整式的除法与因式分解

4a x
2、多项式除以单项式的法则
多项式除以单项式，先把这 个多项式的每一项除以这个 单项式，再把所得的商相加
(a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m (m≠0)
例如：
（12a3－6a2+3a）÷3a
解:原式
多项式的每一项 分别除以单项式
=12a3 ÷3a-6a2 ÷3a+3a ÷3a =4a2-2a+1
二、整式除法法则
1、单项式除以单项式的法则：
单项式相除，把系数、同底数幂分别除，作为 商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则 连同它的指数作为商的一个因式。
理解 商式＝系数 • 同底的幂 • 被除式里单独有的幂
被除式的系数 除式的系数
底数不变 指数相减
保留在商里 作为因式
例如：
8a 2a
8a3b2－12ab3c 的公因式是什么？
公因式 4 最大公约数 a 相同字母 b2 最低指数
观察 方向
一、看系数
二、看字母 三、看指数
平方差公式： 整式乘法
(a+b)(a-b) = a²- b²
整式乘法与 因式分解是 互逆的过程
两个数的平方差， 等于这两个数的和 与这两个数的差的 a²- b² = (a+b)(a-b) 积
2
（2） x 4 xy 4 y
2
2
2
x 4 xy 4 y
2
2
a 2 a b b
2
2
2 2 x 2 x 2y 2y
4 x 3
2

x 2y
2
综 例1 (1) a5÷a4.a2 5-4+2 3 =a =a 合 5÷(ab)2 (2) (ab) 应 5-2 3 3 3 用 =(ab) =(ab) =a b
进行因式分解。
预习指导
综合应用
拓展探究
要点归纳
一、 同底数幂除法的性质
am ÷ an = am-n
(a不为0，m、n为正整数，m>n)
零指数幂的意义 任何不等于零的数的0次幂都等于1。 a0=1 (a≠0）
例 计算:
(1)
a9÷a3
=a9-3 = a6
(2)
212÷27
=212-7=25=32
15、3~15、4
整式的除法与因式分解
兖州八中
学习目标
1、掌握同底数幂的运算性质及整式的除法运算 法则。
2、能够熟练利用运算性质、运算法则进行计算。
3、了解因式分解的含义以及它与整式乘法的区 别与联系。 4、熟练利用提供因式法和公式法分解因式。
重点： 整式除法的运算法则及其熟练进行分解因式。
难点：对需要综合应用提供因式法与运用公式的多项式
1 2 解：原式 m 1 2 2 解：原式 2(4a t ) 49
1 2 3. - 1 m 49
4. 8a 2t
2
2
1 1 ( m 1)( m 1) 2(2a t )( 2a t ) 7 7
完全平方公式：
完全平方公式 (a＋b)2 = a²＋2ab＋ b² 反过来就是： 两个数的平方 (a－b)2 = a²－2ab＋ b² 和，加上(或减 去)这两数的积 的2倍，等于这 整式乘法 a²＋2ab＋ b² = (a＋b)2 两数和(或差)的 平方。 a²－2ab＋ b² = (a－b)2
多项式除以单项式， 被除式有几项，商就 有几项，不可以丢项
三、因式分解的方法：
（1） 提取公因式法
（2） 运用公式法
把一个多项式化为几个整式的 乘积形式，就叫做把这个多项式 因式分解
特征:
1、 等号左边是一个多项式；
2、等号右边是几个整式积的形式
下列从左边到右边的变形中，是 因式分解的是: ( (2) (5) )
因式分解
3x 2 y 3x 2 y 3x 2 y
2 2
9x 4 y
2
2
a b a ba b
2 2
注：这里公式中的
a b
都表示单项式。
练习 练习
把下列各式分解因式:
1. x Leabharlann 922. 4a 25 y
2
2
解：原式 (x 3)(x 3) 解：原式 (2a 5 y)(2a 5 y)
4
2
解：（1）
(2 x y) (7 xy ) (14 x y )
2 3 2 4 3
8x y (7 xy ) (14 x y )
6 3 2 4 3
56 x y (14 x y )
3
3
8a 8 a 2 4a 2a 2 a
3
3
3
3
6 x y 2 6 x y 2x 6 x y 3xy 3 x y 3 xy
12 a b x 3ab
12 a b x 2 3 a b 1
3 2 3
3 2 3
2
12a b x 2 3ab
2 3
3 2 3
(1)(x+2)(x-2)=x2-4; (×) (2) x2-4= (x+2)(x-2); (√) (3) ma+mb+c=m(a+b)+c; (×) (4)x2-9+x=(x+3)(x-3)+x; (× ) (5)2ax+4bx=2x(a+2b) (√)
想 一 想
因式分解与整式的乘法是什么关系？
因式分解与整式的乘法相反
ma mb mc m(a b c) 多项式： ma mb mc
中的每一项都含有一个相同的因式
m 我们称之为公因式
把公因式提出来，多项式ma+mb+mc就 可以分解成两个因式m和（a+b+c）的 乘积了。像这种因式分解的方法，叫做：
提公因式法。
例如： 把8a3b2 + 12ab3c 分解因式.
（3）(21x4y3－35x3y2+7x2y2)÷(－7x2y)
=21x4y3 ÷(－7x2y) －35x3y2 ÷(－7x2y) +7x2y2 ÷(－7x2y) =-3x2y2+5xy-y
练习 练习
计算：
(1) (2 x y) (7 xy ) (14 x y )
2 3 2 4 3
(2) (2a b) (2a b)
因式分解
例：分解因式
（1） 16 x 2 24 x 9
4x
2
分析：在（1）中， 16 x 2
，
， 9 32
24 x 2 4 x 3 ，所以 16 x 2 24 x 9
是一个完全平方公式，既
4x 2 4x 3 3
2
16 x 24 x 9