分类讨论思想在高中数学中的应用

分类讨论思想在高中数学中的应用
摘要：分类讨论是是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。

在近几年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。

因此在平时的教学中，应该注重分类思想的教学，注重培养学生的逻辑性思维。

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。

分类讨论是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。

有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置，在近几年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。

因此在平时的教学中，应该注重分类思想的教学，注重培养学生的逻辑性思维。

分类讨论实质是“化整为零，各个击破，再积零为整”的思维策略。

分类讨论的思想方法的步骤：(1)确定标准；(2)合理分类；(3)逐类讨论；(4)归纳总结.其关键是“为什么分类，怎样分类”。

一、分类讨论的几个注意点
1. 明确分类讨论的对象
分类讨论的对象是用字母表示的数,一般为变量, 当然也不排除为常量的可能。

例1、设k 为实常数，问方程)4()8()4()8(22-⋅-=-+-k k y k x k 表示的曲线是何种曲线？
解析：方程表示何种曲线主要取决于k 的取值，可对k 分以下三种情形讨论：
（1）当k 4=时，方程变为0,042==x x 即，表示直线；
（2）当k 8=时，方程变为0042==y y 即，表示直线；
（3）当84≠≠k k 且时，方程变为1842
2=-+-k
y k x ，又有以下五种情形讨论： ①当4<k 时，方程表示中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线；
②当64<<k 时，方程表示中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆；
③当6=k 时，方程表示圆心在圆点的圆；
④当86<<k 时，方程表示中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆；
⑤当8>k 时，方程表示中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线．
解此类问题的关键是要明确每一种曲线的标准方程的概念，并依据概念的涵对参数k 进行分类。

2. 掌握分类讨论的标准
凡是分类都有一个标准，对同一事物，标准不同就形成了不同的分类，必须根据具体情况选择分类的标准。

例2、设一双曲线的两条渐近线方程为2x-y+1=0, 2x+y-5=0，求此双曲线的离心率.
分析:由双曲线的渐近线方程，不能确定其焦点位置，所以应分两种情况求解. 解:（1）当双曲线的焦点在直线y=3时，双曲线的方程可改为1)3()1(222=---b y a x ，一条渐近线的斜率为2=a
b ， ∴ b=2. ∴ 55
52
22==+==a a a b a c e . （2）当双曲线的焦点在直线x=1时，仿（1）知双曲线的一条渐近线的斜率
为2=b
a ，此时25=e . 综上（1）（2）可知，双曲线的离心率等于2
55或.
3. 找准分类讨论的界点
将讨论的对象分成若干部分，就要准确地选取“界值”，最常见的界值是“0”与“1”，如指数、对数的底a ，常分0<a<1、a>1两种情况讨论；在用根的判别式法求函数的值域时，按首项系数是否为０进行讨论等等，具体的问题具体分析。

例3、解不等式()()x a x a a +-+4621>0 (a 为常数，a≠－12
) 分析：含参数的不等式，参数a 决定了2a ＋1的符号和两根－4a 、6a 的大小，故对参数a 分四种情况a>0、a ＝0、－12<a<0、a<－12
分别加以讨论。

解：2a ＋1>0时，a>－12
； －4a<6a 时，a>0 。

所以分以下四种情况讨论： 当a>0时，(x ＋4a)(x －6a)>0，解得：x<－4a 或x>6a ；
当a ＝0时，x 2>0，解得：x≠0； 当－12
<a<0时，(x ＋4a)(x －6a)>0，解得: x<6a 或x>－4a ； 当a>－12
时，(x ＋4a)(x －6a)<0，解得： 6a<x<－4a 。

综上所述，当a>0时，x<－4a 或x>6a ；当a ＝0时，x≠0；当－12
<a<0时，x<6a 或x>－4a ；当a>－12
时，6a<x<－4a 。

本题的关键是确定对参数a 分四种情况进行讨论，做到不重不漏。

一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响而进行分类讨论，此种题型为含参型。

４. 分清分类讨论的“级别”
例4、解关于的不等式：x ax a x 2110-++<()
解析：（）当时，原不等式化为10101a x x =-+<∴>
（）当时，原不等式化为20110a a x x a
≠--<()()， ①若，则原不等式化为a x x a
<-->0110()()， 1011a a <∴< ，∴<>不等式解为或x a
x 11； ②若，则原不等式化为a x x a
>--<0110()()， （）当时，
，不等式解为i a a a x ><<<11111； ()ii a a
x 当时，，不等式解为==∈∅111； ()iii a a x a 当时，
，不等式解为011111<<><<； 综上所述，得原不等式的解集为：
当时，解集为或a x x a x <<>⎧⎨⎩⎫⎬⎭
011；{}当时，解集为a x x =>01|； 当时，解集为0111<<<<⎧⎨⎩⎫⎬⎭
a x x a ；当时，解集为a =∅1； 当时，解集为a x a x ><<⎧⎨⎩⎫⎬⎭
111。

这是一个含参数a 的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数a 分类：（1）a≠0（2）a=0，对于（2），不等式易解；对于（1），又需再次分类：a>0或a<0，因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在两根之外，还是在两根之间。

而确定这一点之后，又会遇到1与1
a
谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论。

故而解题时，需要作三级分类。

二、分类讨论的应用
1、集合中分类讨论问题
例5、（06全国II 卷）设a R ∈，函数2()22.f x ax x a =--若()0f x >的解集为A ，{}|13,B x x A B φ=<<≠，数a 的取值围。

解析：由f （x ）为二次函数知0a ≠，
令f （x ）＝0解得其两根为121
1x x a a =-=+由此可知120,0x x <>
（i ）当0a >时，12{|}{|}A x x x x x x =<⋃>，A B φ⋂≠的充要条件是23x <，
即1
3a 解得67a >； （ii ）当0a <时，12{|}A x x x x =<<，A B φ⋂≠的充要条件是21x >，即
11a >解得2a <-； 综上，使A B φ⋂=成立的a 的取值围为6(,2)(,)7
-∞-⋃+∞。

2、函数、方程中分类讨论问题
例6、函数y=sinx |sinx|＋|cosx|cosx ＋tanx |tanx|＋|cotx|cotx
的值域是( ) A.{-2,4} B.{-2，0,4} C.{-2，0，2，4} D.{-4，-2，0,4} 解析：须根据绝对值的意义去掉绝对值符号，因此必须对角x 所在的象限进行讨
论.由题意可知x ≠k π2
(k ∈Z),
(1)当x 在第一象限时，y=1+1+1+1=4；
(2)当x 在第二象限时，y=1+(-1)+(-1)+(-1)=-2；
(3)当x 在第三象限时，y=-1+(-1)+1+1=0；
(4)当x 在第四象限时，y=-1+1+(-1)+(-1)=-2.
故值域为{-2,0,4},应选B.
3、数列中分类讨论问题
例7、已知}a {n 是首项为2，公比为2
1的等比数列，n S 为它的前n 项和 （1）用n S 表示1n S +； （2）是否存在自然数c 和k ，使得21>--+c
S c S k k 成立 解析（1）由=n S 4(1n 21-），得221)2
11(411+=-=++n n n S S ，(n ∈N *) （2）要使21
>--+c S c S k k ，只要0)223(<---k
k S c S c 因为4)211(4<-
=k k S ，所以0212)223(>-=--k k k S S S ，(k ∈N *)， 故只要2
3<<-c 2S k k S ，（k ∈N *） 因为>+1k S k S ，(k ∈N *) ① 所以23≥-2S k 2
312S 1=- 又4S k <，故要使①成立，c 只能取2或3
当2=c 时，因为1S =2，所以当1=k 时，k S c <不成立，从而①不成立
当2k ≥时，因为c S >=-252232，由k S ＜1k S + (k ∈N *)得23<-2S k 2
31k S +–2
故当2k ≥时，2
3c >-2S k ，从而①不成立 当3=c 时，因为2S 1=，3S 2=，
所以当1k =，2k =时，k S c <不成立，从而①不成立
因为c S >=-4132233，又23<-2S k 2
32S 1k -+， 所以当3k ≥时，2
3>-2S k c ，从而①成立 综上所述，不存在自然数c ，k ，使21>--+c
S c S k k 成立 本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型 在解决第2问时，先分析问题使问题得以转化，再运用分类讨论的思想方法，对双参数k ，c 轮流分类讨论，对解题者的逻辑思维能力要求较高。

4、解析几何中的分类讨论问题
例8、 在xoy 平面上给定曲线y 2＝2x ，设点A(a,0)，a ∈R ，曲线上的点到点A 的距离的最小值为f(a)，求f(a)的函数表达式。

分析：求两点间距离的最小值问题，先用公式建立目标函数，转化为二次函数在约束条件x ≥0下的最小值问题，而引起对参数a 的取值讨论。

解：设M(x,y)为曲线y 2＝2x 上任意一点，则
|MA|2＝(x －a)2＋y 2＝(x －a)2＋2x ＝x 2－2(a －1)x ＋a 2＝[x －(a －1)]2＋(2a －1)
由于y 2＝2x 限定x ≥0，所以分以下情况讨论：
当a －1≥0时，x ＝a －1取最小值，即|MA}2
min ＝2a －1； 当a －1<0时，x ＝0取最小值，即|MA}2min
＝a 2； 综上所述，有f(a)＝21a a -⎧⎨⎩
|| ()()a a ≥时时11< 。

本题解题的基本思路是先建立目标函数。

求二次函数的最大值和最小值问题我们十分熟悉，但含参数a ，以及还有隐含条件x ≥0的限制，所以要从中找出正确的分类标准，从而得到d ＝f(a)的函数表达式。

5、不等式中分类讨论问题
例9、解关于x 的不等式：
a(x-1)x-2＞1（a ≠1） 解析：原不等式等价于：(a-1)x-(a-2)x-2＞0，即(a ﹣1)(x ﹣a-2a-1
)(x ﹣2)＞0 ① 若a>1，则①等价于(x ﹣
a-2a-1)(x ﹣2)＞0. 又∵2﹣a-2a-1＝﹣1a-1﹣1＜0，∴a-2a-1
＜2 ∴原不等式的解集为；(﹣∞，a-2a-1
)∪（2,＋∞）； 若a<1时，则①等价于(x ﹣a-2a-1)(x ﹣2)＜0.由于2﹣a-2a-1＝a a-1
， 当0<a<1时，
a-2a-1>2，∴原不等式的解集为(2，a-2a-1). 当a<0时，a-2a-1<2，∴原不等式的解集为(a-2a-1
，2).
当a ＝0时，原不等式为(x ﹣2)2＜0，解集为∅.
综上所述：当a<0时，原不等式的解集为；(a-2a-1
，2)； 当a ＝0时，原不等式的解集为∅；当0<a<1时,原不等式的解集为(2，a-2a-1
) 当a>1时，原不等式的解集为；(﹣∞，a-2a-1
)∪（2,＋∞）. 本题需要两级分类，第一级，按开口方向分类分a ＞1和a ＜1，在a<1时，
又需要讨论两个根2与a-2a-1
的大小，又分为三类，即a ＜0，a=0和0＜a ＜1. 6、排列组合中分类讨论问题
例10、四个男孩和三个女孩站成一列，男孩甲前面至少有一个女孩站着，并且
站在这个男孩前面的女孩个数必少于站在他后面的男孩个数的站法共有多少种？
解析：现在按男孩甲前面的男、女孩数来分类.
第一类，甲前面有2个女孩，其它男孩和另一女孩必须站在甲后面，有A 23A 4
4(种)； 第二类，甲前面有一个女孩和一个男孩，有：C 13C 13A 22A 44(种)；
第三类，甲前面仅有一个女孩，有：A 13A 55(种)；
∴满足条件的站法为：A 23A 44+C 13C 13A 22A 44+A 13A 55=936(种).
三、对有关分类讨论的高考试题发展趋势的估计
全国和各地的高考试卷中有关分类讨论的问题必将继续出现，且在选择、填空和解答题中都有可能出现。

有关分类讨论的试题涉及的知识面较宽，首先与函
数、方程、不等式相结合，还可能与数列、向量、直线、圆、圆锥曲线、排列组合、二项式定理、导数及其应用、空间图形等容相结合。

因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置，须引起重视。

参考文献:
《例谈分类讨论的类型与解题策略》自西
《分类讨论思想的应用》徐茂如
《再议“用分类讨论的思想”解决高考题》金小欣。