乘以 100， 则方程给出了 X 变化 1%时 Y 的绝对变化量。
4．倒数模型 （1）模型 假定回归方程：Yi＝β1＋β2（1/X1）＋ui，此模型对参数而言是线性的，因此即使模型 对变量 X 是非线性的但仍属于线性回归模型。 模型的特点：随着 X 无限地增大，β2（1/X）项趋于零（β2 是一常数），而 Y 趋于极限 或渐近值 β1。这类模型在结构上有一内在的渐近线或极限值。当变量 X 值无限增大时，因 变量将取此极限值。 （2）扩展
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raw r2＝（∑XiYi）2/（∑Xi2∑Yi2） 注意： ①虽然 raw r2 满足关系 0＜r2＜1，却不能直接同惯用的 r2 值相比。 ②除非有非常强的先验预期，否则应采取含有截距的模型。 a．尽管模型含有截距项，但若该项的出现在统计上是不显著的（即统计上等于零）， 则从任何实际方面考虑，都可认为这个结果是一个过原点回归模型。 b．如果在模型中确实有截距，却执意拟合一个过原点回归，就犯了设定错误，不能得 出准确结论。
考点二：变量的测度变化 ★★★★★
1．尺度和测度单位变化 当尺度因子相同时，斜率系数及其标准误不受尺度从（Yi，Xi）变到（Yi*，Xi*）的影响。 然而，截距及其标准误却放大或缩小了 w1 倍。 若 X 尺度不变（即 w2＝1），而 Y 尺度按因子 w1 改变，则斜率和截距系数以及它们各 自的标准误都要乘以相同的 w1 因子。 如果 Y 尺度不变（即 w1＝1），而 X 尺度按因子 w2 改变，则斜率系数及其标准误要乘 以因子（1/w2），但截距系数及其标准误不变。 从（Y，X）到（Y*，X*）的尺度变换并不影响 OLS 估计量的性质。r2 值也保持不变， 由于 r2 值是一个纯数字或没有维度，所以不随度量单位而变化。
∧
②传统模型的 β 系数与这里的 β 系数之间存在一种特殊关系。在双变量情形中：β2*＝β
2·（Sx/Sy）。
考点三：回归模型的函数形式 ★★★★★
1．对数线性模型
（1）模型
Y 假定指数回归模型： i
X e 2 ui
11
。
它又可表达为：lnYi＝lnβ1＋β2lnX1＋ui。
将方程写成：lnYi＝α ＋β2lnXi＋ui。
由于对标准化的回归子和回归元做回归，所以截距项总是零。因此对标准化变量做回归：
Yi＝β1*＋β2*Xi*＋ui*＝β2*Xi*＋ui*
β 系数的含义：如果（标准化）回归元增加一个单位的标准差，则（标准化）回归子平
均增加 β2*单位个标准差。
（3）标准化回归与传统回归的区别
①标准化回归是一个过原点回归，因此通常的 r2 不能使用；
②模型假定 Y 与 X 之间的弹性系数 β2 在整个研究范围内保持不变，因此又名不变弹性
模型。
∧∧
∧
③虽然α和β2 是 α 和 β2 的无偏估计量，但 β1 的估计值β1 本身却是一个有偏误的估计量。
2．测量增长率：半对数模型 （1）模型 假设总体回归方程模型：Yt＝Y0（1＋r）t； 取对数：lnYt＝lnY0＋tln（1＋r）； 现假设：β1＝lnY0，β2＝ln（1＋r）； 就可把方程写为：lnYt＝β1＋β2t； 在方程中加入一个干扰项便得到：lnYt＝β1＋β2t＋ut。 此模型和任何其他线性模型一样，也是参数 β1 和 β2 的线性函数。 （2）斜率系数度量了回归元数量进行改变时回归子所产生的相应变量。也就是： β2＝回归子的相对改变量/回归元的相对改变量，即 X 的变化导致 Y 的变化。 如果将 Y 的相对改变量乘以 100，则方程将给出相对于回归元 X 的绝对改变量 Y 的百 分比变化或增长率。即 100 乘以 β2 给出 Y 的增长率；100 乘以 β2 在文献中被称为 Y 对 X 的半弹性。 （3）瞬时与复合增长率 瞬时增长率即为增长模型中趋势变量的系数 β2。
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第 6 章 双变量线性回归模型的延伸
6.1 复习笔记
考点一：过原点回归 ★★
1．定义及模型估计 过原点的回归模型中是指不含截距项或截距项为 0 的回归。过原点的回归模型估计结 果与正常回归模型的结果的对比如表 6-1 所示。
模型就是参数 α 和 β2 的线性函数，并且是变量 Yi 和 Xi 的对数的线性函数，从而可用
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OLS 回归来估计。由于线性性质，该模型被称为对数-对数、双对数或对数线性模型。
（2）特点
①β 测度的是 Y 对 X 的弹性，即给定 X 变化的百分数引起 Y 变化的百分数。
2．标准化
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标准化是指将所有的变量减去样本均值后，再除以样本的标准误。使用标准化后的变量
进行回归，可以避免变量单位对于回归方程的影响。与传统的回归模型相比，标准化能够更
好的估计回归方程。
（2）β 系数
表 6-1 过原点模型和不过原点模型的区别
2．特点及回归性质 （1）特点
∧
①∑ui＝0 对有截距项模型一定成立，但对无截距项模型不一定成立。 ②判定系数 r2 对惯用的模型来说总是非负的。但对无截距模型来说，有时可能出现负 值。 （2）判定系数
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复合增长率：取 β2 估计值的反对数，再从中减去 1，然后用 100 乘以这个差值即可。 （4）线性趋势模型 Yt＝β1＋β2t＋ut 即不做 lnY 对时间的回归，而是做 Y 对时间的回归。这样的模型称为线性趋势模型， 并且把时间变量 t 取名为趋势变量。如果方程中的斜率系数是正的，则 Y 中存在上升趋势； 反之，如果它是负的，则 Y 中存在下降趋势。 因为增长模型和线性趋势模型的回归子不相同，所以不能比较它们的 r2 值。
3．对数到线性模型 模型可写为：Yi＝β1＋β2lnXi＋ui。 斜率系数：β2＝Y 的变化/X 的相对变化＝∆Y/（∆X/X）。 ∆Y＝β2（∆X/X），Y 的绝对变化（∆Y）等于 β2 乘以 X 的相对变化。如果后者乘以 100， 则方程给出了 X 变化 1%时 Y 的绝对变化量。
4．倒数模型 （1）模型 假定回归方程：Yi＝β1＋β2（1/X1）＋ui，此模型对参数而言是线性的，因此即使模型 对变量 X 是非线性的但仍属于线性回归模型。 模型的特点：随着 X 无限地增大，β2（1/X）项趋于零（β2 是一常数），而 Y 趋于极限 或渐近值 β1。这类模型在结构上有一内在的渐近线或极限值。当变量 X 值无限增大时，因 变量将取此极限值。 （2）扩展
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raw r2＝（∑XiYi）2/（∑Xi2∑Yi2） 注意： ①虽然 raw r2 满足关系 0＜r2＜1，却不能直接同惯用的 r2 值相比。 ②除非有非常强的先验预期，否则应采取含有截距的模型。 a．尽管模型含有截距项，但若该项的出现在统计上是不显著的（即统计上等于零）， 则从任何实际方面考虑，都可认为这个结果是一个过原点回归模型。 b．如果在模型中确实有截距，却执意拟合一个过原点回归，就犯了设定错误，不能得 出准确结论。
考点二：变量的测度变化 ★★★★★
1．尺度和测度单位变化 当尺度因子相同时，斜率系数及其标准误不受尺度从（Yi，Xi）变到（Yi*，Xi*）的影响。 然而，截距及其标准误却放大或缩小了 w1 倍。 若 X 尺度不变（即 w2＝1），而 Y 尺度按因子 w1 改变，则斜率和截距系数以及它们各 自的标准误都要乘以相同的 w1 因子。 如果 Y 尺度不变（即 w1＝1），而 X 尺度按因子 w2 改变，则斜率系数及其标准误要乘 以因子（1/w2），但截距系数及其标准误不变。 从（Y，X）到（Y*，X*）的尺度变换并不影响 OLS 估计量的性质。r2 值也保持不变， 由于 r2 值是一个纯数字或没有维度，所以不随度量单位而变化。
∧
②传统模型的 β 系数与这里的 β 系数之间存在一种特殊关系。在双变量情形中：β2*＝β
2·（Sx/Sy）。
考点三：回归模型的函数形式 ★★★★★
1．对数线性模型
（1）模型
Y 假定指数回归模型： i
X e 2 ui
11
。
它又可表达为：lnYi＝lnβ1＋β2lnX1＋ui。
将方程写成：lnYi＝α ＋β2lnXi＋ui。
由于对标准化的回归子和回归元做回归，所以截距项总是零。因此对标准化变量做回归：
Yi＝β1*＋β2*Xi*＋ui*＝β2*Xi*＋ui*
β 系数的含义：如果（标准化）回归元增加一个单位的标准差，则（标准化）回归子平
均增加 β2*单位个标准差。
（3）标准化回归与传统回归的区别
①标准化回归是一个过原点回归，因此通常的 r2 不能使用；
②模型假定 Y 与 X 之间的弹性系数 β2 在整个研究范围内保持不变，因此又名不变弹性
模型。
∧∧
∧
③虽然α和β2 是 α 和 β2 的无偏估计量，但 β1 的估计值β1 本身却是一个有偏误的估计量。
2．测量增长率：半对数模型 （1）模型 假设总体回归方程模型：Yt＝Y0（1＋r）t； 取对数：lnYt＝lnY0＋tln（1＋r）； 现假设：β1＝lnY0，β2＝ln（1＋r）； 就可把方程写为：lnYt＝β1＋β2t； 在方程中加入一个干扰项便得到：lnYt＝β1＋β2t＋ut。 此模型和任何其他线性模型一样，也是参数 β1 和 β2 的线性函数。 （2）斜率系数度量了回归元数量进行改变时回归子所产生的相应变量。也就是： β2＝回归子的相对改变量/回归元的相对改变量，即 X 的变化导致 Y 的变化。 如果将 Y 的相对改变量乘以 100，则方程将给出相对于回归元 X 的绝对改变量 Y 的百 分比变化或增长率。即 100 乘以 β2 给出 Y 的增长率；100 乘以 β2 在文献中被称为 Y 对 X 的半弹性。 （3）瞬时与复合增长率 瞬时增长率即为增长模型中趋势变量的系数 β2。