天津市大港区高考数学精编填空题合集含解析

天津市大港区高考数学精编填空题合集
填空题含答案有解析
1．已知数列{}n a 的通项公式()*
3
12
n n a n N -=∈，那么使得其前n 项和n
S
大于7.999的n 的最小值为
______.
2．数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*
12()n n a S n +=∈N ，则4a =________．
3．将函数sin 23cos 2y x x =-的图象向左平移
6
π
个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则5
()6
g π__________. 4．设*n N ∈，用n A ，表示所有形如12222n r r r ++
+的正整数集合，其中120n r r r n ≤<<<≤且
()*i r N i N ∈∈，n b 为集合n A 中的所有元素之和，则{}n b 的通项公式为n b =_______
5．已知直线l ：330mx y m ++-=与圆2212x y +=交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与y 轴交于C ，D 两点，若||23AB =，则||CD =__________．
6．如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________.
7．设()3sin cos 2sin x x x θ-=+，其中02θπ<<，则θ的值为________. 8．已知向量(
)
3,1a =
，则a =________
9．如图，为了测量树木AB 的高度，在C 处测得树顶A 的仰角为60︒，在D 处测得树顶A 的仰角为30，若10CD =米，则树高为______米.
10．设数列{}n a 满足11a =,24,a =,39a =,()1234n n n n a a a a n ---=+-≥，2019a =______. 11．正项等比数列{}n a 中，存在两项(
)*
,,m n a a m n N ∈14m n a a a ⋅=，且7652a a a =+，则
15m n
+的最小值为______.
13．已知x与y之间的一组数据，则y与x的线性回归方程y bx a
=+必过点__________．x01234
y246810 14．过点()
1,4
-且在坐标轴上的截距相等的直线的一般式方程是________.
15．已知sin sin0.4
x y
+=，cos cos 1.2
x y
+=则cos()
x y
-=.
16．已知正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球的表面积_____．
17．设S n为数列{a n}的前n项和，若S n＝(－1)n a n－
1
2n
，n∈N，则a3＝________．
18．如图，将全体正整数排成一个三角形数阵，按照这样的排列规律，第n行()3
n≥从右至左的第3个数为___________．
19．（6分）棱长为1，各面都为等边三角形的四面体内有一点P，由点P向各面作垂线，垂线段的长度分别为1234
,,,
d d d d，则
1234
d d d d
+++=______．
20．（6分）不等式()()
120
x x
-->的解集为_____________________。

21．（6分）已知函数
1
arccos
22
y x
π
=-，它的值域是__________.
22．（8分）实数x、y满足
1
1
10
x
y
x y
≤
⎧
⎪
≥-
⎨
⎪-+≥
⎩
，则2x y
+的最大值为________.
23．（8分）平面四边形ABCD中,,2,2,60
AB AC BC BDC ABC
==∠=∠=︒,则AD=_______. 24．（10分）光线从点(1,4)射向y轴，经过y轴反射后过点(3,0)，则反射光线所在的直线方程是________. 25．（10分）等差数列{}n a中，11
a=-公差2
d=.则3a与5a的等差中项是_____（用数字作答）26．（12分）已知0
a>，0
b>，若()
469
log log log
a b a b
==+，则a
b
=______．
27．（12分）在ABC
∆中，sin:sin:sin2:3:3
A B C=，则cos B=_____________
28．设偶函数()()()
0,0,0
f x Asin x A
ωϕωϕπ
=+>><<的部分图像如图所示，KLM
∆为等腰直角三角形，90,1
KML KL
∠==，则
1
f
⎛⎫
的值为________．
29．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是
1
2，甲获胜的概率是13
，则甲不输的概率为________. 30．己知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，1133
4
S π=，则6tan a =______. 31．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB ⋅的最大值是 ．
32．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为7
8
，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB 的面积为15__________．
33．在空间直角坐标系xOy 中，点(1
2,4)--，关于原点O 的对称点的坐标为______． 34．{}n a 为等比数列，若1234126,52a a a a a ++=-=，则n a =_______.
35．在矩形ABCD 中，42AB AD ==，，现将矩形ABCD 沿对角线BD 折起，则所得三棱锥A BCD -外接球的体积是________.
参考答案
填空题含答案有解析 1．1 【解析】 【分析】
直接利用数列的通项公式，建立不等式，解不等式求出结果． 【详解】
解：数列{}n a 的通项公式3
1(*)2n n a n N -=
∈，
则：1
4(1)
128(1)121n n n S -
=
=--
，
所以：当1
8(1)7.9992n
->时， 即：1
10.99982n
-
>， 当13n =时，1
10.99982n
-
>成立， 即：n 的最小值为1． 故答案为：1 【点睛】
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 2．18 【解析】 【分析】
利用11n n n a S S ++=-，化简得到数列{}n S 是首项为1，公比为3的等比数列，利用443a S S =-,即可求解. 【详解】
11n n n a S S ++=- 12n n n S S S +∴-=,即
1
3n n
S S += 所以数列{}n S 是首项为1，公比为3的等比数列
即1
3n n S -=
所以332
443318S S a =-==- 故答案为：18 【点睛】
本题主要考查了n S 与n a 的关系以及等比数列的通项公式，属于基础题. 3
． 【解析】 【分析】
先利用辅助角公式将函数sin 22y x x =的解析式化简，根据三角函数的变化规律求出函数
()y g x =的解析式，即可计算出56g π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值．
sin 222sin 23y x x x π⎛
⎫==- ⎪⎝
⎭，
由题意可得()2sin 22sin 263g x x x ππ⎡⎤
⎛
⎫=+
-
= ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
，
因此，5552sin 22sin 2sin 22sin 66333g π
πππππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=⨯
==-=-=
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
故答案为 【点睛】
本题考查辅助角公式化简、三角函数图象变换，在三角图象相位变换的问题中，首先应该将三角函数的解析式化为()()sin 0y A x b ωϕω=++≠（或()()cos 0y A x b ωϕω=++≠）的形式，其次要注意左加右减指的是在自变量x 上进行加减，考查计算能力，属于中等题． 4．(
)1
2
1n n +-
【解析】 【分析】
把集合n A 中每个数都表示为2的0到n 的指数幂相加的形式，并确定02，12，22，
，2n 每个数都出
现n 次，于是利用等比数列求和公式计算012(2222)n
n b n =+++⋯+，可求出数列{}n b 的通项公式．
【详解】
由题意可知，1r ，2r ，
，n r 是0，1，2，
，n 的一个排列，
且集合n A 中共有1n +个数，若把集合n A 中每个数表示为12222n r r r +++的形式，
则02，12，22，
，2n 每个数都出现n 次，
因此，10
1
2
1(12)
(2222)(21)12
n n
n n n b n n ++⋅-=++++==⋅--，
故答案为：1
(21)n n +⋅-．
【点睛】
本题以数列新定义为问题背景，考查等比数列的求和公式，考查学生的理解能力与计算能力，属于中等题． 5．4 【解析】 【分析】
由题，根据垂径定理求得圆心到直线的距离，可得m 的值，既而求得CD 的长可得答案.
因为AB=
，且圆的半径为r=，所以圆心()
0,0
到直线30
mx y m
++=
的距离为3
=
3
=
，解得
3
m=-，代入直线l
的方程，得
3
y x
=+
以直线l的倾斜角为30︒，由平面几何知识知在梯形ABDC中，4
cos30
AB
CD==
︒
．
故答案为4
【点睛】
解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．
6．1:47
【解析】
【分析】
求出长方体体积与三棱锥的体积后即可得到棱锥的体积与剩下的几何体体积之比.
【详解】
设长方体长宽高分别为2a，2b，2c，
所以长方体体积12228
V a b c abc
=⨯⨯=，
三棱锥体积
2
111
326
V a b c abc
=⨯⨯⨯⨯=，
所以棱锥的体积与剩下的几何体体积的之比为：
2
12
1
1
6
147
8
6
abc
V
V V
abc
==
-⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
.
故答案为：1:47.
【点睛】
本题主要考查了长方体体积公式，三棱锥体积公式，属于基础题.
7．
11
6
π
【解析】
【分析】
由两角差的正弦公式以及诱导公式，即可求出θ的值．
【详解】
所以sin()sin()6
x x π
θ-=+，因为02θπ<<，故1126
6
π
π
θπ=-
=
． 【点睛】
本题主要考查两角差的正弦公式的逆用以及诱导公式的应用． 8．2 【解析】 【分析】
由向量的模长公式，计算得到答案. 【详解】 因为向量(
)
3,1a =，
所以()
32a =
=，
所以答案为2. 【点睛】
本题考查向量的模长公式，属于简单题.
9．【解析】 【分析】
先计算10AC =，再计算AB =【详解】
在C 处测得树顶A 的仰角为60︒，在D 处测得树顶A 的仰角为30 则3010DCA AC DC ∠=︒⇒==
在ABC ∆中，AB =
故答案为 【点睛】
本题考查了三角函数的应用，也可以用正余弦定理解答. 10．8073 【解析】 【分析】
对n 分奇偶讨论求解即可 【详解】
当n 为奇数时，123325n n n n a a a a a a ----=-=-=
故当n 为奇数时，11221111
=++++5314322
n n n n n n n a a a a a a a a n --------=⨯
+⨯+=- 故20194201938073a =⨯-= 故答案为8073 【点睛】
本题考查数列递推关系，考查分析推理能力，对n 分奇偶讨论发现规律是解决本题的关键，是难题 11．
7
4
【解析】 【分析】
先由已知求出公比q 14a =求出,m n 满足的关系，最后求出15
m n
+的所有可能值得最小值． 【详解】
设数列公比为q ，由7652a a a =+得25552a q a q a =+，∴2
20q q --=，解得2q
（1q =-舍去），
14a =14a =，6m n +=，∵,*m n N ∈， 所以(,)m n 只能取(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)，依次代入
15m n +，15m n +分别为2，74，2，114，26
5
，
最小值为7
4． 故答案为：7
4
．
【点睛】
本题考查等比数列的性质，考查求最小值问题．解题关键是由等比数列性质求出,m n 满足的关系6m n +=．
接着求最小值，容易想到用基本不等式求解，但本题实质上由于,*m n N ∈，因此对应的(,)m n 只有5个，可以直接代入求值，然后比较大小即可． 12．5 【解析】 【分析】
先根据等比数列性质化简方程，再根据平方性质得结果. 【详解】
∵{}n a 是等比数列，且0n a >，243546225a a a a a a ++=，∴22
3355225a a a a ++=，
【点睛】
本题考查等比数列性质，考查基本求解能力. 13．()2,6 【解析】 【分析】
根据线性回归方程一定过样本中心点，计算这组数据的样本中心点，求出x 和y 的平均数即可求解. 【详解】
由题意可知，y 与x 的线性回归方程y bx a =+必过样本中心点 01234
25x ++++=
=，24681065
y ++++==，
所以线性回归方程必过()2,6. 故答案为：()2,6 【点睛】
本题是一道线性回归方程题目，需掌握线性回归方程必过样本中心点这一特征，属于基础题. 14．40x y +=或30x y +-= 【解析】 【分析】
讨论直线过原点和直线不过原点两种情况，分别计算得到答案. 【详解】
当直线过原点时，设y kx =，过点()1,4-，则4k =-，即40x y +=； 当直线不过原点时，设
1x y
a a
+=，过点()1,4-，则3a =，即30x y +-=； 综上所述：直线方程为40x y +=或30x y +-=. 故答案为：40x y +=或30x y +-=. 【点睛】
本题考查了直线方程，漏解是容易发生的错误. 15．15
- 【解析】
试题分析：两式平方相加并整理得822cos()5x y +-=，所以1
cos()5
x y -=-.注意公式的结构特点，从整体去解决问题.
16
．16
3π
.
【解析】
【分析】
由题意推出球心O到四个顶点的距离相等，利用直角三角形BOE，求出球的半径，即可求出外接球的表面积．
【详解】
如图，
∵正三棱锥A﹣BCD3，底面外接圆半径为
13
1
23
r==
侧棱长为2，BE=1,在三角形ABE中，根据勾股定理得到：高AE3
=
得到球心O到四个顶点的距离相等，O点在AE上，
在直角三角形BOE中
BO＝R，EO3
=R，BE＝1，
由BO2＝BE2+EO2，得R
23 =
∴外接球的半径为3
3，表面积为：
16
3
π
故答案为16
3
π
．
【点睛】
涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.
17．－
1 16
【解析】当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝－a3－1
8
，则a1＋a2＋2a3＝－
1
8
，当n＝4时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4
18．
(1)
22
n n +- 【解析】 【分析】
由题可以先算出第n 行的最后一个数,再从右至左算出第3个数即可. 【详解】
由图得, 第n 行有n 个数,故前n 行一共有(1)12 (2)
n n n ++++=个数,即第n 行最后一个数为
(1)
2n n +,故第n 行()3n ≥从右至左的第3个数为(1)
22
n n +-. 【点睛】
本题主要考查等差数列求和问题,注意从右至左的第3个数为最后一个数减2.
19．
3
． 【解析】 【分析】 【详解】
根据等积法可得)123411343d d d d ⨯+++=
∴1234d d d d +++=20．{|x x <或}2x > 【解析】 【分析】
利用一元二次函数的图象或转化为一元一次不等式组解一元二次不等式. 【详解】
由()()120x x -->，1020x x -<⎧⎨-<⎩或10
20x x ->⎧⎨->⎩
，所以1x <或2x >，
不等式的解集为{|x x <或}2x >. 【点睛】
本题考查解一元二次不等式，考查计算能力，属于基本题.
21．0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
由反余弦函数的值域可求出函数1
arccos 22
y x π
=-的值域. 【详解】
0arccos x π≤≤，10arccos 222
x π
π∴≤
-≤， 因此，函数1arccos 22y x π
=
-的值域为0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. 故答案为：0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】
本题考查反三角函数值域的求解，解题的关键就是依据反余弦函数的值域进行计算，考查计算能力，属于基础题. 22．4 【解析】 【分析】
根据约束条件，画出可行域，将目标函数化为斜截式，找到其在y 轴截距的最大值，得到答案. 【详解】
由约束条件1110x y x y ≤⎧⎪
≥-⎨⎪-+≥⎩
，
画出可行域，如图所示，
化目标函数2z x y =+为2y x z =-+，
由图可知，当直线2y x z =-+过A 点时，直线在y 轴上的截距最大，
联立110x x y =⎧⎨
-+=⎩，解得1
2
x y =⎧⎨=⎩，即()1,2A ，
所以max 2124z =⨯+=. 故答案为：4.
【点睛】
本题考查线性规划求最大值，属于简单题. 23．
23
【解析】 【分析】
先求出233AB AC ==，再求出3cos sin DCA DBC CD ∠=∠=，再利用余弦定理求出AD 得解. 【详解】
依题意得ABC 中，30ABC ACB ∠=∠=︒，故2
33
AB AC ==
．
在BCD 中，由正弦定理可知，
sin sin BC CD
BDC DBC
=∠∠，
得sin 3
sin CD BDC DBC BC ⋅∠∠=
=．
在BCD 中，因为90BDC ACB ∠+∠=︒， 故90DCA DBC ∠+∠=︒． 则3
cos sin 4
DCA DBC ∠=∠=
． 在ACD 中，由余弦定理可知，2222cos AD AC CD AC CD DCA =+-⋅⋅⋅∠，
即2222()4
AD CD CD =+-⋅⋅⋅．
得AD =
【点睛】
本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题. 24．30x y +-=（或写成3y x =-+） 【解析】 【分析】
光线从点(1,4)射向y 轴，即反射光线反向延长线经过(1,4)关于y 轴的对称点(1,4)-，则反射光线通过
(1,4)-和(3,0)两个点，设直线方程求解即可。

【详解】
由题意可知，所求直线方程经过点(1,4)关于y 轴的对称点为(1,4)-，则所求直线方程为4313
y x =---，即30x y +-=. 【点睛】
此题的关键点在于物理学上光线的反射光线和入射光线关于镜面对称，属于基础题目。

25．5 【解析】 【分析】
根据等差中项的性质，以及1,a d 的值，求出4a 的值即是所求. 【详解】
根据等差中项的性质可知，35,a a 的等差中项是4a ，故413165a a d =+=-+=. 【点睛】
本小题主要考查等差中项的性质，考查等差数列基本量的计算，属于基础题.
26．
1
2
【解析】 【分析】
首先令()469log log log a b a b t ==+=，分别把,a b 解出来，再利用整体换元的思想即可解决． 【详解】
令()469log log log 4,6,9t
t
t
a b a b t a b a b ==+=⇒==+=
所以2
2294691033t t
t t t t
a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=⇒+=⇒+-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎢⎥⎣⎦
令()203t
x x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭
，所以210x x x +-=⇒=
所以4263t
t t a b ⎛⎫===
⎪⎝⎭【点睛】
本题主要考查了整体换元的思想以及对数之间的运算和公式法解一元二次方程．整体换元的思想是高中的一个重点，也是高考常考的内容需重点掌握． 27．
13
【解析】 【分析】
先由正弦定理得到::2:3:3a b c =，再由余弦定理求得cos B 的值． 【详解】
由sin :sin :sin 2:3:3A B C =，结合正弦定理可得::2:3:3a b c =，
故设2a k =， 3b c k ==，(0k >)，由余弦定理可得2222222
4991
cos 2123
a c
b k k k B a
c k +-+-===， 故1
cos 3
B =. 【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理的运用，属于基础题． 28
．
【解析】
()()()0,0,0f x Asin x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，KLM ∆为等腰直角三角形，
190,1,,22KML KL A T ∠==∴==，2,T πωπω=∴=，函数是偶函数，0,2
π
ϕπϕ<<∴=，∴函
数的解析式为()1,22f x sin x ππ⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭111
cos 62622
6f sin πππ⎛⎫⎛⎫∴=+== ⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出A ,利用图象先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出ϕ，正确求ωϕ，使解题的关键.求解析时求参数ϕ是确定函数解析式的关键，往往利用特殊点求ϕ的值，由特殊点求ϕ时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点.
29．
56
【解析】
甲、乙两人下棋，只有三种结果，甲获胜，乙获胜，和棋； 甲不输，即甲获胜或和棋，
∴甲不输的概率为115326
P =
+= 30．-1 【解析】 【分析】
由等差数列的()
1111111332
4
S a a π
⨯+==
结合11162a a a +=，代入计算即可. 【详解】
己知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，所以()
1111111332
4
S a a π
⨯+==
， 得11132a a π+=，由等差中项得634a π=，所以6tan a =3tan
14
π
=-. 故答案为-1 【点睛】
本题考查了等差数列前n 项和公式和等差中项的应用，属于基础题. 31．5 【解析】
试题分析：易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2
2
30x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直
径的圆上，PA PB ⊥，所以2
2
2
||||10PA PB AB +==，2
||52
AB PA PB ⨯≤=.
法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一. 【考点定位】1、直线与圆；2、重要不等式.
32． 【解析】 【详解】
分析：先根据三角形面积公式求出母线长,再根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求结果.
详解：因为母线SA ，SB 所成角的余弦值为
78，所以母线SA ，SB ，因为SAB 的
面积为,l 所以
2218028
l l ⨯⨯==，
因为SA 与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为πcos
,42
l l =
因此圆锥的侧面积为2
π.rl l =
= 33．(1,24)-，
【解析】 【分析】
利用空间直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标特征解答即可. 【详解】
在空间直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标对应互为相反数，所以点(1
2,4)--，关于原点O 的对称点的坐标为(1,24)-，. 故答案为：(1,24)-，
【点睛】
本题主要考查空间直角坐标系中对称点的特点，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 34．123n -• 【解析】 【分析】
将1234126,52a a a a a ++=-=这两式中的量全部用1,a q 表示出来，正好有两个方程，两个未知数，解方程组即可求出。

【详解】
12326a a a ++=相当于2
11=26a q q ++（）
， 4152a a -=相当于3211-1=(1)(1)52a q a q q q -++=（）， 上面两式相除得12,q -=3q ∴=代入就得12a =，123n n a -∴=
【点睛】
基本量法是解决数列计算题最重要的方法，即将条件全部用首项和公比表示，列方程，解方程即可求得。

35．
3
【解析】
【分析】
取BD 的中点O ，连接OA OC ，，三棱锥A BCD -外接球的半径5R =再计算体积.
【详解】
如图，取BD 的中点O ，连接OA OC ，. 由题意可得22
4252
OA OB OC OD +===
==， 则所得三棱锥A BCD -外接球的半径5R =
，其体积为340532R ππ
=
. 故答案为
205π
【点睛】
本题考查了三棱锥的外切球体积，计算OA OB OC OD ===是解题的关键.。