换元积分法第二类换元法

§4.2 换元积分法（第二类）
Ⅰ 授课题目（章节）：
§4.2 换元积分法 （第二类换元积分法） Ⅱ 教学目的与要求：
1.了解第二类换元法的基本思想
2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法 Ⅲ 教学重点与难点：
重点：第二换元法中的三角代换及根式代换 难点：积分后的结果进行反代换 Ⅳ 讲授内容：
第一类换元积分法的思想是：在求积分()g x dx ⎰
时, 如果函数g (x )可以化为[()]()f x x ϕϕ'的形式, 那么
()
()[()]()[()]()
()u x g x dx f x x dx f x d x f u du ϕϕϕϕϕ='==⎰⎰⎰⎰
()F u C =+[()]F x C ϕ=+
所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出形如[()]()f x x ϕϕ'函数来.对于某些函数第一换元积分法无能为力，例如⎰
-dx x a 22.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要
学习的第二类换元积分法。

第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换)(t x ψ=将无理函数()f x 的积分
()f x dx ⎰化为
有理式[()]
()f t t ψψ'的积分[()]()f t t dt ψψ'⎰。

即
()[()]()f x dx f t t dt ψψ'=⎰⎰
若上面的等式右端的被积函数[()]
()f t t ψψ'有原函数()t Φ，则[()]()()f t t dt t C ψψ'=Φ+⎰,
然后再把()t Φ中的t 还原成1
()x ψ-，所以需要一开始的变量代换)(t x ψ=有反函数。

定理2 设)(t x ψ=是单调、可导的函数，且0)(≠ψ't ，又设)()]([t t f ψ'ψ有原函数()t Φ，则
⎰⎰+ψΦ=+Φ=ψ'ψ=-C x C t dt t t f dx x f )]([)()()]([)(1
分析 要证明
1()[()]f x dx x C ψ-=Φ+⎰
，只要证明1[()]x ψ-Φ的导数为()f x ，
1[()]d d dt x dx dt dx ψ-ΦΦ=⋅ ， ?dt dx
=
证明 )(t x ψ=Θ单调、可导，∴
()x t ψ=存在反函数)(1x t -=ψ，且
)
(11t dt
dx dx dt ψ'== 11[(
)][(
)]()()()
d d dt x f t t f x dx dt dx t ψψψψ-Φ'Φ=⋅=='Q
)]([1x -ψΦ∴是)(x f 是一个原函数⎰+ψΦ=-C x dx x f )]([)(1.
第二换元法，常用于如下基本类型 类型1：被积函数中含有
22x a -（0>a ）,可令t a x sin =（并约定(,)22
t ππ
∈-
）则
t a x a cos 22=-，tdx a dx cos =，可将原积分化作三角有理函数的积分.
例1 求
⎰
-dx x a 22
)0(>a
解 令t a x sin = ，(,)22
t ππ
∈-
，则t a x a cos 22=- tdt a dx cos = 2
2
cos cos a x dx a ta tdt ∴-=⎰
⎰22
2
11(cos 2)sin 22224
a a a t dt t t C =+=++⎰
2222
2sin cos arcsin 2222
a a a x x t t t C a x C a =++=+-+. 借助下面的辅助三角形把sin t ，cos t 用x 表示.
例2 求
⎰
-dx x
x 2
24
解 令t x sin 2=，(,)22
t ππ
∈-
，则t x cos 242=-，tdt dx cos 2=
2
224sin 1cos22cos =42cos 24t t tdt dt t x
-∴=⋅-⎰⎰ =(22cos2)2sin 2t dt t t C -=-+⎰ 222sin cos 2arcsin
422
x x
t t t C x C =-+=--+
类型2：被积函数中含有
)0(22>+a x a 可令 t a
x
tan = 并约定(,)22
t ππ
∈-
，则t a x a sec 22=+；tdt a dx 2sec = ；可将原积分化为三角有理函数的积分.
例3 求
⎰
+2
2
a
x dx )0(>a
解 令t a x tan =，)2
,2(π
π-
∈t ，则22sec x a a t +=，2sec dx a tdt = 2
2
sec tdt x a
∴=+⎰
⎰ln sec tan t t C =++
22221ln
ln x a x
C x x a C a a
+=++=+++.
例4 求
⎰+2
2
4x
x
dx
解 令t x tan 2=，)2
,2(π
π-
∈t 242sec x t +=，tdt dx 2sec 2=
222
2
2sec 4tan 2sec 4t dt t t x
x ∴=⋅+⎰1cos 22sin 2cos 1sec 14tan 4t t t
t dt dt t ==⎰⎰
2
221cos 111114sin 4sin 4sin 4sin 4t x dt d t C C t t t x
+===-⋅+=-⋅+⎰⎰ 例5求
⎰+22)9(x dx
（分母是二次质因式的平方）
解 令t x tan 3=，则t x 2
2
sec 99=+， tdt dx 2
sec 3=
22
2243sec 1cos (9)81sec 27dx t dt tdt x t ==+⎰⎰⎰
111(1cos 2)cos 2cos 2254545454254t t t dt tdt td t =
+=+=+⨯⎰⎰⎰ 11sin 2sin cos 542545454t t t t t C =+=++⨯ 2113arctan 543549x x C x =+⋅++
练习： 求
221
(25)dx x x -+⎰（第二换元积分法分）
解 2
22
2
2
])1(2[)52(-+=+-x x x ，令t x tan 21=-
)2
,2(π
π-
∈t 则 222442sec 11
(1cos 2)sin cos (25)2sec 161616
dx t t dt t dt t t C x x t ==+=++-+⎰⎰⎰
21111
arctan 162825
x x C x x --=
+⋅+-+ 类型 3 被积分函数中含有
22a x - )0(>a ，当a x ≥时，可令t a x sec =，并约定
(0,)2
t π
∈，则t a a x tan 22=-，sec tan dx a t tdt =，当a x -≤时，可令x u -=，则a u ≥，可将原积分化为三角有理函数的积分。

例6 求
⎰
-2
2
a
x dx
)0(>a
解 被积函数的定义域为),(),(+∞--∞a a Y ， 当(,)x a ∈+∞时，令t a x sec =，)2
,0(π
∈t ，
则
t a a x tan 22=-，tdt t a dx tan sec =有
2
2
sec tan sec tan a t t
dt tdt a t
x a
==-⎰
⎰
⎰
22
ln(sec tan )ln(x x a t t C C a a
-=++=++221ln(x x a C =-+.
当(,)x a ∈-∞-时，令x u =-，则),(+∞∈a u 有
222211
2
2
2
2
ln()ln(u u a C x x a C x a
u a
=-=--+=--+-+--
22
11
2
2
2
2
2
2
()()
x x a C C x x a
x x a x x a ---=+=-+--+----
22
22211ln ln()(ln
)x x a C x x a C a ---=+=---+- 222ln()x x a C =---+
),(),(+∞--∞∈∴a a x Y 时，C a x x a x dx +-+=-⎰
222
2ln
例7 求
⎰-1
2
2
x x
dx
解 ),1(+∞∈x 时，令t x sec =,)2
,
0(π
∈t 则t x tan 12=-,tdt t dx tan sec =，有
C x
x C t tdt dt t t t t x x
dx
+-=+===-⎰⎰⎰1
sin cos tan sec tan sec 1
2222
，
)1,(-∞∈x 时，令x u -=，则),1(+∞∈u 有
C x
x C u u u u du x x
dx
+-=+--=--=-⎰
⎰1
11
1
2222
2
2
∴无论1-<x 或1>x 均有C x
x x x
dx +-=
-⎰
1
1
22
2
注意：(1)以上三种三角代换，目的是将无理式的不定积分化为三角有理函数的不定积分
(2)在利用第二类换元积分法时将积分的结果还原为x 的函数时，常常用到同角三角函数的关系，一种较简单和直接的方法是作“辅助三角形”
(3)在既可用第一换元法也可用第二换元法的时候，用第一换元法就使计算更为简洁.
例8 求
⎰-2
2
a
x x
dx
)0(>a
解法一（用第一换元法）
a x >时C x a a x
a
x a d a x
a x
dx a x x dx +=--
=-=-⎰
⎰⎰
arccos 1)(1)
(112
2
22
2
2， a x -<时，令x u -=则a u >
C x
a a C u a a a u u du a x x
dx +-=+=
----⎰
⎰arccos 1arccos 1)(2
22
2＝ 两式合并
C x
a
a a x x
dx +=
-⎰arccos 12
2 解法二 （第二换元法）
（1）当a x >时，sec x a t =,)2
,
0(π
∈t
tan a t =,sec tan dx a t tdt =
sec tan sec tan a t t dt a ta t =⎰
111arccos t a
dt C C a a a x
==+=+⎰.
（2）当a x -<时，令x u -=
==
11arccos arccos a a
C C a u a x
=+=+- 由(1)(2)两种情况可得
C x
a
a a x x
dx +=
-⎰arccos 12
2 Ⅴ 归纳总结
1、第二类换元积分法的思想
若
()f x dx ⎰中的被积函数()f x 为无理函数，可以选择适当的变量代换)(t x ψ=，将无理函数
()f x 的积分()f x dx ⎰化为有理式的积分[()]()f t t dt ψψ'⎰.
1()()[()]()()[()]x t f x dx f t t dt t C x C ψψψψ-='=Φ+=Φ+⎰
⎰
2、第二类换元积分法适用的被积函数类型 类型1：被积函数中含有
22x a -（0>a ）,可令t a x sin =（并约定(,)22
t ππ
∈-
）则t a x a cos 22=-；tdx a dx cos =可将原积分化作三角有理函数的积分.
类型2：被积函数中含有
)0(22>+a x a 可令 t a x tan = 并约定(,)22
t ππ
∈-
，则t a x a sec 22=+；tdt a dx 2sec = ；可将原积分化为三角有理函数的积分.
类型 3 被积分函数中含有
22a x - )0(>a ，当a x ≥时，可令t a x sec =，并约定
(0,)2
t π
∈，则t a a x tan 22=-，sec tan dx a t tdt =，当a x -≤时，可令x u -=，则a u ≥，可
将原积分化为三角有理函数的积分。

Ⅵ 课堂练习：P208习题4-2 2（37）
Ⅶ课外作业：P208 习题4-2 2（36）（37）（38）（40）（42）。