ll第十一章 动能定理

62 第十一章 动能定理一、填空题1．刚度系数为C 的弹簧下挂有质量为m 的物体，若物体从静平衡位置下降距离h ，则弹性力做功为221[()()]2mg mg C h c c-+。

2．匀质圆盘的质量为m ，半径为r ，（1）若圆盘绕盘缘上的轴A 以角速度ω转动时，则圆盘动能T =2234mr ω；(2)若圆盘在光滑水平面上以速度v.平动时，则圆盘动能T =212o mv ；（3）若圆盘在水平面上作无滑动滚动（盘心速度为0v ）时，则圆盘动能T =234o mv 。

3．如图11.1所示，半径为R ，质量为1m 的均质滑轮上，作用一个常力偶矩M ，吊升一个质量为2m 的重物，当重物上升高度h 时，力偶矩M 作的功为MhR，重力做的功为2m gh -。

二、选择题1．图11.2所示内啮合行星齿轮机构中，行星轮的质量为1m ，半径为r ，系杆1OO 质量是2m ，长度为l 。

若行星齿轮可视为均质圆盘，系杆可视为均质细直杆，且系杆的转动规律为()t ϕϕ=，则系统在图示瞬时动能的大小等于（ D ）。

(A ) ()22123m m l ϕ+ 16 (B ) ()2221211132124m m l m r ϕϕ++ 2 (C )()222212111362m m l m r ϕϕ++ (D ) ()221219212m m l ϕ+ 2．图11.3所示均质圆盘在水平直线轨道上作无滑动滚动（盘心速度为v ），在盘心移动了距离s 的过程中，水平常力T F 的功T W =( B )，轨道给圆轮的摩擦力f F 的功f W =( E )。

(A ) T F s ⋅ (B ) 2T F s ⋅ (C ) f F s -⋅ (D ) 2f F s ⋅ (E ) 0图11.1图11.2图11.3.63 .三、计算题1．弹簧的刚度系数是c ，其一端固连在铅直平面的圆环顶点O ，别后一端与可沿圆环滑动的小套环A 相连（见图11.4）。

设小套环重G ，弹簧的原长等于圆环的半径r ，o 30α=。

试求下列各情形中重力和弹性力的功：（1）套环由1A 到3A ；（2）套环由2A 到3A ；（3）套环由3A 到4A ；（4）套环由2A 到4A 。

解：应用重力和弹性力的功的定义，计算各种情形下的功为（1）13(sin )2P W Gh G r r Gr α==+=222212111()(0)222c W c c r cr δδ=-=-=- （2）2P W Gh Gr ==222221211())]0.41422c W c c r r cr δδ=-=--=-（3）3P W Gh Gr ==-222221211()[)]0.41422c W c c r r cr δδ=-=--=（4）40P W Gh ==22221211()))]022c W c c r r δδ=-=---=2．如图11.5所示托架ABC 缓慢地绕水平轴B 转动，当角o 15α=时，托架停止转动，质量6m kg =的物块D 开始沿斜面CB 下滑，下滑距离250s mm =时压到刚度系数 1.6/c N m =的弹簧上。

已测得弹簧最大变形50mm λ=。

试求物块与斜面间的静摩擦系数和动摩擦系数。

解：（1）应用摩擦角的概念，可知物块与斜面间的静摩擦系数为o tan tan tan150.268s m f ϕα====（2）应用动能定理求物块与斜面间的动摩擦系数。

物块压到弹簧后，其受力图如图所示。

从物块开始下滑到最终物块静止各力所做的功为：()sin P W mg s λα=+图11.42A图11.5CACA64 ()cos ()d F d d W F s f mg s λαλ=-+=-+212c W c λ=由动能定理，21i T T W -=∑，有21()sin cos ()02d mg s f mg s c λααλλ+-+-=解得0.2678d f =3．如图11.6所示的曲柄滑块机构中，曲柄OA 受到常值力偶矩0M 作用。

初瞬时机构处于静止且转角0ϕϕ=；试求曲柄转过一整圈时的角速度。

假设曲柄长r ，对轴O 的转动惯量是O I ；滑块A 的重量是1G ；滑道杆的重量是2G ；滑块与滑槽间的摩擦力可认为是常数并等于F 。

解：（1）由a e r =+v v v 作A 点的v 图。

由图可知00sin sin sin e a a v v v r ϕϕωϕ===（2）应用动能定理求曲柄的角速度10T =22222222212122111111sin 222222o a e o o G G G G T I v v I r r g g g gωωωωϕ=++=++ 242(2)ioo W MF r M Fr ππ=⋅-⋅=-∑由动能定理，21i T T W -=å，有图11.6.65 .ω= 4．如图11.7所示，已知轮子半径是r ，对转轴O 的转动惯量是O I 。

连杆AB 长l ，质量是1m ，并可看成均质细杆。

滑块A 质量是2m ，可沿光滑铅直导轨滑动，滑块在最高位置（o 0θ=）受到微小扰动后，从静止开始运动。

求当滑块到达最低位置时轮子的角速度。

假设各处的摩擦均不计。

解：设滑块到达最低位置时轮子的角速度为ω 通过运动分析可知此时连杆AB 的角速度为AB r lωω=滑块A 此时处于静止状态。

此时该系统的动能为222222201011111122326AB T I m l I m r ωωωω=+⋅=+根据动能定理21i T T W -=å，有222011212110222()26I m r m g r m g r m m gr ωω+-=⋅+⋅=+ 求解上式，可得滑块到达最低位置时轮子的角速度为ω= 5．如图11.8所示，椭圆规机构由曲柄OA 、规尺BD 以及滑块B ，D 组成。

已知曲柄长l ，质量是1m ,规尺长2l ，质量是12m ，且两者都可以看成均质细杆；两滑块的质量都是2m 。

整个机构被放在水平面上，并在曲柄上作用常值转矩0M ，试求曲柄的角加速度，各处的摩擦不计。

解：不妨设初始时OA 杆处于OD 位置，当OA 杆与水平线的夹角成ϕ角时，其角速度为ω，此时P 点为BD 杆的速度瞬心，BD 杆的角速度为ABD v PAωω==。

滑块B ，D 的速度分别为图11.7图11.7BB66 2cos B BD v PB l ωωϕ=⋅=,2sin D BD v PD l ωωϕ=⋅=⋅此时，系统的动能为22222011112222P BD B B D DT I I m v m v ωω=+++22222221112211111[2(2)2](2cos )(2sin )212622m l m l m l m l m l ωωωϕωϕ=⨯⨯++++ 222212322m l m l ωω=+ 所有的力做功代数和为iW M ϕ=∑由动能定理，有2222012322M m l m l ϕωω=+上式两边同时对时间求导，可得曲柄的角加速度为212(34)M m m le =+ 6．如图11.9所示机构，直杆AB 质量为m ，楔块C 的质量为1m ，倾角为θ。

当AB 杆铅垂下降时，推动楔块水平运动，不记各处摩擦，求楔块C 与AB 杆的加速度。

解：设AB 杆下降高度h 时的速度为a v ，由运动学分析可知楔块C 的速度e a v v ctg θ=，此时系统的动能可表示为222222211111111()()22222a e a a aT mv m v mv m v ctg m m ctg v θθ=+=+=+ 由动能定理21i T T W -=∑，有2211()2a m m ctg v mgh θ+= 上式两边同时对时间求导，可得图11.9a.67 .21()a a a m m ctg v a mgv θ+=AB 杆的加速度为21+a mga m m ctg θ=由A 点的加速度合成图，可知楔块C 的加速度为21tan tan +e a mg a a ctg m m θθθ==7．如图11.10所示均质轮A 的半径1r ，质量是1m ，可在倾角为θ的固定斜面上纯滚动。

均质轮B 的半径是2r ，质量是2m 。

水平弹簧刚度系数是c 。

假设系统从弹簧未变形的位置静止释放，绳与轮B 不打滑，绳的倾斜段与斜面平行，不计绳重和轴承摩擦，求轮心C 沿斜面向下运动的最大距离以及这瞬时轮心C 的加速度。

解：（1）先求轮心C 沿斜面向下运动的最大距离。

系统在开始运动和最终位置的动能分别为1T =0，2T =0在此过程中，系统所受力在此过程中所做功的代数和为221maxmax 1sin (0)2i W m gs c s θ=+-∑ 21m a xm a x 1s i n 2m g s c s θ=- 由动能定理21iT T W -=∑，可知21max max 1sin 02m gs cs θ-=解得轮心C 沿斜面向下运动的最大距离为1max 2sin m g s cθ=（2）设轮心C 向下运动的距离为s 时速度为C v ，则有10T =222222211221212131131()()222244c C c c v v T m r m r m v m v r r =⨯⨯+⨯⨯=+ 在此过程中，系统所受力在此过程中所做功的代数和为2221111sin (0)sin 22i W m g s c s m g s cs θθ=⋅+-=⋅-∑ 图11.1068 由动能定理21iT T W -=∑，可知2212111(3)sin 42c m m v m g s cs θ+=⋅- 两边分别对时间求导，可得1211(3)sin 2c c c c m m v a m gv csv θ+⋅=- 解得1122(sin )3c m g cs a m m θ-=+取1max 2sin m g s s cθ==，代入得到该瞬时轮心C 的加速度 1122sin 3m g a m m θ=-+8．如图11.11所示物体A 质量1m ，挂在不可伸长的绳索上。

绳索跨过定滑轮B ，另一端系在滚子C 的轴上，滚子C 沿固定水平面滚动而不滑动。

已知滑轮B 和滚子C 是相同的均质圆盘，半径都是r ，质量都是2m 。

假设系统在开始处于静止，试求物块A 在下降高度h 时的速度和加速度。

绳索的质量以及滚动摩阻和轴承摩擦都不计。

解：（1）系统在开始处于静止，故初始系统的动能为10T =物块A 在下降高度h 时，初始系统的动能为222212111()()222v T m v m r r =+ 2222211()()22vm r m r r ++221212m v m v =+ 物块A 在下降高度h 时，系统所受力在此过程中所做功的代数和为1iW m gh =∑由动能定理21i T T W -=∑，有21211(2)2m m v m gh += 解得物块A 在下降高度h 时的速度为图11.11.69 .v =两边同时对时间求导，可得121(2)m m va m gv +=即物块A 在下降高度h 时的加速度为1122m ga m m =+9．如图11.12所示外啮合的行星齿轮机构放在水平面内，在曲柄OA 上作用常值力偶矩0M ，带动齿轮1沿定齿轮2滚动而不滑动。