ll第十一章 动能定理

62 第十一章 动能定理

一、填空题

1．刚度系数为C 的弹簧下挂有质量为m 的物体，若物体从静平衡位置下降距离h ，则弹性力做功为22

1[(

)()]2mg mg C h c c

-+。 2．匀质圆盘的质量为m ，半径为r ，（1）若圆盘绕盘缘上的轴A 以角速度ω转动时，则圆盘动能T =

2234mr ω；

(2)若圆盘在光滑水平面上以速度v.平动时，则圆盘动能T =212

o mv ；（3）若圆盘在水平面上作无滑动滚动（盘心速度为0v ）时，则圆盘动能T =2

34

o mv 。 3．如图11.1所示，半径为R ，质量为1m 的均质滑轮上，作用一个常力偶矩M ，吊升一个质量为2m 的重物，当重物上升高度h 时，力偶矩M 作的功为

Mh

R

，重力做的功为2m gh -。 二、选择题

1．图11.2所示内啮合行星齿轮机构中，行星轮的质量为1m ，半径为r ，系杆1OO 质量是2m ，长度为l 。若行星齿轮可视为均质圆盘，系杆可视为均质细直杆，且系杆的转动规律为

()t ϕϕ=，则系统在图示瞬时动能的大小等于（ D ）。

(A ) ()22123m m l ϕ+ 16 (B ) ()22212111

32124m m l m r ϕ

ϕ++ 2 (C )

()222212111362m m l m r ϕ

ϕ++ (D ) ()22121

9212

m m l ϕ+ 2．图11.3所示均质圆盘在水平直线轨道上作无滑动滚动（盘心速度为v ），在盘心移动了距离s 的过程中，水平常力T F 的功T W =( B )，轨道给圆轮的摩擦力f F 的功f W =( E )。 (A ) T F s ⋅ (B ) 2T F s ⋅ (C ) f F s -⋅ (D ) 2f F s ⋅ (E ) 0

图

11.1

图

11.2

图

11.3

.63 .

三、计算题

1．弹簧的刚度系数是c ，其一端固连在铅直平面的圆环顶点O ，别后一端与可沿圆环滑动的小套环A 相连（见图11.4）。设小套环重G ，弹簧的原长等于圆环的半径r ，o 30α=。试求下列各情形中重力和弹性力的功：（1）套环由1A 到3A ；（2）套环由2A 到3A ；（3）套环由3A 到4A ；（4）套环由2A 到4A 。

解：应用重力和弹性力的功的定义，计算各种情形下的功为

（1）13

(sin )2

P W Gh G r r Gr α==+=

222

2

12111()(0)222

c W c c r cr δδ=-=-=- （2）2P W Gh Gr ==

22

222121

1())]0.41422

c W c c r r cr δδ=-=--=-

（3）3P W Gh Gr ==-

222221211

()[)]0.41422

c W c c r r cr δδ=-=--=

（4）40P W Gh ==

22221211

()))]022

c W c c r r δδ=-=---=

2．如图11.5所示托架ABC 缓慢地绕水平轴B 转动，当角o 15α=时，托架停止转动，质量6m kg =的物块D 开始沿斜面CB 下滑，下滑距离250s mm =时压到刚度系数 1.6/c N m =的弹簧上。已测得弹簧最大变形50mm λ=。试求物块与斜面间的静摩擦系数和动摩擦系数。

解：（1）应用摩擦角的概念，可知物块与斜面间的静摩擦系数为

o tan tan tan150.268s m f ϕα====

（2）应用动能定理求物块与斜面间的动摩擦系数。物块压到弹簧后，其受力图如图所示。从物块开始下滑到最终物块静止各力所做的功为：

()sin P W mg s λα=+

图

11.4

2A

图

11.5

C

A

C

A

64 ()cos ()d F d d W F s f mg s λαλ=-+=-+

212

c W c λ=

由动能定理，21i T T W -=∑，有

21

()sin cos ()02

d mg s f mg s c λααλλ+-+-=

解得

0.2678d f =

3．如图11.6所示的曲柄滑块机构中，曲柄OA 受到常值力偶矩0M 作用。初瞬时机构处于静止且转角0ϕϕ=；试求曲柄转过一整圈时的角速度。假设曲柄长r ，对轴O 的转动惯量是O I ；滑块A 的重量是1G ；滑道杆的重量是2G ；滑块与滑槽间的摩擦力可认为是常数并等于F 。

解：（1）由a e r =+v v v 作A 点的v 图。由图可知

00sin sin sin e a a v v v r ϕϕωϕ===

（2）应用动能定理求曲柄的角速度

10T =

222222222

12122111111sin 222222o a e o o G G G G T I v v I r r g g g g

ωωωωϕ=

++=++ 242(2)i

o

o W M

F r M Fr ππ=⋅-⋅=-∑

由动能定理，21i T T W -=

å

，有

图11.6