(全国通用)2020版高考数学二轮复习 第二编 专题六 概率与统计 第2讲 统计、统计案例练习 理

第2讲 统计、统计案例

「考情研析」 1.以选择题、填空题的形式考查随机抽样、样本的数字特征、统计图表、回归方程、独立性检验等． 2.概率与统计的交汇问题是高考的热点，以解答题形式出现，难度中等.

核心知识回顾

1.三种抽样方法的特点

简单随机抽样：操作简便、适当，总体个数较少． 分层抽样：按比例抽样． 系统抽样：等距抽样． 2．必记公式

数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的数字特征公式： (1)平均数：x －＝□01x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n

n

.

(2)方差：s 2＝□021n

[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]．

(3)标准差： s ＝□

03 1

n

[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2

].

3．重要性质及结论

(1)频率分布直方图的三个结论

①小长方形的面积＝□

01组距×频率组距＝频率； ②各小长方形的面积之和等于1；

③小长方形的高＝□

02频率组距，所有小长方形高的和为1组距

. (2)回归直线方程：一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )其回归方程y ^

＝□03b ^

x ＋a ^

，其过样本点中心□04(x －，y －)⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫其中b ^

＝

∑i ＝1

n

(x i

－x －)(y i

－y －

)

∑i ＝1

n

x 2i

－n x

－2

，a ^＝y －－b ^

x －. (3)独立性检验

K 2

＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )

(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量)．

热点考向探究

考向1 抽样方法

例1 (1)从编号为001,002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032，则样本中最大的编号应该为( )

A ．480

B ．481

C ．482

D ．483

答案 C

解析 ∵样本中编号最小的两个编号分别为007,032，

∴样本数据组距为32－7＝25，则样本容量为500

25＝20，则对应的号码数x ＝7＋25(n －1)，

当n ＝20时，x 取得最大值，此时x ＝7＋25×19＝482.故选C.

(2)(2019·广州普通高中高三综合测试)某公司生产A ，B ，C 三种不同型号的轿车，产量之比依次为2∶3∶4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，若样本中A 种型号的轿车比B 种型号的轿车少8辆，则n ＝( )

A ．96

B ．72

C ．48

D ．36 答案 B

解析 由题意，得29n －3

9

n ＝－8，∴n ＝72.选B.

系统抽样与分层抽样的求解方法

(1)系统抽样的最基本特征是“等距性”，每组内所抽取的号码需要依据第一组抽取的号码和组距唯一确定．每组抽取样本的号码依次构成一个以第一组抽取的号码m 为首项，组距d 为公差的等差数列{a n }，第k 组抽取样本的号码a k ＝m ＋(k －1)d .

(2)分层抽样的关键是根据样本特征的差异进行分层，实质是等比例抽样，求解此类问题需先求出抽样比——样本容量与总体容量的比，则各层所抽取的样本容量等于该层个体总数与抽样比的乘积．在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样进行．

1．(2019·云南省第二次高三统一检测)某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三年级有学生1500人，现按年级为标准，用分层抽样的方法从这三个年级学生中抽取一个容量为720的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取学生( )

A ．200人

B ．300人

C ．320人

D ．350人

答案 B

解析 由分层抽样可得高三抽取的学生人数为 1500

1200＋900＋1500

×720＝300.故选B.

2．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入[1,450]的人做问卷A ，编号落入[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷B 的人数为________．

答案 10

解析 由题意得系统抽样的抽样间隔为960

32＝30，又因为第一组内抽取的号码为9，则由

451≤9＋30k ≤750(k ∈N *

)，得141115≤k ≤24710

，所以做问卷B 的人数为10.

考向2 用样本估计总体

例2 (1)甲、乙两名学生在5次数学考试中的成绩统计如茎叶图所示，若x －甲，x －

乙分别表示甲、乙两人的平均成绩，则下列结论正确的是( )

A.x －甲>x －

乙，乙比甲稳定 B.x －甲>x －

乙，甲比乙稳定 C.x －甲

乙，乙比甲稳定 D.x －甲

乙，甲比乙稳定 答案 A

解析 因为x －甲＝1

5×(74＋82＋88＋91＋95)＝86，

x －

乙＝15

×(77＋77＋78＋86＋92)＝82，所以x －甲>x －

乙．