拉氏变换及其性质

0
0
当f(t)含有冲激函数项时，此项 0
为了把0- 0+时冲激函数的作用考虑到变换中，以下拉氏变 换定义式中积分下限从 0- 开始。
二、拉氏变换存在条件
当 0 时
lim f (t )et 0
t
则 f (t )et 在


的
0
全
部
范
围
内
收
敛
，
即 0
f (t )et
n sn1
例 求图示两个函数的拉氏变换式
f1(t)
f2(t)
1 e-t
1 e-t
t
t
0
0
解 由于定义的拉氏变换积分下限是0－，两个
函数的拉氏变换式相同
F(s) 1
s 当取上式的反变换时，只能表示出 t 0 区间的函数式
ℒ 1[ 1 ] e t
s
(t 0)
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. 点 常用函数的拉普拉斯变换 . 拉普拉斯变换的基本性质 . 复频域中的电路定律 . 运算阻抗和运算导纳 . 拉普拉斯变换法分析电路的动态响应 . 网络函数
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15.1 拉普拉斯变换
一、拉氏变换（Laplace transformation）的定义
正变换
F (s) f (t )estdt 0
（Laplace transformation）
反变换
f (t) 1
j
F
( s )e st ds
2j j
（inverse Laplace transformation）
f(t)和F(s)是一对拉普拉斯变换（Laplace pairs）对 。
s j称为复频 率 （complex frequency）。
15.3 拉普拉斯变换的基本性质
一、线性（linearity）性质
若 ℒ [f1(t)] F1(s) , ℒ [f2(t)] F2(s)
则 ℒ [a f1(t) b f2(t)] aF1(s) bF2(s)
例1
ℒ [ A]
A s
例2
ℒ [ A(1 et )]

1 A(
1
三、原函数的积分（integration）
设ℒ [ f (t)] F(s)
则 ℒ [ t f ( )d ] 1 F(s)
0
s
例
ℒ [t]
t
ℒ [ ( )d ] 0

ℒ [ (t)]
s
1 s2
四、时域平移（time shift）
设ℒ [ f (t)] F(s)
0
1

1

e(sa)t
sa
0
1 sa
s j
3. f (t) (t)
ℒ [ (t)] (t)estdt 0
0
(t)dt = 1 0
4. f (t ) t n
ℒ [tn ]
t nestdt
0
t n dest
s 0
t n est e st dt n n t n1estdt
s
0
s 0
s 0
lim tn
t est 0
ℒ
[tn ]

n s
ℒ
[t n1 ]
当n＝1， ℒ
[t]
1 s2
；
当n＝2，ℒ[t 2 ]
2 s3
；
L
依次类推， 得
ℒ
[tn]

1
)
s s
例3 ℒ [sint] ℒ [ 1 (ejt e jt )]
2j

1[ 2j s
1
j

s
1
jБайду номын сангаас
]

s2
2
二、原函数的微分（differentiation）
设ℒ [ f (t)] F(s)
则 ℒ [df (t)] sF(s) f (0 )
15.2 常用函数的拉普拉斯变换
1. f (t) (t)
ℒ [ (t)]
(t)estdt 0
0
estdt
0
1 est s


0
1 s
2. f (t ) eat (t )
ℒ [eat ]
ℒ [ejt ]
eatestdt
则 ℒ [ f (t t0 ) (t t0 )] est0 F (s)
f(t-t0) (t-t0) 平移 f(t) (t) 不是平移 f(t) (t-t0)
f(t-t0) (t-t0)
f(t) (t)
f(t) (t-t0)
0 t0
t 0
t
t
0 t0
例1 求图示函数的拉氏变换式
记号 ℒ [f(t)]表示取拉氏变换。
ℒ -1 [F(s)]表示取拉氏反变换。
积分下限从0+ 开始，称为0+ 拉氏变换 。
积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换 。
0+ 拉氏变换和0拉氏变换的区别：
F (s) f (t )estdt 0
0 f (t )estdt f (t )estdt
f (t )et dt
0
Me( C )tdt
选 C M
C
例 f (t ) e5t，选 5( 0 5)，则e5t et为 衰减 函数，
就可以对f (t )进行拉氏变换。
由于单边拉氏变换的收敛问题较为简单，在下面的讨论 中一般不再写出其收敛范围。
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dt 存 在，
f (t)可 进 行 拉 氏 变 换 。
j
不同的 f (t)，0的值不同，称 0为复平面s内的收敛横坐标。
收敛轴 收敛区
0 0

收敛坐标
电工中常见信号为指数阶函数，即
f (t ) MeCt
t [0, )
式 中M是 正 实 数 ，C为 有 限 实 数 。
0
f(t) ，t [0,)称为原函数（original function），属时 域（time domain）。原函数 f(t ) 用小写字母表示，如 i(t )， u(t )。
F(s) 称为象函数（transform function），属复频域 （complex frequency domain） 。象函数F(s) 用大写字母 表示 ，如 I(s)，U(s)。
dt
ℒ
[
dn f dt
(t
n
)
]

snF(s)
n1
s n k 1
k0
f
(k)(0 )
例1
ℒ
[cos t]
ℒ
[1

d dt
(sin
t )]

1

[s
s2
2
sint
0
]

s2
s
2
例2
ℒ [ (t)]
ℒ [ d (t)]
dt

s

1 s


(t
)
0