数列求和的七种基本方法

数列求和的七种基本方法

甘志国部分内容(已发表于 数理天地(高中)，2014(11)：14-15)

数列求和是数列问题中的基本题型，但具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点，本文将通过例题(这些例题涵盖了2014年高考卷中的数列求和大题)简单介绍数列求和的七种基本方法.

1 运用公式法

很多数列的前n 项和n S 的求法，就是套等差、等比数列n S 的公式，因此以下常用公式应当熟记：

22

1

231

123(1)2

135(21)12222111111122222

n n

n n n n n n n -++++=

+++++-=++++=-++++=-L L L L

还要记住一些正整数的幂和公式：

2

233332222)1(41

321)12)(1(6

1

321+=++++++=

++++n n n n n n n ΛΛ

例1 已知数列}{n a 的前n 项和232n n S n -=，求数列}{n a 的前n 项和n T . 解 由232n n S n -=,可得n a n 233-=,160≤⇔>n a n ，所以： (1)当16≤n 时,n T =232n n S n -=. (2)当17≥n 时，

512

322)()()(21616161817162121+-=-=--=+++++++=+++=n n S S S S S a a a a a a a a a T n n n n

n ΛΛΛ

所以 2

2

32(1,2,,16)32512

(17,)

n n n

n T n n n n *

⎧-=⎪=⎨-+≥∈⎪⎩N L 且

例2 求1)2(3)1(21⋅++-⋅+-⋅+⋅=n n n n S n Λ.

解 设2

)1()1(k n k k n k a k -+=-+=，本题即求数列}{k a 的前n 项和.

)2)(1(61

)12)(1(61

)1()1(21)321()1)(321(2222++=++-+⋅+=

++++-+++++=n n n n n n n n n n n n S n ΛΛ

高考题1 (2014年高考浙江卷文科第19题(部分))求数列{}21n -的前n 项和n S . 答案：2n S n =.

高考题2 (2014年高考四川卷理科第19题(部分))求数列{}24n -的前n 项和n S . 答案：23n S n n =-.

高考题3 (2014年高考福建卷文科第17题)在等比数列{}n a 中，253,81a a ==.

(1)求n a ； (2)设3log n

n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .

答案：(1)1

3

n n

a -=；(2)22

n n n

S -=.

高考题4 (2014年高考重庆卷文科第16题)已知{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 表示{}n a 的前n 项和.

(1)求n a 及n S ；

(2)设{}n b 是首项为2的等比数列，公比q 满足2

44(1)0q a q S -++=，求{}n b 的通

项公式及其前n 项和n T .

答案：(1)221,n n a n S n =-=；(2)21

2

2,(41)3

n n n n b T -==-.

2 倒序相加法

事实上，等差数列的前n 项和n S 的公式推导方法就是倒序相加法. 例3 求正整数m 与()n m n <之间的分母为3的所有既约分数的和S . 解 显然，这些既约分数为：

3

1,32,34,,34,32,31---+++n n n m m m Λ

有 )31()32()34()34()32()31(-+-+-++++++=n n n m m m S Λ 也有 )3

1

()32()34()34()32()31(++++++-+-+-=m m m n n n S Λ

所以 2

2

2

2

),(2)(2)(2m n S m n m n n m S -=-=-⋅+=

例4 设4()42

x

x f x =+，求和

12320012002200220022002f f f f ⎛⎫⎛⎫

⎛⎫⎛⎫

++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

L . 解 可先证得()(1)1f x f x +-=，由此结论用倒序相加法可求得答案为2001

2

. 3 裂项相消法

例5 若}{n a 是各项均不为0的等差数列，求证：

1

113221111++=+++n n n a a n a a a a a a Λ. 证明 设等差数列}{n a 的公差为d ：若0d =，要证结论显然成立；若0≠d ，得

)11(111

1++-=n n n n a a d a a

1

1111113221132211111)11()11()11(1111+++++=⋅=⎥

⎦⎤⎢⎣⎡-=

⎥⎦⎤⎢

⎣⎡-++-+-=+++n n n n n n n a a n

a a nd d a a d a a a a a a d a a a a a a ΛΛ 例8 证明

222211112(123n n

*++++<∈N L 且2)n ≥. 证明 22221

312111n

++++Λ

11111223(1)11111

11122311112

1n n

n n n <++++

⋅⋅-⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-

+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭

L L

高考题5 (2014年高考全国大纲卷理科第18题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知

110a =，2a 为整数，且4n S S ≤.

(1)求{}n a 的通项公式；