5-2转动惯量、功、能、角动量

L J
M
d A M d M J
1 E K J 2 2
J
F dt P P
0
M dt L L
0
1 2 1 2 F d x 2 mv 2 mv0
1 2 1 2 M d J J 0 2 2
刚体的动能应是组成刚体的各个质点的动能之和。
1 2 mi vi 2
刚体做定轴转动时，各质点的角速度相同 设质点Δ mi离轴的垂直距离为ri
则它的线速度
vi ri
z
ω ,α
因此整个刚体的动能
1 2 EK mi vi 2
1 2
2
Oi ●
ri
v
θ
● Δm
i
刚体
2
1 mi ri J 2 2 1 2 Ek J 是动能！ 2
dA Md
A Md
1
d d J d Jd Jd dt dt
合外力矩对刚体所作的总功为：
2
1 2 猜一猜 J 的物理属性是什么？ 2
设刚体中第i个质点的质量为Δ mi,速度为vi 则该质点的动能为：

2
1
1 1 2 2 Jd J 2 J1 2 2
z
o1
§5.3 转动惯量的计算
转动惯量的定义： J
m r
2
i i
●
r1
Δm1 Δm2
1、形状、大小相同的均匀刚体 总质量越大，转动惯量越大。
2、总质量相同的刚体，质量分 布离轴越远，转动惯量越大。 3、对同一刚体，转轴不同，质 量对轴的分布不同，转动惯量 就不同。
来自百度文库
o2
●
r2
对质量连续分布的刚体，上式可写成积分形式
J r dm
2
dm—质元的质量
r—质元到转轴的距离
例5.2求质量为m，半径为R的均匀薄圆环的转动 惯量。轴与圆环平面垂直并通过其圆心。
解： m
●
取小质元dm如图
dm
o R
环上各质元到轴的垂直距离 都等于R
J r dm R dm
2 2
mR
对同一转轴转动惯量J具有可叠加性
2
设棒的质量线密度为
B x L
o
dx
x
m 则： dm dx dx L 1 2 x dx mL 3
2
1、当转轴通过棒的一端并和棒垂直时
J x 2 dm

L
0
2、当转轴通过中心并和棒垂直时
A
L/2
1 J C x dm x dx mL2 L 2 12
2
Mdt d ( J )
两边积分得：
M d t J J
t0
t
0
——定轴的角动量定理的积分形式

t
t0
M d t 表示力矩对时间的积累。
称为力矩 M 的角冲量。
定轴转动物体所受外力矩的角冲量，等于物 体对轴的角动量的增量。
由几个物体组成的系统， 每个物体对转轴的角动量
Li J ii
J Ji
i
薄壁圆筒对其轴的转动惯量也为mR2
薄壁圆筒
例5.3 求质量为m，半径为R，厚为 l 的均匀圆盘 的转动惯量。轴与盘面垂直并通过盘心。
解： 在圆盘上取一半径为r， 宽度为dr的圆环 设圆盘的质量体密度为ρ
r
R
o r dr
l 2rldr 环的质量: dm 2rldr
环的体积：dV
2
R 3 0
J r dm 2r ldr
lR
2
4
1 2 mR 1 实心圆柱对该轴的转动惯量也为 mR 2 2
2
例：求长度为L，质量为m的均匀细棒的转动惯量。 1、对于通过棒的一端与棒垂直的轴。 2、对于通过棒的中点与棒垂直的轴。 解： A 在棒上离轴x 处，取一线元dx
定轴
此动能是刚体因转动而具有的动能，因此叫刚 体的转动动能。
A
2
1
1 1 2 2 Md J 2 J1 Ek 2 2 2
Ek1
——刚体定轴转动的动能定理
合外力矩对刚体所做的功等于刚体转
动动能的增量。
3、刚体的重力势能
Δmi
●
如果一个刚体受到保守力的 作用，也可以引入势能的概念。 例如在重力场中的刚体就具有 一定的重力势能。
2、J增大，则ω 变小， J变小，则ω 变大
应用实例
常平架上的回转仪（陀螺仪）
A
A
C’
L
B
C C
B’ A’
A’
直升飞机
直线运动与定轴转动规律对照
质点的直线运动
v dx dt
刚体的定轴转动
d dt
d d2 2 dt dt
P mv
m F dA Fdx
F ma
d v d2 x a 2 dt dt 1 2 E K mv 2
L2
2
B
o
x dx L/2
x
同一刚体对不同的 转轴转动惯量不同。
计算转动惯量的平行轴定理：
JC表示刚体对通过其质心的轴的转动惯量，则 刚体对与该轴平行且相距为d的轴的转动惯量为
J J C md
2
轴在什么位置时转动惯量最小？
J C J min
§5.5 定轴转动中的功和能
1、力矩的功 当物体绕固定轴O转动有一角位移dθ时， 力F做的元功为
hi Ep=0
它的重力势能就是各质元的重 力势能的总和。
Δmi
C● hc Ep=0
●
hi
m h hc
i i
m
是质心的高度
E p mghc
一个不太大的刚体的重力势能与它的质量 集中在质心时所具有的势能一样。
对几个刚体组成的系统，只有保守力做功 时，系统的机械能守恒定律
§5.6 刚体的角动量和角动量守恒定律
系统对该转轴的角动量为
L z Li J ii 是代数和！
i i
2、定轴转动刚体的角动量守恒定律
当刚体绕固定转轴转动时
如M z 0时
dL 0 dt
L 常矢量
一个刚体，如果它受的对于某一固定轴的合外 力矩为零，则它对于这一固定轴的角动量保持不变 。即刚体的角动量守恒。
1、J=恒量 ω =恒量
d A F d r F cos dr
0
r
d
v
dr
P

F
●

F cosrd
而： Fr cos
Fr sin M
则：
是F对转轴的力矩。
2 1
dA Md
A M d M d
力矩的功：——力矩对空间的积累
A M d
1
2
当刚体在外力矩作用下绕 定轴转动而发生角位移时，就 称力矩对刚体做了功。
0
r
d
v F


dr
P
●
力矩的功是力做的功在刚体转动中的特殊表示形式。
对于刚体定轴转动情形，因质点间无相对位 移，任何一对内力作功为零。
2、定轴转动的动能定理 当刚体在dt时间内转过角位移dθ 时
合外力矩所做元功为：
1、定轴转动刚体的角动量定理
d d J dL M J dt dt dt
——刚体定轴转动角动量定理微分形式
刚体对定轴的角动量为
L J
刚体在外力矩作用下， 经 Δt=t-t0 的时间间隔 角动量由 L0 J 0
L J
得
d dL J 由 M dt dt