钢结构稳定理论与设计-31.

钢结构稳定理论
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结论： 很多复杂结构很难建立平衡方程，这时可先写出总势 能表达式，令其一阶变分为0，即可得到平衡方程； 可以假设构件的挠曲线函数，（必须满足几何边界条 件），将其代入总势能表达式，通过一阶变分为0，求 解屈曲荷载，这就是著名的瑞利－里兹法（Rayleigh,L., Ritz, W.）； 如果假设的挠曲线函数既符合构件的几何边界条件， 又符合自然边界条件，也可直接利用(4)式求解屈曲荷 载，这就是著名的迦辽金法（Galerkin, B.G.）。
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第三章 稳定问题的近似解法
为什么要近似求解？
非等截面构件 压力沿轴线变化的构件 具有变系数的平衡微分方程 压杆的弹塑性屈曲问题
近似求解方法：
能量法、瑞利－里兹法、迦辽金法、有限差 分法、有限积分法、有限元法等。
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§3-1 能量法
1）几个基本概念
E、P和I可能不是常数，P(x)、I(x) 不可拿到积分号之外。
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3）势能驻值原理
当作用着外力的结构体系，其位移有微小变化而总的
能量不变，即总势能有驻值时，则该结构体系处于平 衡状态，此即为势能驻值原理。
表达为：
(U V ) 0 其中： U V U W
关于ai的齐次 方程组的系数 ＝0 临界承载力 行列式
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给出几种满足几何边界条件的常用挠曲函数
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一般取前一、二项就有良好精度
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例题1，如图所示变截面悬臂柱，求其轴心受压临界
承载力（在工业厂房中常用此结构形式）
l
外力势能为：
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P l 2 dx V W y 2 0
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则总势能为：
U V 1 1 1 EI 2 P 2 2 2 2 y y dx rA y (0) rB y (l ) k B y (l ) 0 2 2 2 2 2
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外力势能
V P P(1 cos )dx
0
l
1 l 1 l 2 2 dx V P( y ' ) dx Py 2 0 2 0
总势能
1 l 1 l 2 2 dx Py dx U V EI y 2 0 2 0
系数ai的函数。
使用势能驻值原理
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a1 a2 a3 0 a1 a2 a3
0 ，可写成：
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δa1、δa2、δa3…不能同时为0，则可得到：
a 0 1 0 a2 a 0 i
l
利用势能驻值原理（即总势能一阶变分为0）
Py y dx EI y y
l 0
(0)y (0) rB y (l )y (l ) k B y (l )y (l ) rA y
利用分部积分和边界条件 y(0) 0和y(0) 0 可知上式第一项和第二项分别为：
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2）弹性直杆的总势能表达式
以直杆状态为参考状态（总势能为0状态），求微弯
后总势能表达式
1 1 应变能 U Md 2 0 d EI M EI y dx M d dx EI 1 l M2 1 l 2 dx U dx EI y 2 0 EI 2 0
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§3-2 瑞利－里兹法
假定满足几何边界条件的挠曲线为：
y a1 f1 ( x) a2 f 2 ( x) a3 f 3 ( x)
ai－待定系数； fi(x)－满足边界条件的函数(至少满足几何边界条件)； 可见挠曲线y为一个泛函（函数的函数）。 将y的表达式代入总势能表达式中——总势能表达为
外力势能 内力势能 外力作功
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例：现考查如下结构
上端B点具有弹簧铰rB、抗侧 移弹簧kB； 下端A点具有弹簧铰rA。 当由(a)直杆状态过渡到(b)微 弯状态时，体系的应变能为：
EI 2 1 dx rA y (0) 2 U y 0 2 2 1 1 2 (l ) k B y (l ) 2 rB y 2 2
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根据前面表格，设挠曲线方程为：
2l x a( ) sin y 2l 2l
应变能：
y a(1 cos
x
)
满足y(0)＝0，y’(0)=0
a( y
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将上二式代入 0 得
由于δy(l)、δy’(0)、δy’(l)、δy均为边界上不为0的任意值， 所以上式等于0的条件为其系数衡等于0：
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前三项为边界上的弯矩和横向剪力，即自然边界条件； 而第四项为平衡方程； 可见势能驻值与平衡方程等价；
保守系统：体系由平衡位置1变化到平衡位置2时，力
系（包括内力和外力）做的功仅与始末位置有关，而 与中间过程无关的系统。
能量守恒：如果贮存在结构体系中的应变能等于外力
所做的功，则该保守系统处于平衡状态，此谓之能量 守恒。
能量准则：当一保守系统处于平衡状态时，其总势能
的一阶变分为0。
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总能量： U V
外力势能 内力势能、应变能
一阶变分： U V 0 势能驻值原理 外力势能增量 内力势能增量 二阶变分： 2 2U 2V
0 为稳定的平衡状态，此时总势能最小
2
2 0 为不稳定的平衡状态 2 0 为随遇平衡状态