02 第二章 应力理论

坐标间转换关系为：
xi
xm mi xi ( xm )0
em mi ei
mi cos xm , xi
Chapter 3.2
应力转换公式
考虑垂直于新轴 x 的正截面，
其法向矢量即为 e 。
m
m
利用柯西公式，该截面上的应力为
( m) em ;
(e1 (1) e2 (2) e3 (3) )
Chapter 3.2
柯西公式
( ) (e1 1 j e j e2 2 j e j e3 3 j e j )
( ij ei e j )
根据商判则，知 ij ei e j 必是一个二阶张量，于是定义 应力张量
( )
( )3
( )2
(1) d S1 (2) d S 2 (3) d S3 1 ( ) d S f ( d h d S ) 0 3
略去。可得：
x1
x2
()1
图2-4
第五项是体力的合力，由于dh是小量，故体力项可以
( ) ( e1 ) (1) ( e2 ) (2) ( e3 ) (3)
mn em en
kl ek el
em mi ei
en nj e j
mn mi nj ij
Chapter 3.2
应力转换公式
mn mi nj ij
上式就是应力分量转换公式，简称转轴公式。
Chapter 3.1
外力、内力与应力
定 义 式
面力：
P
S
P X lim S 0 S
Pi X i lim S 0 S
Chapter 3.1
外力、内力与应力
内 力
物体内部各个部分之间将产生相互作用，这种物体一 部分与相邻部分之间的作用力，称为内力。 内力也是分布力，它起着平衡外力和传递外力的作用， 是变形体力学研究的重要对象之一。应力的概念正是 为了精确描述内力而引进的。
( m) j mi ij
( m) j 是新正截面上的应力 ( m )对老坐标轴 x j 分解的结果。
Chapter 3.2
应力转换公式
将 ( m ) 对新坐标轴 xn分解可以得到新坐标系中的应力
分量：
mn ( m) en
( m) em
斜面正应力
n ( ) = = ij i j
斜面剪应力
( ) n

2 2 n
Chapter 3.2
柯西公式
柯西公式应用－给定应力边界条件
若斜面是物体的边界面，则柯西公式可用作未知应 力场的力边界条件：
X xl xy m zx n Y yx l y m zy n Z xz l yz m z n
面 力
即作用在物体表面上的力，例如作用在飞机机翼
上的空气动力、水坝所受的水压力等。
Chapter 3.1
外力、内力与应力
定 义 式
体力：
F f lim V 0 V
V
F
Fi fi lim V 0 V
F1 f1 lim V 0 V F2 f 2 lim V 0 V F3 f 3 lim V 0 V
即：
x3
33
32
31 13 11
e1 e3
23 22
(i ) ij e j
x1
e2
12
21
x2
Chapter 3.1
外力、内力与应力
(1) 11e1 12e2 13e3 1 j e j (2) 21e1 22e2 23e3 2 j e j (3) 31e1 32e2 33e3 3 j e j
写成指标符号
p j i ij
其中pj是面力p沿坐标轴方向的分量，通常记为X , Y , Z
Chapter 3.2
应力理论
外力、内力与应力
柯西公式 应力转换公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程
Chapter 3
应力转换公式
应力分量转换公式
新、老两个笛卡尔坐标系 xm 和
则柯西公式的分量表达式为
( )1 1 11 2 21 3 31 ( )2 1 12 2 22 3 32 ( )3 1 13 2 23 3 33
即
( ) j i ij
Chapter 3.2
柯西公式
把作用在正面dSi上的应力矢量沿坐标轴正向分解得：
(1) 11e1 12e2 13e3 1 j e j (2) 21e1 22e2 23e3 2 j e j (3) 31e1 32e2 33e3 3 j e j
应力变化趋势。
•应力状态对于结构强度是十分重要的。
•为了探讨各个截面应力的变化趋势，准确描述应力 状态，合理的应力参数。
•应力张量
下面介绍应力张量
外力、内力与应力
正六面体微元: 外法线与 坐标轴同向的三个面称 为正面，记为dSi，它们 的单位法向矢量为i＝ei，
z
ei是沿坐标轴的单位矢量；
另三个外法线与坐标轴 反向的面元称为负面。
Chapter 3.1
外力、内力与应力
zz zx xz
z
zy yz xy yx yy
xx
y
o
x
应力分量的个数
Chapter 3.1
外力、内力与应力
x3
33
32
31
e2
23 22
13 11 12
e1
21
x2
e3 x1
Chapter 3.1
外力、内力与应力
第一指标i表示面元的法线方向，称面元指标；第 二指标j表示应力的分解方向，称方向指标。
当i＝j时，应力分量垂直于面元，称为正应力。当
i≠j 时，应力分量作用在面元平面内，称为剪应力。
Chapter 3.1
应力理论
外力、内力与应力
柯西公式 应力转换公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程
x
o
y
Chapter 3.1
外力、内力与应力
yz
( )

z
yy
yx
y
o
x
Chapter 3.1
外力、内力与应力
zz zx
yx yy
z
zy
xx
yy
yz
y
xx
xz xy xz xy yx
zy zx
yz
o
x
zz 应力分量的正负号规定
主应力 & 应力不变量
Chapter 3.1
外力、内力与应力
应力的定义
Chapter 3.1
外力、内力与应力
应力矢量和 面力矢量的数
学定义和物理量纲都相同。
Fi i ( ) lim S 0 S Pi X i lim S 0 S
区别在于：应力是作用在物体内界面上的未知内力，
而面力是作用在物体外表面的已知外力。当内截面无 限趋近于外表面时，应力也趋近于外加面力之值。
11
( ) ?
x2
22
21 12 23
13
31 33
x1
32
Chapter 3.2
柯西公式
ABC的面积为dS, 则三个负面的面积分别为
d S1 OBC 1 d S ( e1 ) d S d S 2 OCA 2 d S ( e2 ) d S d S3 OAB 3 d S ( e3 ) d S
斜截面的面元矢量为：
d S d S1e1 d S2e2 d S3e3
Chapter 3.2
柯西公式
四面体的体积为：
x3
V dhd S
1 3
( )

( )3
( )2
dh为顶点 O 到斜面 的垂直距离
x2
()1
x1
图2-4
Chapter 3.2Leabharlann Baidu
柯西公式
x3
四面体上作用力的平衡条件是：
斜面上应力的方向
n ( )
即
( )1 ( )2 cos ( ) , e1 ; cos ( ) , e2 ( )3 cos ( ) , e3
Chapter 3.2
柯西公式
柯西公式应用－计算斜截面上的应力
Chapter 3.1
外力、内力与应力
应 力
应力矢量
S


Chapter 3.1
外力、内力与应力
应力矢量：
S

( )
F lim S 0 S

若取S 为变形前面元的初始面积，则上式给出工程 应力，亦称名义应力，常用于小变形情况。 对于大变形问题，应取 S 为变形后面元的实际面积， 称真实应力，简称真应力, 也称柯西应力。
第二章 应力理论 Theory of stresses
应力理论
外力、内力与应力
柯西公式 应力转换公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程
Chapter 3
外力、内力与应力
外 力
Chapter 3.1
外力、内力与应力
外 力
体 力
即分布在物体体积内部各个质点上的力，又称为 质量力。例如物体的重力、运转零件的惯性力等。
21 12 23
13
31 33
( )
x2
x1
32
Chapter 3.3
主应力 & 应力不变量
概 念
• 切应力为零的微分面称为主微分平面，简称主平面。 • 主平面的法线称为应力主轴，或者称为应力主方向。 • 主平面上的正应力称为主应力。
Chapter 3.3
Chapter 3.1
外力、内力与应力
应力矢量的大小和方向：不仅和 P 点的位置有关，而且和 面元法线方向 有关。 作用在同一点不同法向面元上的应力矢量各不相同；但， 不同曲面上的面元，只要通过同一点且法线方向相同，则 应力矢量也相同。
Chapter 3.1
外力、内力与应力
•应力状态——一点所有截面应力矢量的集合。 •应力状态分析——讨论一点截面方位改变引起的
柯西公式应用－计算斜截面上的应力
斜面上应力的大小
( ) 2 2 2
( )1 ( )2
( )3
( ) i ( ) i


1/ 2
k ki l li


1/ 2
Chapter 3.2
柯西公式
柯西公式应用－计算斜截面上的应力
Chapter 3
柯西公式
斜截面上的应力
四面体OABC，由三个负
C
x3

x2
B
面和一个法向矢量为
1e1 2 e2 3e3 i ei
的斜截面组成，其中
i cos( , ei ) ei
为方向的方向余弦。
x1
A
Chapter 3.2
柯西公式
斜截面上的应力 x3
ij ei e j
Chapter 3.2
柯西公式
( ) ( ij ei e j )
这就是著名的柯西公式，又称斜面应力公式。
Chapter 3.2
柯西公式
( )
把斜面应力沿坐标轴方向分解：
( ) ( )1e1 ( )2e2 ( )3e3 ( ) j e j
mi
x1 x2 x1 l1 m1 x2 l 2 m2 x3 l3 m3
x3 n1 n2 n3
Chapter 3.2
应力理论
外力、内力与应力 柯西公式 应力转换公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程
Chapter 3
主应力 & 应力不变量
x3
11
22
共出现九个应力分量：
11 12 13 ( ij ) 21 22 23 31 32 33
Chapter 3.1
外力、内力与应力
11 12 13 ( ij ) 21 22 23 31 32 33