非线性拟合捕食和功能反应曲线

第10章非线性拟合——捕食和功能反应曲线
Steven A. Juliano 10.1生态学问题
10.1.1.捕食行为和猎物密度
一个捕食者个体所能猎杀的猎物数量（或者拟寄生物能攻击的寄主数量）是关于猎物密度的函数，也叫做功能反应（Holling 1966）。

总的来说，一定时间内被猎杀的猎物数随着猎物密度的增加逐渐接近一个渐近线（Holling 1966）。

至少存在有三种不同类型的曲线被用来模拟功能反应（Ｈolling 1966;Taylor 1984;Trexler等1988），分别代表一定时间内猎杀猎物与可供猎杀猎物比例的不同。

在第I类功能反应中，被猎杀猎物数量线性增加到一个最大值然后在猎物密度增加时不再变化（图10.1A）。

这对应猎杀猎物量与可供猎杀猎物以恒定比率增至其最大（非密度依赖型），接着被捕杀猎物的比例就会降低（图10.1B）。

第II类功能反应中，随着猎物密度的增加，被猎杀猎物量以双曲线型接近渐近线（图10.1C）。

这对应于被猎杀猎物的比例渐进型减少（反密度依赖型,图10.1D）。

第III类功能反应中，被猎杀猎物数量以S型曲线接近渐近线（图10.1E），这对应于猎物被猎杀比例逐渐增加至S型曲线的拐点（密度依赖），然后这个比例开始减少（图10.1F）。

大多数生态学感兴趣的功能反应包括第II类和第III类，纯粹描述时，常常需要预测一定情形下猎物被捕杀的数量，第II类功能反应在行为生态学中有非常显著的作用，是觅食理论（foraging theory）的基础（Stephens和Krebs 1986; Abram 1990）。

关于资源限制型消费者（如Williams 1980）和猎物限制型猎物（如Hassell 1978）的种群动态机理模型中也对第II类功能反应有广泛的应用。

生物学家研究功能反应时可能会涉及以下不同问题：
1.功能反应的形状（类型）是什么？这个问题在研究密度依赖型捕食者是否是捕食者-猎物
种群动态中一个稳定因子时常被提及，应在用任何特定数学模型来拟合功能反应前得到回答(van Lenteren和Bakker 1976; Hassell等1977; Trexler等1988; Cases和Hullinger 1994;
Kabissa等1996)。

2.功能反应的机理模型中系数的最佳估计是什么？调查者如果想使用功能反应的资源竞争
或捕食的机理模型，必须先回答这个问题(如Hassell 1978; Williams 1980; Lovvorn和
Gillingham 1996)。

3.描述两个（或者更多）功能反应的模型中系数是否有显著的不同？这样的问题在比较不
同捕食者物种或者年龄等级以决定谁在猎杀特定猎物时最有效（Thompson 1975;Rusoo
1986;Kabissa等1996;Nannini 和Juliano 1998），或在比较不同物种或者不同种群的猎物以检验不同捕食者-猎物协同进化（Livdahl 1979;Houck 和Strauss 1985; Juliano 和Williams 1985）, 或当比较不同的环境下捕食者的捕食效率时,可能会出现。

图 10. 1功能反应的三种类型，被食猎物（N e）和猎物数量（N）之间的关系在A, C和E
部分中描述，对应的被食比例（N e/N）和猎物数量（N）的关系在B, D, 和F部分中描述。

这三个问题要求不同的统计分析方法; 这些分析方法是这章的主题。

本章描述的一般方式包括两个步骤：模型选择和假设检验。

模型选择包括使用对被捕杀猎物与猎物总数之比的逻辑斯蒂回归以决定功能反应的一般形状（Trexler 等1988; Trexler和Travis 1993; Casas和Hullinger 1994; 参看第11章）。

假设检验包括对被杀猎物数量和所提供猎物数量比值的非线性最小二乘回归来估计功能反应的参数以及比较不同功能反应的参数（Juliano和Williams 1987）。

这两种统计方法都和更为典型的回归模型有关，笔者假定读者已经对回归分析和假设有一定的了解（参见Neter 和Wasserman 1974; Glantz 和Slinker 1990)。

虽然这一章描述的模型可能在生态学中有其它应用，但本章给出的程序对功能反应分析相当特殊。

对逻辑斯蒂回归方法的一般描述见Neter 和Wasserman （1974）以及Trexler 和Travis （1993）及第11章，对非线性回归方法的描述见Glantz 和Slinker （1990）以及Bard （1974）
10.1.2. 功能反应的数学模型
因为大多研究兴趣以第二，三类功能反应为主，本章将集中讨论之，许多机理和现象模型被用来描述功能反应。

Holling （1966）原创模型假定渐近线由时限决定，因为捕食者尽可能快地捕捉和吞食猎物。

Holling 还做了如下假定：（1）捕食者与猎物的遭遇率和猎物密度线性相关,（2）当捕食者在处理猎物时无法进行其它捕获, 和（3）猎物密度恒定。

他用DISC 方程来模拟第二类功能反应： h aNT aNT Ne +=1 （10.1）
其中N e 是被食数量，a 是攻击系数（瞬时的搜寻速率），a 使得与猎物的遭遇率和猎物密度发生了联系。

N 是猎物密度。

T 是可利用时间，T h 是处理每个猎物所需时间，其中包括用于吞食猎物和无法攻击其他猎物的所有时间。

这个模型是被最广泛应用的第II 类功能反应的表述。

虽然生态学文献中包含了对这个模型使用其他符号的众多引用。

本章中我们使用Holling 的符号。

如果攻击系数a 是猎物密度N 的函数，第III 类功能反应就可以使用方程10.1来模拟（Hassell 1987）。

在使用最普遍的形式中，a 是N 的一个双曲线型函数：
cN bN d a ++=1 （10.2）
其中b ，c 和d 都是常数。

这是一个比Hassell （1978）假定的双曲型关系更为普适的形式：当其中d=0时Hassell 方程相当于方程10.2。

将方程10.2带入方程10.1重新排列后得：
h h T bN dNT cN T bN dNT Ne 221++++= （10.3）
一般而言，当a 是一个N 的增函数时，就会出现第III 类功能反应。

许多的数学表达式都可以描述a 和N 之间的关系。

而且提前判断哪种形式最适合于一组给定数据是很困难的。

方程10.2中给出的形式有一个优点，如果某些参数等于0，表达式会简化成为a 和N 间的其它可能关系。

虽然如此，如果b 和d 都是0，那么a 也为0，也就没有了所谓功能反应。

这些模型描述猎物密度N 恒定时的捕食，而对于捕食的实验研究中，这个假设常不实际。

在典
表 10.1方程10.2a
产生的各种形式的a 和N 之间的关系。

等于零的系数
a 的计算方程式 a 和N 之间的关系 无
(d+bN)/(1+cN) 增加至渐近线；截距不等于零 c
d+bN 线性增加；截距不等于零 d
bN/(1+cN) 增加至渐近线；截距等于零 d 和 c bN 线性增加；截距等于零
a :假定功能反应已知是III 型；因而至少有b>0
型的功能反应实验中，捕食者个体在标准饥饿状态下，在温度，光照，容器大小和形状的标准条件下被供以一定数量的猎物（初始数量是N 0）。

通常不会在猎物被食后放入新的猎物，或者仅仅是在一定时间段后加以补充。

虽然对于实验者来说，如果能随着猎物被食即放入新的猎物（如Houck 和Strauss 1985）是再好不过的了，但是这显然会因为需要连续观察让人望而却步。

在特定时间(T)后，被食猎物的数量(N e )被确定下来，这个过程在不同猎物数量水平重复进行，通常在每个水平上都有重复实验。

结果的数据集包括定量数值对。

通常是（N 0和N e ），然后实验者会通过对其结果进行统计学分析来尝试回答第一节提出的三个问题中的一个或几个问题。

这样在典型的功能反应实验中，猎物密度随着实验的进行而降低。

在这样的情况下，方程10.1和10.3都不能精确的描述功能反应，而且使用这些模型的参数估计将会受猎物被消耗程度引起的误差所影响（Rogers 1972; Cock 1977; Juliano 和Williams 1987; Williams 和Juliano1996）。

当猎物存在消耗时，描述功能反应的合适的模型是方程10.1和10.3的对时间积分式以计算猎物的变化密度（Rogers 1972）。

对于第II 型功能反应（方程10.3），对随机捕食者方程的积分结果是：
)]}(ex p[1{0T N T a N Ne e h --=
（10.4）
其中N 0是猎物的初始密度。

对于第III 类功能反应，包括消耗的模型的精确形式决定于攻击常数a 是否是初始密度(N 0)或者猎物密度的函数（Hassell 等1977； Hassell 1978）。

当a 是初始密度的函数时为最简单的形式：
)]}1/())(ex p[(1{000cN T N T bN d N N e h e +-+-=
（10.5）
我们在本章中将使用这个形式。

其他机理模型也被用于模拟功能反应。

Ivlev （1961）使用了基于饥饿对被食数量的渐进最大值限制假设的指数模型来产生II 型功能反应。

其他作者（如Taylor 1984; Williams 和Juliano 1985）使用了从酶动力学的米氏方程中导出的现象模型来模拟II 型功能反应。

（如10.2就是这样的模型）。

Trexler等（1988）说明了几个不同的现象模型都可以产生出II型和III型功能反应。

虽然有许多模型可供使用，但功能反应统计分析中的大体问题相似，本章中，我将集中使用Holling的有限处理时间前提下推导出的模型，
10.2 统计学问题
许多研究者分析了猎物不更新的实验，但是他们是使用了适合恒定猎物密度的捕食模型（方程10.1和10.3；如Livdahl 1979；Juliano和Williams 1985; Russo 1986）。

这样的分析的结果是有问题的，因为其参数估计和比较必然有偏，而且功能反应的形状可能会被错误判断。

（Rogers 1972；Cock 1977）虽然自从1972年（Rogers 1972）后，使用方程10.2和10.3拟合含有猎物损耗数据时伴随偏差这一事实已得到广泛认识，但是这种不合适的方法仍然被使用和提倡（Fan和Pettit 1994, 1997），这主要是因为用方程10.2和10.3拟合数据较使用10.4和10.5拟合相对简单（见Houck和Strauss 1985; Williams和Juliano 1985; Glantz和Slinker 1990），虽然这种不含猎物损耗的模型在对随机捕食给出正确期望时有很好的特性（Sjoberg 1980; Houck和Strauss 1985）。

但是，如果实验是在有猎物损耗的情况下进行，则统计分析中必须包括猎物的损耗，使用方程10.4和10.5可以得到正确的结论（Rogers 1972; Cock 1977）。

功能强大的统计软件包很多，使得拟合如10.4和10.5这样的隐函数十分简单。

用于分析功能反应的最常用方法是某种形式含N0和N e的最小二乘法回归（如：Livdahl 1970; Livdahl和Stiven1983; Juliano和Williams 1985, 1987; Williams和Juliano 1985; Trexler等1988），一些作者使用了线性回归，特别是方程10.1和10.4的线性形式（Rogers 1972; Livdahl和Stiven 1983）。

但是这些线性化常导致有偏参数估计，而且参数间的比较常不可靠(Cock 1977; Williams和Juliano 1985; Juliano和Williams 1987)，线性表达式也不适合于区分II、III型功能反应。

非线性最小二乘法已被证明用于参数估计和比较是有效的（Cock 1997; Juliano和Williams 1987）, 但用于区分II、III型功能反应时似乎不怎么合适（Trexler等1988；Casas和Hulliger 1994）。

使用非线性最小二乘法区分图10.1中曲线C和E可以通过对使用方程10.4和10.5的模型的拟合性进行检验来完成。

对方程10.4而非方程10.5显著不拟合可能预示III型功能反应。

这两种类型也可以通过对使用方程10.5的非线性模型的拟合，和检验H0:b=0和c=0来区分。

拒绝零假设b≤0足以推断III型功能反应。

然而，图10.1C和E的比较说明了为什么用含有N0和N e的非线性回归对这两种类型进行区分不太可能。

在很多III型功能反应中，斜率增加的区域很短，因此图10.1E中的S型曲线和图10.1C中的双曲线的区别相对很小，很难从多变的实验数据中探查出这一区别(Porter等1982; Trexler等1988; Peters 1991)。

使用方程10.5区分功能反应II和III的另一个困难是，虽然当一个模型只含有b,c,和d中一个或
两个参数时可能会得出显著地不等于0的参数估计，但是当b ，c 和d 被整合到一个模型时，对他们的参数估计可能都不显著。

发生这种情况，可能会因为在复杂模型中误差的自由度降低，以及参数估计之间不可避免的相关性。

10.2. 统计学解答
10.2.1. 实验分析
分析功能反应和回答10.1部分中列举的三个问题需要两个不同的步骤。

适合于回答问题1的方法和回答问题2和3的方法截然不同。

此外，问题1在回答问题2和3之前必须得到解决。

模型选择：确定功能反应的形状。

Trexler 等（1988）证明了区分II 型和III 型功能反应的最有效的方法有包含被猎杀猎物和现有猎物比值的逻辑斯蒂回归(Neter 和Wasserman 1974; Glantz 和Slinker 1990)。

Casas 和Hulliger （1994）用更复杂的逻辑斯蒂回归得到了相同的结论。

逻辑斯蒂回归集中在图10.1D 和F 中曲线的比较上，这明显比图10.1C 和E 中对应部分的比较清晰的多。

逻辑斯蒂回归拟合了一个现象模型，预测对一个或更多的连续变量做出反应（本例中为被吃）一些个体在群体中的比例（Neter 和Wasserman 1974; SAS Institute Inc. 1989b; Glantz 和Slinker 1990）。

其中因变量Y 有两个值，代表猎物个体在实验结束时，活着（Y=0）和死亡（Y=1）。

连续变量是N 0，这样的方程的一般形式是：
)...exp(1)...exp(}1{Pr 030320201003032020100z z z
z e N P N P N P N P P N P N P N P N P P Y ob N N +++++++++++=== （10.6） 其中P 0, P 1, P 2, P 3,….P z 是要估计的系数，在大多数统计软件包中，这些参数是用最大似然法估计而不是最小二乘法（如，SAS Institute Inc 1989a, CATMOD 程序，也见15章）。

这种方法中，从参数估计中得到观测值概率得到最大化， 而不是使观测值和期望值的离差平方和最小化（Glantz 和Slinker 1990）。

这包含了迭代寻找参数值使得似然函数L 最大化：
∏+++++++++++=k z k z k k k Yk z k z k k k N P N P N P N P P N P N P N P N P P L )...exp(1)]...[exp(03032020100303202010 （10.7）
其中k 是数据中代表单次观测的下标，而Y k 是二分变量值（猎物被食为1，猎物生存为0），更多的细节可见Glantz 和Slinker （1990，520-522页）。

计算的策略是找到N 0的多项式函数来描述N e /N 0对N 0的关系。

图10.1D 和F 中描述的曲线都可能用二次（或者更高次）的表达式来拟合。

不过，图10.1D 中线性项是负的（初始减少），而10.1F
中是正的（初始增加）。

这样，一个通过分析被食猎物的比例来区分II 、III 型功能反应的标准是，用最大似然法对被食猎物与N 0比例数据进行拟合，再检测拟合式中有无显著正或负的线性系数。

三次表达式常能较好的拟合III 型功能反应（Trexler 等1988），而且三次表达式能为拟合逻辑斯蒂回归提供适当的初始值（Trexler 和Travis1993）。

当然，更高阶的表达式能更好的拟合，但是这通常是因为其对N 0较大值的点的拟合更好一些（见后面的讨论）。

曲线初始斜率很可能有相同的±号。

不论拟合表达式是几阶的，对N 0的观测值和预测值做散点图，然后观察靠近原点的斜率，对区别II 、III 型功能反应是很适合的（见第3章）。

在模型选择阶段，显著性检验并不如取得对被食数量和N 0关系好的描述那样重要。

区分II 、III 型功能反应需要判断斜率在接近N 0=0时是正值还是负值（图10.1）。

在设计实验时，在选择N 0值的时候这是一个重要的考虑因素。

如果N 0的值太大，可能探测不到密度制约型捕食范围，因为因变量是一个比值，在N 0较小时观察值的相对变化必然会增大，因此在N 0较小时观测的重复次数应该比N 0 较大时多。

另一个决定功能反应曲线形状的可供选择的方法是LOWESS （LOcally WEighted regrESSion,见
第3章）。

这种计算机强化平滑方法的优点是不像回归方法需要那样严格的假设条件。

假设检验：功能反应参数的估计和比较。

虽然在区别II 、III 型功能反应时逻辑斯蒂回归是最常用的技术，但是很多研究者还是想通过使用等式10.1，10.3，10.4或10.5中的机理模型得到参数估计，非线性最小二乘法是用来得到这种估计的常用方法（Cock 1977; Williams 和Juliano 1985, 1996; Juliano 和williams 1987）因为这些实验时都没有猎物更新，方程10.4和10.5是适当的。

这些方程都
只给出了N e 对N 0的隐函数（N e 在方程的两端都有）。

这样，对任何一组系数，计算e N
ˆ的预测值时需要用到迭代法，这可以通过牛顿迭代法来找到一个隐函数的根（Turner 1989）。

等式104.可以写成：
)()](ex p[000e e h N f T N T a N N =--= （10.8）
问题是计算出符合方程10.8 的（e N ˆ）。

这个问题可以通过图10.2来说明。

其中f （N e ）=0处的e
N ˆ的值就是符合方程10.8的值，牛顿法逐步迭代来找到这个值，使用f （N e ）的一阶导数)(e N f ', 这个导数的定义是在某点通过横轴的直线的斜率（如图10.2），这条线的斜率也可以通过直线上的任意两个点（i ，i+1）来估计：通过计算纵坐标的差和横坐标的差的比值，在本例中：
ei ei ei ei N N N f N f --=+1)(0)( （10.9）
其中N ei+1是N e 的下一个值，用来开始一次迭代，在迭代过程中的每一次迭代都使N ei+1更加靠近令
方程10.8成立的值（图10.2），N e就是当函数f（N e）足够靠近0时的N ei+1时的值。

图 10. 2 图示牛顿法如何求解描述有猎物
消耗的隐函数（方程10.4或10.5）的根N e，
函数f（N e）穿过水平轴的那个点是真实的解，
从N e1开始，用f（N e1）的导数求新的N e近似
值N ei+1=N ei-{f（N ei）/f (N ei)} 。

基于每一
个新估计N e重复这个过程直至近似值离真实
值（如f（N e）=0）足够近。

更多细节参见正
文。

在SAS等软件包中使用内含程序来运算非线性回归需要先将初始系数估计值代入方程10.8中，Nˆ的初始估计。

然后可用非线性最小二乘法程序来计算平方和以及修正参数估计值从而使并取得对
e
Nˆ。

残差平方和最小。

对每次一组新参数估计值，都要使用牛顿法来计算出
e
使用非线性最小二乘法的前提是正态分布，在N0的取值范围内误差相同（Bard 1974; Glantz和slinker 1990）。

然而大多数实际数据并不满足这些假定，因为随着N0的增加，误差一般随之增加，（Houck和Strauss 1985；Juliano和Williams 1987；Trexler等1988）。

在分析功能反应时违反这些假定会导致置信区间比期望的更有可能错过正确参数值（Juliano和williams 1987）。

但是，似乎即使是严重的偏离这些假设仅仅对结果只有轻微的歪曲，所以非线性最小二乘法是相对稳健的（Juliano和williams 1987）。

残差分布图（Neter和Wasserman 1974）可以通过图示用来检验这些假设。

在极端例子中，可能需要其他的补救方法，例如使用残差的gamma分别（Pacala 和Silander 1990），非参数回归（Juliano和williams 1987），或者加权非线性最小二乘法，后者可以通过SAS中的NLIN程序来实现。

（SAS机构，INC 1989b）。

10.2.2.例子和解释
下面两个例子用来说明回答10.1.中提到的3个问题，它们都是基于已经发表的功能反应数据。

例1 Notonecta捕食Asellus Notonecta glauca是一种食肉的水生半翅目动物。

Asellus aquaticus 是水生的甲壳纲等脚目动物。

最初这个实验是Hassell等（1977）描述的。

Trexler等（1988）和Casas和Hulliger（1994）也提供了原始数据。

Notonecta个体被置于一定密度范围的Asellus中：
从5个到100个不等。

饲养72个小时，猎物每24个小时更新一次。

基本上24个小时的时间里猎物会被耗尽。

每个密度至少有八个重复。

涉及的问题是10.1.1中的问题1 和问题2 ：功能反应的曲线是什么形状的?描述功能反应函数的最佳参数估计是什么？
分析数据的第一个步骤是使用逻辑斯蒂回归来决定判断反应是II 型的还是III 型的，使用SAS 程序中CATMOD 的数据输入步骤如下：1）对每次重复所给出2列数据，一列是被食的猎物（FATE=0）另一列是活着的猎物（FATE=1）；2）当FATE=0时，变量NE 等于Ne （被食猎物数）3）对一给定重复，NE 之和等于N 0。

这样的数据结构不仅可以用于CATMOD 中逻辑斯蒂回归中的比例分析，而且经过很小的修正，就可以用非线性最小二乘法分析被食的数量。

估计功能反应的曲线的形状的第一步是拟合一个多项式逻辑斯蒂模型。

三次模型描述大多数实验数据很可能已经足够复杂了。

这样逻辑斯蒂方程的具体形式如下：
)exp(1)exp(3032020103032020100N P N P N P P N P N P N P P N N e +++++++= （10.10） 其中P 0, P 1, P 2, P 3是需要估计的参数。

用这个模型模拟数据的程序步骤在本书的合作网站的附录10.1A 中给出（参见/sc/0195131878 ）。

一旦得到了逻辑斯蒂回归的参数估计值，平均被食的比率的观测值和预测值就可以用散点图表示出来（如图10.3）。

图 10. 3 Notonecta-Asellus 例
子中，在每个初始密度时平均
被食猎物比例的观察值，以及
用逻辑斯蒂回归产生的拟合关
系，对逻辑斯蒂回归的参数估
计见表10.2B
表 10.2 SAS输出结果，例1：对Notonecta-Asellus数据的分析a 。

A：程序CATMOD：最大似然估计方差表
B：程序CATMOD：最大似然估计分析
C：程序NLIN：完整模型
D: 程序NLIN: 简化模型I
E: 程序NLIN: 简化模型II
a 只有分析和最终参数估计在表中出现；为简单起见，NLIN输出的迭代部分省略。

在关于数据相关信息输入，以及迭代步骤（未写出）完成后，CATMOD对参数等于零的假设进行最大似然检验，同时进行用于检验模型整体拟合的似然比率检验（表10.2A）。

检验显著表明拟合不佳，本例中，所有参数都显著不等于0，就算是三次模型，还是表现出显著的拟合不佳。

下一步，程序输出列出了实际参数估计和它们的标准误，截距并不是特别有用。

因为线性参数是正值（输出中标记为N0，）而二次系数是负值（输出中标记为N02），这样的结果表现出III型功能反应。

被食的比例开始随着N0的增加，然后减少，如图10.1F所示。

做一个平均被食比例的观测值和预测曲线的散点图（程序步骤没有列出）就可以得到清楚的验证，结果清晰的表示出是III型功能反应（图10.3）。

分布在预测曲线左右的观测值与显著拟合不佳的检验结果一致。

如果能用四次式或者更高阶的式子来拟合数据可能会得到更好的结果。

用四次式拟合这个数据集（结果未列出）产生一个很显著的四次项，但并没有改变曲线的大致性状，也没有改变Notonecta对Asellus的反应是III 型功能反应这一结论。

使用更复杂方法的独立逻辑斯蒂分析(Cases和Hullings 1994)和使用LOWESS分析（第三章）也得到这一结果。

如果三次式得到的一个不显著的三次系数（输出中标记为N03），那么即使所有其他系数都是不显著的，合适的做法也是把方程10.10中的三次项消除并重新检验其它参数。

使用过多的不显著参数来拟合可能会误导。

在回答第二个问题和决定参数估计值时，使用逻辑斯蒂回归来判断功能反应是II型还是III型显然是必要的。

如果逻辑斯蒂回归表明是II型功能反应，可以用简单一些的模型来拟合，本例中，我们则知道应使用更复杂一些的III型模型。

为用一机理模型来拟合数据并估计参数，应该用非线性最小二乘法回归（SAS的程序NLIN，
SAS Institute Inc. 1989b ）。

这可以用几种不同的方法，其中的一些需要在涉及模型系数时求非线性函数的偏导数。

简单一点不使用导数的方法也存在（SAS 中称为DUD ）。

因其简单我们使用这个程序，在许多情况下，程序NLIN 中的不同方法常会产生出相似的结果。

但是研究者常常希望对数据尝试不同的方法，以确定结果对所用方法是独立的。

NLIN 允许自编程序并入程序中来，这使得用牛顿法解决方程10.4或10.5中的隐函数变得可能。

如果实验过程中有猎物的更新（即N 恒定），NLIN 可被用来拟合方程10.1或10.3中直接的非线性关系。

在这种情况下，MODEL 指令（网站附录10.1A ）中从“Define implicit function ”（即‘定义隐函数’）行起会被消除，而代之以代表方程10.1和10.3的一个简单模型指令。

本例中，因为逻辑斯蒂分析给出的是III 型功能反应，方程10.5中给出的一般函数是起始点。

这个初始模型包含对4个参数的估计。

在方程10.2中定义出的其中3个参数（b ，c ，d ）也定义了攻击系数a 和N 0之间的关系。

因为功能反应是III 型的，方程10.2和10.5 中至少参数b 应该是大于0的。

如果完全模型不能满意时，这在定义简化模型时将证明其重要性，第四个参数是T h 。

为使用非线性最小二乘法必须对原始数据进行修正。

猎物存活的数据行（FATE=1）要被删除，导致出现一对观测值，即（N 0，N e ）值。

NLIN 和其他非线性程序一样，是迭代程序且需要参数初始估计值，在许多情况下，非线性回归是否成功取决于对参数合理的精确估计。

在功能反应模型中，处理猎物时间（T h ）可在最高N 0处用T/N e 来近似。

在这种III 型功能反应中，其他参数的初始估计值不这么明显，参数d 在许多情况下会较小，因此初始值设为0可能会有效，对于b 和c ，通常最佳的做法是选择覆盖两个数量级的不同初始值然后让程序找到最佳初始值。

对参数b 的初始值这种方法在网站10.1A 附录中有说明，对于T h 和d 多个初始值可能是有用的。

但是，对所有4个参数使用多个初始值可能会需要很长的计算时间。

所有参数的值决定于选取的时间单位。

NLIN 允许设定参数的界限，这一步骤在功能反应分析中应该执行。

这样可以避免产生无意义的结果例如负的处理时间。

在III 型功能反应中，参数T h 和b 应该大于0，而参数c 和d 应该是非负的，在附录10.1A 和B 中，指令BOUNDS 被用来设定这些限制。

用牛顿法来计算e N ˆ也需要对e
N ˆ设定初始估计，为了简单起见，可能会像附录10.1那样用N e 的观测值。

在每个N 0值处的N e 平均值也可以用，而且可能会更靠近最后的e
N ˆ,因此，将会减少所需的迭代次数。

得出参数估计的策略是先用完整的模型（4个参数），然后如果c 和d 并非显著地不等于0（见附录10.1中A 和B ），可以消除模型中的参数c 和d （一次一个）。

对于III 型功能反应，最简化模型。