三垂线定理

(为三垂线定理的证明埋下伏笔!) 如图1,若l⊥α,a α,则l⊥a. 但这里l⊥α,情况太特殊了,如果l与a斜交呢?即l为平面α的斜线,能不能 判定平面内的直线a与直线l垂直呢? 画出图2,a α,l∩α=O,(l α).这时你又如何判定a与l是否垂直呢? (提出问题,请学生思考)
师:进一步启发(分析图2)根据线面垂直的定义,我们知道 如果直线a能垂直于过直线 的一个平面 那么a⊥ 如果直线 能垂直于过直线l的一个平面,那么 ⊥l. 能垂直于过直线 的一个平面, 于是,新问题是:如何找出这样一个平面——过l且与a垂直的平面呢?我 们知道,满足条件的这样一个平面必须有两条相交直线(l当然不在其内)都 与直线a垂直,能不能先解决一部分,即先作出一条与l相交的直线又与a垂直 呢?
课堂教学小结 这节课我们通过对"平面内是否存在与平面的斜线垂直的直线"问题的探 讨.具体方法是把问题转化为"平面内的直线与平面的斜线在平面上唯一 的直线——射影"的位置关系的研究,而得出三垂线定理.这充分体现了 研究立体几何的基本思想方法——降维转化的思想方法,将空间问题转化 为平面问题来解决. 对三垂线定理本质的理解有如下四点: (1)从证明思路看 a⊥AO a⊥平面AOP a⊥PO (2)三垂线定理及其逆定理是空间两条直线垂直的判定定理.对证明线线 垂直问题有着广泛的应用.
板书上述思路
生:老师您应画出 AO. 师:对!提得很好!两个平面相交要画出交线(用红笔作出直线 AO. (如图 4)
生:显然应填写 a⊥AO. (水到渠成,这就是本课的核心所在) 师:非常好.这已经是一个完美的思维近路了.
师:我们共同探求到一条重要定理.请试叙述这条定理,可按思维通路的脉络,用自己 的语言表述.
教学重点和难点 1.三垂线定理的引入与证明,在教学过程中发展学生的探索能力; 2.变异位置下三垂线定理的应用. 教学设计过程 师:请同学回忆空间中的两条直线具有什么样的位置关系? (思维从问题开始,点明这节课是研究空间两直线位置关系的继续) 生:相交,平行或异面. 师:对.我们可把上述三种情况表述为
(3)对"三垂线"的解释 定理中涉及到五个空间元素(一面和四线):平面α,α的垂线 PA, α的斜线 PO,PO 在α上的射影 AO 及平面α内的直线 a.其中"三垂线" 的解释是多样的.如:
也可理解为
后一种理解,本质上是应用三垂线定理的思维程序与操作程序."一面四线"中面的 垂线是关键,运用三垂线定理解题时,首先要确定平面α,再抓住面的垂线 PA,其他直线 即相应产生,即可在各种变式情况下分清各元素的关系. (4)若研究了命题的充要条件,又可小结为:"平面内直线与平面的斜线垂直的充要 条件是平面内的直线垂直于斜线的射影." 布置作业 1.课本 p.30 练习 1; 2.课本 p.31～p.32 习题四 11,12,13.
(师把板书中的条件a⊥AO与结论a⊥OP互换) 是真命题吗? 生:是!与三垂线定理的证明思路一样.
例1 如图6,PA垂直于以AB为直径的圆O平面,C为圆O上任一点(异于A, B).试判断图中共有几个直角三角形,并说明理由.
(这是立体几何中一个重要图形.既有线面垂直问题,又有线线垂直,既 有三垂线定理的应用,又有平面几何知识的运用) 生甲:两个.分别是Rt△PAC,Rt△PAB. 生乙:三个.还应有Rt△PCB. 师:谁是直角?理由是什么
师:演示一组抽拉投影片.如图5,只需将动片(含直线a的抽拉片)左,右 抽动,即可显示这一组平行直线.当且仅当a通过O点时a与PO是共面垂直,而 其余的都是异面垂直关系.
(图中框片1为固定不动,片2可以抽拉,a画在2上,左,右抽拉可显示a的运动 过程为一组平行直线) 师:你能构造三垂线定理的逆命题吗?判断它是真命题吗?并证明. (前面在三垂线定理的探求过程中,已把它的大前提Βιβλιοθήκη Baidu小前提及结论分析清楚, 故在这里学生可比较顺利地构造出它的逆命题) 生:只要把三垂线定理中的小前提a⊥AO,与结论中的a⊥PO互换一下就可以 了.
生乙:∠PCB,由三垂线定理可证. 师:你能叙述一下吗?根据三垂线定理的操作程序叙述清楚. 生乙:因为PA⊥⊙O平面,PC∩⊙O面=C,因为∠ACB=90°,即 BC⊥AC,所以BC⊥PC. 师:生乙证明中,什么地方还应再强调一下. 生丙:BC 平面⊙O. 师:除这三个直角三角形外,还有吗? 生:还应有一个Rt△ABC,因为直径上的圆周角为直角. 师:好!这样才全面认识了这个空间图形.事实上图形P-ABC是一个 三棱锥.原来三棱锥的四个面可以都是直角三角形,请同学思考:你 能再构造一个三棱锥,使它的四个面全是直角三角形吗?(课下继续 思考) 师:通过例1,作出判断的关键是什么? 生:平面的垂线PA是关键,有它就能保证前三个Rt△.
证明: 证明 :
师:你能给这条定理起个名字吗? 生甲:我从条件中发现有两个垂直关系.我给他起名叫"两垂线定理". (生哄笑) 师:好!如果是你第一个发现这条定理的,可能今天就叫两垂线定理了.结论中还有一 个重要垂直呢? 生乙:最好叫三垂线定理吧! 师:好!这就是立体几何中重要的三垂线定理.它是证明空间线线垂直的重要定理.
两位同学总结了这三个垂直,哪个垂直是关键呢?显然平面α的垂线PA 是关键!我们如何记忆这条定理呢? 生甲:平面内一直线只要与射影垂直,则与斜线垂直. 生乙:我记忆为先有平面内垂直,再转化到空间的垂直关系. 师:很好!两位同学的记忆方法各有千秋,可按自己的习惯给予记 忆.实际上两位同学的本质是一样的,还应强调PA⊥α于A的前提条件和 a α内的关键词语. 要深刻理解该定理的证明思路,证明中主要体现了什么数学思想? 生:转化的思想,即要证线线垂直,只要转化为证线面垂直,就可以 了. 师:请同学探求一下平面内的直线a就这一条吗? 生:不止一条,因为在平面α内,只要与a平行的直线,就一定和射影垂 直,则它必定和斜线垂直,这样的直线是一组平行直线.
(启而不发,由学生思考) 生:过l上一点P(异于点O),作PA⊥α于A,则由线面垂直的性质有 a⊥PA. 师:很好!在图3中,作出PA⊥α于A(此时不连结AO),并板书
由PA∩PO=P,确定平面PAO,要使a⊥l,只需a⊥平面PAO.故只要有 平面PAO内的另一条直线与a垂直就行了!而平面PAO内的哪一条线用起 来最方便呢?
其中空间两条直线平行,这种特殊位置关系我们已经研究过了.两条直线 相交与异面的另一特殊位置关系——空间两直线互相垂直,值得作深入的 研究.而相交两直线的垂直问题,我们已经在平面几何中作过系统的研究, 现在我们重点研究异面直线互相垂直的情况. (进一步点明研究空间直线和直线的垂直问题) 我们的问题是:如何判定两条异面直线的垂直位置关系呢? 生:根据两条异面直线互相垂直的定义来判定.即如果两条异面直线所成 的角为90°,则称这两条异面直线互相垂直. 师:回答得很好.实际上是根据两条异面直线所成的角为直角来判定 的.这是由两条异面直线垂直的定义来判定,即定义法.但这样归结为定 义判定往往在操作上不是很简便,在今后的证明中运用也不太方便,能不 能换一个角度考虑呢?有没有判定两条异面直线垂直的比较简便的方法呢? (进一步调动学生思维,抛开定义去探求新的判定方法) 生:可利用直线和平面垂直的性质定理来判定.即如果一条直线垂直于一 个平面,那么它就和这个平面内的任何一条直线垂直,而平面内存在无数 多条直线与该垂线异面,这样就可以判定了. 师:很好!同学们已经掌握了证明线线垂直的基本思维方法.要证线线垂 直,只需证线面垂直.
生:一条直线如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直,那么 它也和这条斜线垂直. 师:对吗?请同学看是否正确? 生:不对,首先应刻画"在平面内"的一条直线. 师:对!这非常重要(板书三垂线定理).试分析定理中的关键词语, 并用符号语言表述. 如图4,PA⊥α于A,PO∩α=O,AO是PO在平面α上的射影.a α,若 a⊥AO,则a⊥PO. 请写出条件和结论.(板书) 已知:PA⊥α于A,PO∩α=O,(这里已隐含AO为斜线PO在平面α上的射 影)a α,a⊥AO. 求证:a⊥PO. (请学生完成证明过程.事实上通过前面的探求过程等于已把这条定理证 明了.只要请学生到黑板板演,并订正即可)
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§1.11 .
三垂线定理
教学目标 1.使学生理解并掌握三垂线定理及其三垂线定理的逆定理; 2.通过对三垂线定理的探求过程,进一步渗透立体几何证明中的转化思想.具 体体现在线线与线面垂直的辩证关系上;
3.能初步掌握三垂线定理与三垂线定理逆定理的应用.注意培养学生对变异形 式下三垂线定理的应用能力.进一步提高学生的空间想象能力.