拉氏变换及其性质
7.2拉氏变换的性质
高等数学
主讲人 宋从芝
7.2 拉氏变换的性质
本讲概要
➢拉氏变换的性质 ➢例题
一.拉氏变换的性质
性质1（线性性质） 若a1 , a2是常数，并设L[f1(t)]=F1(p) , L[f2(t)]=F2(p) ,则
L[a1f1(t)+ a2f2(t)] =a1L [f1(t) ] + a2L[f2(t)] = a1F1(p) + a2F2(p)
可以先求各函数的象函数再进行计算。
性质2（平移性质） 若L[ f (t)]=F(p) ,则 L[eat f (t)] = F(p-a)
此性质说明，像原函数乘以 eat 等于其像函数做位移a。
例2 求
性质3（延滞性质） 若L[ f (t)]=F(p) ,则 L[f (t-a)] = e-at F(p)
常用函数的拉氏变换
例1 求函数 解
的拉氏变换 .
一.拉氏变换的性质
性质1（线性性质） 若a1 , a2是常数，并设L[f1(t)]=F1(p) , L[f2(t)]=F2(p) ,则
L[a1f1(t)+ a2f2(t)] = a1F1(p) + a2F2(p)
根据拉氏变换的线性性质，求函数乘以常数的 象函数以及求几个函数相加减的结果的象函数时，
L f (n) (t) pn F( p) pn1 f (0) pn2 f (0) L f (n1) (0)
零初始条件下：f (0) f (0) L f (n1) (0) 0
L f (n) (t) pn F( p)
性质5（积分性质） 若L[ f (t)]=F(p)(p≠0) , 且f (t)连续，则
t0 t
L
电路元件 拉氏变换
电路元件拉氏变换拉氏变换是电路分析中常用的数学工具，用于描述电路元件在时域和频域之间的转换关系。
本文将介绍拉氏变换的基本概念、性质和应用，以及在电路分析中的具体应用案例。
一、拉氏变换的基本概念和性质1. 拉氏变换的定义拉氏变换是一种将时域函数转换为复频域函数的数学工具。
对于一个时域函数f(t)，其拉氏变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞) e^(-st) f(t) dt其中，s是复变量，表示频域的频率。
2. 拉氏变换的性质拉氏变换具有线性性质，即对于任意常数a和b，有：L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)其中，F(s)和G(s)分别是f(t)和g(t)的拉氏变换。
拉氏变换还具有平移性质、尺度性质、微分性质、积分性质等。
这些性质使得我们可以通过拉氏变换来简化复杂的电路分析问题。
二、拉氏变换在电路分析中的应用1. 线性电路分析拉氏变换在线性电路的分析中起到了至关重要的作用。
通过将电路中的电压和电流信号进行拉氏变换，可以将微分方程转化为代数方程，从而简化电路分析的过程。
例如，对于一个RC电路，可以通过拉氏变换将微分方程转化为代数方程，进而求解电路的响应。
2. 信号处理拉氏变换在信号处理领域也有广泛的应用。
通过将信号进行拉氏变换，可以将时域的信号转化为频域的信号，从而分析信号的频谱特性。
例如，在音频处理中，可以通过拉氏变换将声音信号转化为频域信号，进而进行音频滤波、降噪等处理。
3. 控制系统分析拉氏变换在控制系统的分析与设计中也起到了重要的作用。
通过将控制系统的微分方程进行拉氏变换，可以得到系统的传递函数，进而分析系统的稳定性、频率响应等特性。
例如，在机器人控制系统中，可以通过拉氏变换分析系统的动态响应，从而设计合适的控制策略。
三、拉氏变换的应用案例以一个简单的RL电路为例，分析其拉氏变换在电路分析中的应用。
假设电路中的电压源为v(t)，电感为L，电阻为R。
拉氏变换
控制原理补充讲义——拉氏变换拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。
一、拉氏变换与拉氏及变换的定义1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作：称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。
f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)：1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。
2)当时，，M，a为实常数。
2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。
—拉氏反变换符号关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。
二、典型时间函数的拉氏变换在控制系统分析中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个或几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。
注意：六大性质一定要记住1．单位阶跃函数2．单位脉冲函数3．单位斜坡函数4．指数函数5．正弦函数sinwt由欧拉公式：所以，6．余弦函数coswt其它的可见下表：拉氏变换对照表 序号 F(s) f(t) 序号 F(s) f(t)11 1121(t) 123t13414511+Ts Tte T-1 156)(1a s s +ate --1167)1(1+Ts sTt e--117)1sin(122ϕξωξωξω----t e n t nn8189191020三、拉氏变换的性质1、线性性质若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s),则有：，此式可由定义证明。
2、位移定理(1)实数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有,其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表示f(t)延迟时间a.证明：，令t-a=τ,则有上式=例：求其拉氏变换(2)复数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有证：例：求的拉氏变换3、微分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中f(0+)是由正向使的f(t)值。
拉氏变换与Z变换的基本公式及性质
拉氏变换与Z变换的基本公式及性质拉氏变换（Laplace Transform）是一种重要的信号分析工具，它将时域函数转换为复域函数，使得分析和处理复杂的差分方程、微分方程、线性时不变系统等问题变得更加简单。
拉氏变换的定义如下：对于一个定义在半轴t≥0上的实值函数f(t)，它的拉氏变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt其中s是一个复变量，e^(-st)是一个复数系数。
拉氏变换的基本公式：1.映射常数L{1}=1/s2. $L{e^{at}}=\frac{1}{s-a}, Re(s)>a$3.时间平移L{f(t-a)u(t-a)} = e^(-as)F(s)4.频域平移L{e^(as)f(t)} = F(s-a)5.合并函数L{f(t)+g(t)}=F(s)+G(s)6.乘法L{f(t)g(t)}=F(s)*G(s)7.单位冲激函数L{δ(t-a)} = e^(-as)拉氏变换的性质：1.线性性质L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)2.积分性质L{∫[0,t]f(τ)dτ}=1/s*F(s)3.拉氏变换的导数性质L{f'(t)}=sF(s)-f(0)4.初始值定理f(0+) = lim(s->∞) sF(s)5.最终值定理lim(t->∞) f(t) = lim(s->0) sF(s)Z变换是一种由离散信号而来的变换，它将离散序列变换到复平面上。
Z变换的定义如下：对于一个离散序列x[n]，它的Z变换X(z)定义为：X(z)=Z{x[n]}=∑[-∞,∞]x[n]z^(-n)其中z是一个复变量。
Z变换的基本公式：1.映射常数Z{1}=12.单位序列Z{δ[n]}=13.线性性质Z{ax[n] + by[n]} = aX(z) + bY(z)4.平移Z{x[n-a]}=z^(-a)X(z)5.单位冲激响应函数Z{h[n]}=H(z)6.时域乘法Z{x[n]y[n]}=X(z)Y(z)Z变换的性质：1.线性性质Z{ax[n] + by[n]} = aX(z) + bY(z)2.移位性质Z{x[n-k]}=z^(-k)X(z)3.初始值定理x[0] = lim(z->∞) X(z)4.最终值定理lim(n->∞) x[n] = lim(z->1) (1-z^(-1))*X(z)5.时域卷积性质Z{x[n]*y[n]}=X(z)Y(z)6.时域乘法性质Z{x[n]y[n]}=X(z)Y(z)总结：拉氏变换和Z变换都是用于信号分析和处理的重要工具。
第1节 拉氏变换概念及性质
提出的问题:
1.拉氏变换如何由傅里叶变换演变而来? 2.傅里叶变换是拉氏变换的特例吗?存在拉氏变换的信 号一定存在傅里叶变换吗? 3.信号拉氏变换F(s)的反变换是否唯一? 单边信号拉氏变换F(s)的反变换是否唯一? 4.拉氏变换求解系统问题的优越性如何体现? 5.拉氏变换应用有局限性吗?
6.微分方程的拉氏变换求解法及其优越性？
1 如信号F ( s) (t ) s
s F ( s) 2 s 4
s F ( s) ( s 1)( s 2 4) 2
例题：
已知：f (t ) (t ) e t (t ) 1 ）试确定双边拉氏变换 及其收敛域； 2 ）求上述拉氏变换在不 同收敛域下的反变换
设：s = σ + jω（复频率）, dω=ds/j
F ( s) f (t )e st dt 1 j st f (t ) j F (s)e ds 2j
(Bilateral LT)
双边拉普拉斯变换 记作：f (t ) F(s)
说明：F s L f t f t e d t F ( j ) F [ f (t )] f (t )e dt
n!
n
5、 (t) 的导函数
s
e
st
dt
n!
0
s
n 1
t (t )
n
n! s
n 1
L t t e
0
st
(n) (t) s n dt s
拉氏变换
拉氏变换的基本性质及其应用举例
一、拉氏变换的性质
(1)线性定理：拉氏变换是线性变换，即：
(2)卷积定理：
称为、的卷积，记为
(3)乘积定理：设、的拉氏变换为、，则：的拉氏变换为：
(4)导数定理：
如果：
则：
(5)不定积分定理：
(6)象的导数定理：
(7)象的积分定理：设的象为,且积分收敛，则：
(8)相似定理：设，则：
(9)位移定理：
(10)延迟定理：设，则：
二、用拉氏变换求解常微分方程及积分方程举例
例1、求解初值问题：
解：对方程两端作拉普拉斯变换：
即：
将上式两端反演，即：
从例1中可得出运用拉普拉斯变换求解微分方程，积分方程的步骤可归纳为：
(1)对方程施行拉普拉斯变换，这变换把初始条件一同考虑。
(2)从变换后的方程中解出象函数。
(3)对求出的象函数进行反演，原函数就是原方程的解。
例2 求解交流RL电路的方程：
解：对方程两边作拉普拉斯变换
将上式两端反演得：
由卷积定理得：
所得结果第一部分代表一个稳定的(幅度不变的)振荡，第二部分则是随时间而衰减的．例3 求解
解：对该方程施行拉普拉斯变换后得：
记
将上式反演，设：
则
则由卷积定理得：
而：
例4 求解方程组：
解：对方程组施行拉氏变换得：
记：
两式相加减得：
将上方程组反演：
例5 求解积分方程
解：对方程两端施行拉氏变换
即：
进行反演：
例6 用拉普拉斯变换求积分：
解：当
进：对积分进行拉普拉斯变换
反演得：
当
时，作变换。
拉氏变换.doc
控制原理补充讲义——拉氏变换拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。
一、拉氏变换与拉氏及变换的定义1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作：称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。
f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)：1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。
2)当时，，M，a为实常数。
2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。
—拉氏反变换符号关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。
二、典型时间函数的拉氏变换在控制系统分析中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个或几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。
注意：六大性质一定要记住1．单位阶跃函数2．单位脉冲函数3．单位斜坡函数4．指数函数5．正弦函数sinwt由欧拉公式：所以，6．余弦函数coswt其它的可见下表：拉氏变换对照表)1sin(122ϕξωξωξω----t e n t nn三、拉氏变换的性质1、线性性质若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s), 则有：，此式可由定义证明。
2、位移定理(1)实数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有,其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表示f(t)延迟时间a.证明：，令t-a=τ,则有上式=例：求其拉氏变换(2)复数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有证：例：求的拉氏变换3、微分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中f(0+)是由正向使的f(t)值。
2.2拉氏变换的性质
例2.求f t t m的拉氏变换，m为正整数。
m m-1 f 0 f 0 … f 0 0 ， f t m! 解：
m L m! L f t
m 1 m2 sm L f t s f 0 s f 0
11
因为t ，f t 0，第一个积分为0
令t u
所以 L f t
f t e dt
st 0
f t e st dt
es F s Re s c
s F s s
n
n L f t
n 1
f 0 s
n2
n-1 f 0 … f 0 . Re s c
特别，当初值f 0 f 0 … f n-1 0 0时有
n n L f t s F s .
此外还可得象函数的积分性质：
若L f t F s f t 1 或 f t tL 则 F u du L s t 此性质的证明有交换秩序的问题:
s
F s ds
8
F u du s
13
2 s k
2ks
2 2
Re s 0
6
同理可得：
d s L t cos kt 2 2 2 2 ds s k s k
s2 k 2
2
Re s 0
拉氏变换详细解读
φ = arctan
1− 1 1−ζ
2
ζ
e−ζωnt sin ωn 1 − ζ 2 t + φ 1−ζ 2
(
18
φ = arctan
2 ωn 2 s ( s2 + 2ζωn s + ωn )
ζ
根据表格直接写出结果
L [δ (t )] = 1, L e
− at
1 L [1(t )] = , s
ω s L [sin ωt ] = 2 , L [ cos ωt ] = 2 2 2 s +ω s +ω
e sinωt →
−at
1 = s+a,
1 L [t ] = 2 s 1 at L e = s−a
s + a ) + ω2 (
2
ω
e cosωt →
−at
s + a ) + ω2 (
3
2
5s3Y (s) + 6s2Y (s) + sY (s) + 2Y (s) = 4sX(s) + X(s) (5s3 + 6s2 + s + 2)Y (s) = (4s + 1) X(s)
Y (s) 4s + 1 = 3 X (s) 5s + 6s2 + s + 2
3.积分定理 积分定理
f (t )dt = 1 F(s) + 1 f (−1) (0+ ) L ∫ s s
2. 部分分式展开法 (利用逆变化的线性原理)
控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式 控制工程中，
B(s) bm sm + bm−1sm−1 + bm−2 sm−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +b1s + b0 F(s) = = A(s) an sn + an−1sn−1 + an−2 sn−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +a1s + a0
7.2 拉氏变换的性质
例7-13 求 L[t sin t ] 解 因为L[sin t ]
p
2 2
,由 式(7 10)可 得
d 2 p L[t si n t ] ( 1) ( 2 ) 2 2 dp p ( p 2 )2
（7-9）
性质7 若L[f(t)] =F(p)，则 （7-10）
L[t f (t )] (1) F ( p)
n n ( n)
性质8
f (t ) m 存 在, 则 若L[f(t)] =F(p) , 且 lt i 0 t
f (t ) L[ ] F ( p)dp p t
（7-11）
证明
L[a1 f1 (t ) a2 f 2 (t )]
0
[a1 f1 (t ) a2 f 2 (t )]e dt
0
pt
a1
0
f1 (t )e dt a2
pt
f 2 (t ) e dt
pt
a1 L[ f1 (t )] a2 L[ f 2 (t )]
L[e f (t )]
at 0
(7-3)
dt F ( p a)
e f (t ) e dt
at pt
0
f (t ) e
( p a ) t
位移性质表明：象原函数乘以 e at 等于 其象函数左右平移︱a︱个单位．
例7-6 求 L[ t eat ] , L[e -at sin ωt] 和Ｌ ［e -at cos ω t］.
pa cost ] . 2 2 ( p a)
性质3(滞后性质)若L［f(t)］=F(p) ，则
L［f(t－a)］=e-apF(p),(a > 0) 证明 L[ f (t a)]
拉氏变换及其性质
L[eat]= L[t]=
1 (p>a) p 公式小结： a
1 p2
2
(p>0)
L[sin ω t]=
ω
2
p +ω p L[cos ω t]= 2 (p>0) p +ω2
(p>0)
在自动控制系统中，经常会遇到下述两个 函数： （1）单位阶梯函数： 0, t < 0
u (t ) = 1, t ≥ 0
∫
∞
g (t )பைடு நூலகம் (t )dt = g (0)
例6
求u(t)的拉氏变换。
例7
求
δ (t ) 的拉氏变换。
1 公式小结： L[u (t )] = p
L[δ (t )] = 1
二
拉氏变换的性质
性质1 （线性性质） L[a1f1(t)+a2f2(t)]=a1L[f1(t)]+a2L[f2(t)] =a1F1(p)+a2F2(p) 例8 换。 求
t < 0
0 ≤ t < a1 a n 1 ≤ t < a n t ≥ an
则
f (t ) = f1 (t )u(t ) + [ f 2 (t ) f1 (t )]u(t a1 ) +
+ [ f n +1 (t ) f n (t )]u (t an )
例4
已知
0, c, f (t ) = 2c, 0,
（分三段讨论）（参考下图）
u(t) 1 1
u(t—a)
O (1) u(t—b) 1
t
O
a (2) f(t)
t
1
O (3)
b
拉氏变换的基本性质
频移性质表明信号在时域中乘以指数函数对应于频域中的平移。
微分性质
微分定理
若$f(t)$的拉氏变换为$F(s)$，则$f'(t)$的拉氏变换为$sF(s)-f(0^-)$。
微分性质的意义
微分性质建立了信号时域微分与频域之间的关系，便于通过拉氏变换求解微分方 程的初值问题。
积分性质
积分定理
拉氏变换的基本性质
目录
• 引言 • 拉氏变换的基本性质 • 拉氏变换的收敛域 • 拉氏反变换 • 拉氏变换在电路分析中的应用 • 拉氏变换在信号处理中的应用
01 引言
拉氏变换的定义
拉氏变换是一种线性积分 变换
它将一个有实数变量t（t≥0）的函数转换为 一个复数变量s的函数。
转换公式
对于实数变量t的函数f(t)，其拉氏变换F(s)定 义为F(s)=∫[0,∞)f(t)e^(-st)dt，其中s为复数
电路分析
在电路分析中，拉氏反变换常用 于将电路的频率响应转换回时域 响应，以便分析电路的动态行为。
控制系统
在控制系统中，拉氏反变换可用于 将控制系统的传递函数转换回时域， 以便分析系统的稳定性和性能。
信号处理
在信号处理中，拉氏反变换可用于 将信号的频谱转换回时域信号，以 便进行信号的重构和分析。
05 拉氏变换在电路分析中的 应用
确定收敛域。
收敛域与函数性质的关系
函数增长性与收敛域
函数增长越快，其拉氏变换的收敛域越小；反之，函数增长越慢， 其收敛域越大。
函数奇偶性与收敛域
对于偶函数，其拉氏变换的收敛域关于实轴对称；对于奇函数，其 收敛域关于原点对称。
函数周期性与收敛域
周期性函数的拉氏变换在相应的周期内收敛，而在其他区域可能发 散。
拉氏变换_精品文档
拉氏变换什么是拉氏变换拉氏变换（Laplace Transform）是一种将函数从时间域转换到复频域的数学工具。
它在工程学科和物理学中有广泛的应用，特别是在控制系统分析和信号处理领域。
拉氏变换通过积分运算将一个函数从时间域（t-domain）变换到频域（s-domain），其中s是一个复变量。
拉氏变换的定义给定一个函数f(t)，其拉氏变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0, ∞] e^(-st) f(t) dt这里，s是复变量，e是自然对数的底数，t表示时间。
拉氏变换的性质拉氏变换具有许多有用的性质，以下是一些常见的性质：1.线性性质：L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)，其中a和b是常数。
2.移位性质：L{f(t - a)} = e^(-as)F(s)，其中a是常数。
3.初值定理：lim_[s→∞] sF(s) = f(0)，其中f(0)是函数f(t)在t=0时的初值。
4.终值定理：lim_[s→0] sF(s) = lim_[t→∞] f(t)，即函数f(t)在t→∞时的极限等于F(s)在s=0时的极限。
这些性质使得拉氏变换成为了解决微分方程问题以及计算复杂电路的有效工具。
拉氏变换的应用1. 信号处理在信号处理领域，拉氏变换用于分析和处理连续时间信号。
通过将信号从时间域转换到频域，可以更好地理解信号的频谱特性，并进行滤波、降噪、调制等处理。
2. 控制系统在控制系统分析中，拉氏变换被广泛用于研究和设计控制系统的性能和稳定性。
通过将控制系统表示为拉氏域的传输函数，可以方便地进行频率响应、稳定性分析和控制器设计。
3. 电路分析在电路分析中，拉氏变换用于求解电路的幅频特性、相频特性和传输函数。
通过将电路中的电压和电流转换到拉氏域，可以更方便地进行复杂电路的分析和计算。
4. 信号传输拉氏变换在信号传输中的应用非常广泛。
信号的拉氏变换可以帮助我们理解信号在传输过程中的衰减、失真和干扰等问题，从而优化信号传输的方案。
十三章拉氏变换
= F (s + α )
例：求 解：
e −α t sin ωt
的象函数
ω ∵ L [sin ωt ] = 2 s + ω2
依频域平移性质： 依频域平移性质：
L e
−α t
ω sin ωt = (s + α )2 + ω 2
13-3 拉氏反变换的部分分式展开 F(s)
拉氏反变换
f(t)
N ( s ) a0 s m + a1s m −1 + ⋅⋅⋅ + am F ( s) = = D ( s ) b0 s n + b1s n −1 + ⋅⋅⋅ + bn
将F(s) 分解 若干简单项之和 将各简单项查表
n≥m
原函数
这种方法称为部分分式展开法，或称为分解定理。 这种方法称为部分分式展开法，或称为分解定理。
L t e
2 −α t
2 = ( s + α )3
（7）频域平移性质 ）
如果
L[ f (t)] = F(s)
那么 L e
∞ −α t − st 0−
−α t
f (t ) = F ( s + α )
∞ 0−
证： L e −α t f (t ) =
∫
f (t )e e dt = ∫ f (t )e − ( s +α )t dt
（2）利用上式结果及导数性质 ）
ω L [ f (t ) ] = 2 s + ω2
cos(ωt ) =
1
ω
(sin ωt )′
f (0− ) = 0
s s2 s d L (cos ωt iε (t )) = s 2 − [ cos ωt iε (t ) ]t =0 = 2 −0 = 2 − s + ω2 s + ω2 s + ω2 dt
Laplace变换
t
设：L[ f ( t )] F ( S ) 当t t 0时，f ( t t 0 ) 0
则：L[ f ( t t 0 ) ( t t 0 )] e st F ( S )
0
证：L[ f ( t t 0 )]
0
0
f ( t t 0 )e st dt
st
0
2 Laplace变换的基本性质
一、线性
若L[ f1 ( t )] F1 ( S ) , L[ f 2 ( t )] F2 ( S )
则 L[af1 (t ) bf2 (t )] aF1 ( S ) bF2 ( S )
证： 0 [af1 ( t ) bf2 ( t )]e dt 0 af1 ( t )e dt 0 bf2 ( t )e dt aF1 ( S ) bF2 ( S )
d 1 1 例1：L[t (t )] ( ) 2 dS S S
d 1 n! ( ) n1 例2：L[t ( t )] ( 1) (n) dS S S
nnຫໍສະໝຸດ (n)例3：L[te
at
d 1 1 ) ] ( 2 dS S a ( S a)
三、积分性质
设：L[ f (t )] F ( S )
拉氏变换存在条件：对于一个函数f(t)，若存在正的有限值 M和c，使得对于所有t 满足：
f ( t ) Me
则f(t)的拉氏变换F(s)总存在。
ct
0 积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换 。 0 0 积分下限从0+ 开始，称为0+ 拉氏变换 。
积分下限从0 开始，可以计及 t=0时 f(t)所包含的冲激 。
4-1拉氏变换定义,性质
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信号与系统—signals and systems
[例3]：求 ② sintu(t)，costu(t)的拉氏变换
解： ② £[ej0tu(t)] 1 ( 0)
s j0
£[ej0tu(t)]
1
s j0
(
0)
£[c o t(u ts ) ]1 2 (s 1 j s 1 j)s2 s 2( 0)
ds
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3．收敛问题
收敛坐标，收敛轴，收敛域
①含义：f (t)et 满足绝对可积的条件，即：
j
为何值，f (t)et 收敛：limf(t)et 0 t
0 0
②定义
i) 的取值范围对应的平面区域称为收敛域 单边拉氏变换，右边
f (t)
0
t
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⑤有界周期函数：
f (t)
0
t
limf(t)et 0(0)，收敛域为 s 右半平面
t
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⑥ t,t2,...,tn,...
§4.1 拉氏变换定义、拉氏变换性质
一、拉氏变换 1．引言
分析步骤：时域-复频域-时域
①赫维赛德 19世纪末算子法，依据拉普拉斯著作，重新定义 ②适用：连续线性时不变系统
③作用：简便变换线性时不变系统时域模型
i)同时给出特解和齐次解，初始条件自动包含在变换式中
ii)微积分 乘除法，微分方程 代数方程 iii)指数、超越 初等函数
拉氏变换定义,性质
拉氏变换的未来发展
理论完善
随着数学和工程领域的发展，拉普拉斯变换的理论体系将不断完 善，为解决更复杂的问题提供更有效的工具。
应用拓展
随着科技的不断进步，拉普拉斯变换的应用领域将不断拓展，例如 在人工智能、机器学习等领域的应用。
数值计算
随着计算机技术的发展，拉普拉斯变换的数值计算方法将更加精确 和高效，为实际应用提供更好的支持。
拉氏变换的定义
定义
拉普拉斯变换是一种将时域函数（通常是无限或有限时间内 的信号或系统响应）转换为复频域函数的方法。通过将时域 函数乘以相应的权函数，然后对结果进行积分，可以得到该 时域函数的拉普拉斯变换。
符号表示
通常使用符号 (L) 表示拉普拉斯变换，例如，如果 (f(t)) 是时 域函数，那么 (F(s)) 就是 (f(t)) 的拉普拉斯变换，其中 (s) 是 复频域变量。
时移性质
时移性质
若 $f(t)$ 是输入信号，$F(s)$ 是它的 拉氏变换，则 $f(t-a)$ 的拉氏变换为 $e^{-sa}F(s)$，其中 $a$ 是时移量。
应用
在系统分析中，时移性质可用于分析 系统的稳定性和动态响应。
频移性质
Hale Waihona Puke 频移性质若 $f(t)$ 是输入信号，$F(s)$ 是它的 拉氏变换，则 $f(at)$ 的拉氏变换为 $frac{1}{|a|}F(frac{s}{a})$，其中 $a$ 是频移量。
拉氏变换定义、性质
目录
• 引言 • 拉氏变换的性质 • 拉氏变换的应用 • 结论
01 引言
拉氏变换的背景和重要性
背景
拉普拉斯变换是18世纪末由法国科学家拉普拉斯提出的一种数学工具，主要用 于解决初值问题，即求解微分方程时，需要给出初始条件的问题。
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15.3 拉普拉斯变换的基本性质
一、线性（linearity）性质
若 ℒ [f1(t)] F1(s) , ℒ [f2(t)] F2(s)
则 ℒ [a f1(t) b f2(t)] aF1(s) bF2(s)
例1
ℒ [ A]
A s
例2
ℒ [ A(1 et )]
1 A(
f(t) ，t [0,)称为原函数（original function），属时 域（time domain）。原函数 f(t ) 用小写字母表示，如 i(t )， u(t )。
F(s) 称为象函数（transform function），属复频域 （complex frequency domain） 。象函数F(s) 用大写字母 表示 ，如 I(s)，U(s)。
n sn1
例 求图示两个函数的拉氏变换式
f1(t)
f2(t)
1 e-t
1 e-t
t
t
0
0
解 由于定义的拉氏变换积分下限是0－，两个
函数的拉氏变换式相同
F(s) 1
s 当取上式的反变换时，只能表示出 t 0 区间的函数式
ℒ 1[ 1 ] e t
s
(t 0)
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本章重
. 点 常用函数的拉普拉斯变换 . 拉普拉斯变换的基本性质 . 复频域中的电路定律 . 运算阻抗和运算导纳 . 拉普拉斯变换法分析电路的动态响应 . 网络函数
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15.1 拉普拉斯变换
一、拉氏变换（Laplace transformation）的定义
正变换
F (s) f (t )estdt 0
s 0
t n est e st dt n n t n1estdt
s
0
s 0
s 0
lim tn
t est 0
ℒ
[tn ]
n s
ℒ
[t n1 ]
当n＝1， ℒ
[t]
1 s2
；
当n＝2，ℒ[t 2 ]
2 s3
；
L
依次类推， 得
ℒ
[tn]
（Laplace transformation）
反变换
f (t) 1
j
F
( s )e st ds
2j j
（inverse Laplace transformation）
f(t)和F(s)是一对拉普拉斯变换（Laplace pairs）对 。
s j称为复频 率 （complex frequency）。
则 ℒ [ f (t t0 ) (t t0 )] est0 F (s)
f(t-t0) (t-t0) 平移 f(t) (t) 不是平移 f(t) (t-t0)
f(t-t0) (t-t0)f(t) (t)f(t) (t-t0)
0 t0
t 0
t
t
0 t0
例1 求图示函数的拉氏变换式
记号 ℒ [f(t)]表示取拉氏变换。
ℒ -1 [F(s)]表示取拉氏反变换。
积分下限从0+ 开始，称为0+ 拉氏变换 。
积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换 。
0+ 拉氏变换和0拉氏变换的区别：
F (s) f (t )estdt 0
0 f (t )estdt f (t )estdt
0
0
当f(t)含有冲激函数项时，此项 0
为了把0- 0+时冲激函数的作用考虑到变换中，以下拉氏变 换定义式中积分下限从 0- 开始。
二、拉氏变换存在条件
当 0 时
lim f (t )et 0
t
则 f (t )et 在
的
0
全
部
范
围
内
收
敛
，
即 0
f (t )et
dt
ℒ
[
dn f dt
(t
n
)
]
snF(s)
n1
s n k 1
k0
f
(k)(0 )
例1
ℒ
[cos t]
ℒ
[1
d dt
(sin
t )]
1
[s
s2
2
sint
0
]
s2
s
2
例2
ℒ [ (t)]
ℒ [ d (t)]
dt
s
1 s
(t
)
0
1
)
s s
例3 ℒ [sint] ℒ [ 1 (ejt e jt )]
2j
1[ 2j s
1
j
s
1
j
]
s2
2
二、原函数的微分（differentiation）
设ℒ [ f (t)] F(s)
则 ℒ [df (t)] sF(s) f (0 )
1
三、原函数的积分（integration）
设ℒ [ f (t)] F(s)
则 ℒ [ t f ( )d ] 1 F(s)
0
s
例
ℒ [t]
t
ℒ [ ( )d ] 0
ℒ [ (t)]
s
1 s2
四、时域平移（time shift）
设ℒ [ f (t)] F(s)
0
1
1
e(sa)t
sa
0
1 sa
s j
3. f (t) (t)
ℒ [ (t)] (t)estdt 0
0
(t)dt = 1 0
4. f (t ) t n
ℒ [tn ]
t nestdt
0
t n dest
f (t )et dt
0
Me( C )tdt
选 C M
C
例 f (t ) e5t，选 5( 0 5)，则e5t et为 衰减 函数，
就可以对f (t )进行拉氏变换。
由于单边拉氏变换的收敛问题较为简单，在下面的讨论 中一般不再写出其收敛范围。
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dt 存 在，
f (t)可 进 行 拉 氏 变 换 。
j
不同的 f (t)，0的值不同，称 0为复平面s内的收敛横坐标。
收敛轴 收敛区
0 0
收敛坐标
电工中常见信号为指数阶函数，即
f (t ) MeCt
t [0, )
式 中M是 正 实 数 ，C为 有 限 实 数 。
0
15.2 常用函数的拉普拉斯变换
1. f (t) (t)
ℒ [ (t)]
(t)estdt 0
0
estdt
0
1 est s
0
1 s
2. f (t ) eat (t )
ℒ [eat ]
ℒ [ejt ]
eatestdt