变结构控制

变结构控制系统设计
? 能达阶段：系统状态由任意初始位置向滑动模态域运 动，直到进入，此阶段为能达阶段。
? 滑动阶段：系统状态进入滑动模态域并沿其运动，叫 做滑动阶段。S≡0
x(0)
能达阶段
能达阶段
s? ? 0 s?0
x(0)
s?? 0 s?0
滑动阶段
? 滑动模态域设计
当系统满足参数和扰动不变性条件时，滑动模态方程 式可写成：
(6.1 ? 22)
时，滑动模态方程为
x? ? [I ? B(GB) ?1 G]Ax
(6.1 ? 23)
此时等价系统不受扰动 影响
使式(6.1 ? 22)成立的充分条件为
rank [B D] ? rankB
(6.1 ? 24)
— —变结构控制系统的扰 动不变性条件
同样：
变结构控制系统的结构 参数不变性条件
(6.1 ? 3)
它的两种可能的状态反 馈结构为 ? ? ? 和? ? ?? ,? ? 0
该闭环控制系统为
x??? ?x? ? ? x ? 0, ? ? 0
(6.1 ? 4)
当? ? ? 时,系统有一对实部为正的 共轭复根 , 状态轨迹如下图1 :
当? ? ?? 时，系统有正负实根各 一个， ?1和? 2，且?1 ? ? 2 , 状态
百度文库
?
mi (x)sgn(si )
mi (x) ? 0
3. u N ? Φ x,
Φ ? [? ]ij m? n ,
?
ij
?
?? ???
ij ij
, ,
si xj ? 0 si xj ? 0
4. u N ? ? s ? ? 0 s
(6.1 ? 33)
各控制律参数mi , mi (x),? ij , ? ij和?将根据能达条件设计； Lx为控制律u的线性部分 上面描述的变结构控制律都是在si ? 0或s ? 0上不连续的非线性控制律。 在实际中，为了消除系统颤振，将控制律中的非连续因素进行如下修正：
考虑n阶多变量系统状态方程 为：
x? ? Ax? Bu ? DF
(6.1 ? 14)
在n维状态空间里设计 m个切换超平面
si ? g i1x1 ? g i2 x2 ? ? ? g im xn ? 0, i ? 1,2,... 定义它们的交集为系统 的滑动模态域
(6.1 ? 15)
s ? [ s1 s2 ? sm ]T ? Gx ? 0, s ? R m
x? ? [ I ? B0 (GB0 ) ?1 ]A0 x ? Aeq x
(6.1 ? 28)
对于给定的 A0 , B0 ,G能够任意配置系统式 (6.1 ? 28)的极
? 变结构控制律设计
二阶系统最终能达到滑 动模态域的条件是：
ss? ? 0
(6.1 ? 29)
单变量变结构控制系统 的能达条件。
使得 v(t )的外面满足
1 d v2 ? ? v ? 为严格正常数
2 dt
(6.1 ? 11)
满足(6.1 ? 11)即所谓滑动条件，就使 该表面成为一个不变集 。
式(6.1 ? 11)在保持表面为不变集的 同时，能容忍某些干扰 或动态特
性的不确定性。
方程式 (6.1 ? 10)和(6.1 ? 11)的意图在于： 按照(6.1 ? 10)选取一个具有良好特性 的跟踪误差函数 v, 然后选择式 (6.1 ? 8)中的反馈控制律 u, 使得在具有模型不确定 性和干扰下滑动条件式 (6.1 ? 11)得到满足。 由于模型的不精确和存 在干扰，所设计的控制 律在v(t)的两边是 不连续的，这就有一个 使不连续控制律适当平 滑的问题。
变结构模型参考自适应控制
考虑一个单输入单输出 系统
Ap ( p) y(t) ? Bp ( p)u(t)
(6.1 ? 34)
p ? d 为微分算子 dt
n?1
? Ap ( p) ? p n ? a i pi i?1
(6.1 ? 35)
m
? Bp ( p) ? ai pi i?1
(6.1 ? 36)
假定Bp ( p)为古尔维茨多项式，m ? n；已知未知参数的上下限。
rank [B ? AT ] ? rankB
(6.1 ? 25)
A ? A0 ? ? A ? A为A中所有变化对系统特性 内在影响的参数阵， A0为A中的其余参数阵
rank [ B ? A] ? rankB 输入参数不变性条件：
rank [ B0 ? B] ? rankB0
(6.1 ? 26) (6.1 ? 27)
控制规律的构造方法
在滑动模态下，运动方程可写为：
v? ? 0
(6.1 ? 12)
可据此求解出控制输入u，它被称为等效控制ueq ,即当动态特性严格
已知时，保证v? ? 0的连续控制规律。
在几何上，等效控制可构造为
ueq ? au ? ? (1 ? a)u?
(6.1? 13)
? ?菲利波夫方法
不变性条件与鲁棒性
sgn(si ) ? 或者：
si si ? ? i
sgn(si )
?
sgn( si ?i
)
?
???sgns(i ?? ? i
si ,
),
si ? ? i si ? ?i
s? s s s ??
?为引入的微小量
变结构自适应控制
变结构自适应控制
? 变结构调节器 ? 变结构模型跟踪 ? 变结构模型参考自适应控制
0 1? ???
0
? ?
??
? ?
0
0 0?
1
? ?
??? a m0 ? ? ? ? a mn?1 ??
是渐近稳定的
?
?
? ?， ??? ? ，
若xs ? 0， 若xs ? 0
s ? ? ? 2 x ? x?
(6.1 ? 6)
? 情况3:
将第二种情况下的 (6.1 ? 6)描述的切换逻辑改为：
?
?
? ?，
? ?
?
?
，
若xs 若xs
? ?
0 ,s 0
?
gx ?
x?,
0?
g
?
??2
?
??
2
?
? ? ?2
第六章 其它形式的自适应控制系统
其它形式的自适应控制系统
?变结构自适应控制 ?神经网络自适应控制 ?模糊自适应控制 ?鲁棒自适应控制 ?智能自适应控制
变结构控制理论与技术
变结构控制的基本概念
? 情况１：
假设二阶控制系统为
?x?? u, u ? ??x
(6.1 ? 1)
两种状态反馈结构，?
?
?
2 1
轨迹如图 2
x? x
一般情况下，这两种状 态反馈结构的闭环系统 是不稳定的。
而仅当? ? ?? ，且初始状态落在状态 平面中的直线
? ?2x?
x? ?
0, ?2
?
?
?
2
?
? ? ?2
4
(6.1 ? 5)
上时，系统是渐近稳定 的。将两种反馈结构沿 (6.1 ? 5)和
x? ? 0按下述逻辑加以切换组 合，则组合系统的状态 轨迹如图，也
引入滤波变量eF , uF , yF
F ( p)eF (t) ? e(t)
(6.1 ? 42)
F ( p)u F (t) ? u(t)
(6.1 ? 43)
F ( p) yF (t) ? y(t)
(6.1 ? 44)
系统的滤波误差方程为 ：
Am ( p)eF (t) ? [ Ap (t) ? Am ( p)] yF (t) ? [ F ( p) ? Bp ( p)]uF (t) ? w(t)
F ( p)为任意古尔维茨多项式 ；w(t)为待设计的综合信号。
n?1
? F ( p) ? fi p i i? 0
广义误差为
(6.1 ? 39)
e(t) ? ym (t) ? yp (t)
(6.1 ? 40)
经推导可得：
Am ( p)e(t) ? [ Ap (t) ? Am ( p)] yp (t) ? [ F ( p) ? Bp ( p)]u(t) ? F ( p)w(t)
和?
?
?
2 2
定义，且?
2 1
?
?2 2
所形成的闭环系统状态轨迹对应于如图
x?
x?
x
x
将两种状态反馈结构沿 状态平面的坐标轴
按照如下逻辑进行切换 组合
?
?
?? ???
2，
1
22，
xx? ? 0 xx? ? 0
(6.1 ? 2)
则组合系统的状态轨迹 如图，是渐进稳定的。
? 情况2:
x??? ?x? ? u, ? ? 0, u ? ?? x
v( x;t)
?
?? ?
d
d?
?
? ??(n?1)
?
~x, ? 为严格正常数
(6.1 ? 10)
给定初始条件，跟踪问 题x ? xd 就等效于对所有 t ? 0使x保持在 v(t)表面上。称 v(t)面为切换面 ( 滑动面)。
跟踪n维向量xd，可以用关于 v的一阶稳定问题来代替 。简化后的一阶 问题，即保持标量 v为零的问题，可以通过 选择式(6.1 ? 8)的控制律 u,
状态xd ? [ x, x?,? , x(n?1) ]T 。
期望状态的初值xd (0)满足
xd (0) ? x(0)
(6.1 ? 9)
令~x ? x ? xd 为变量x的跟踪误差，
又令~x ? x ? xd ? [ ~x, ~x?,? , ~x (n?1) ]T 为跟踪误差向量
在状态空间R(n)中用标量方程v( x;t)定义一个时变表面v(t)
4
(6.1 ? 7)
组合系统依然渐近稳定 ，其状态轨迹如图
s?0
分析：
? 组合系统是由不同结构的反馈控制按照一定的逻辑切 换变化得到的，切具备原系统不曾有的渐近稳定性， 称这类组合系统为变结构系统(VSS)，或变结构控制系 统(VSCS)
? 变结构本质上是指系统内部的反馈控制器结构（包括 反馈极性和系数）所发生的不连续非线性切变．切变 要遵循一套按系统性能指标要求制定的切换逻辑
推广至多变量变结构控 制系统的能达条件为
si s?i ? 0
i ? 0,1,2,? , m
(6.1? 30)
更具一般的多变量变结 构控制系统能达条件为
d (sT Qs) ? 0, Q ? 0, s ? Rm (6.1 ? 31) dt
取Q ? I m? m ,上式变为
d s 2 ? 0 或 s T s?? 0 dt
? 随着组合方式的不同，即系统反馈结构切换逻辑的不 同，变结构系统将呈现出不同的形式和特征．
? 滑动模态(sliding mode)是变结构系统中的主要概念和特征之 一．
对于一个 n阶系统， x ? Rn是系统的状态向量， ~s 是n维状态里状态域
s(x) ? 0的一个子域。如果对于 每个? ? 0，总有一个 ? ? 0存在，使得 任何源于 ~s 的n维?域的系统运动若要离开 ~s 的n维?域，只能穿越 ~s 边界 的n维?域，那么 ~s 就是一个滑动模态域。 系统在滑动模态上的运 动被
其相应的状态方程为：
?? ? A? ? D ? ? E? ? b w
(6.1? 45)
式中：
? ? [ e F peF ?
p
e n?1 F
]T
? ? [ uF ? ? [ yF
No puF ?
pyF ?
p n ?1u F ]T p n?1 yF ]T
?0 1 0 ?
0?
Image ?
?
0
A? ? ?
参考模型为：
Am ( p) ym (t) ? Bm ( p)r (t)
(6.1 ? 37)
Am ( p)和Bm ( p)分别为m阶和m1阶古尔维茨多项式，且 m1 ? m.
r (t)为分段连续的一致有界输入信号，其控制规律形式为
u(t) ? Bm ( p) r (t) ? w(t) F ( p)
(6.1 ? 38)
(6.1? 32)
式(6.1 ? 29) ~ (6.1 ? 32)是变结构控制律设计必 须满足的基本条件。
目前最常用的变结构控 制律主要有一下四种形 式：
u ? Lx ? u N ? Lx ? [u1N
u
N 2
u
N m
T
]
,
L ? Rm? m
1.
u
N i
?
mi sgn(si )
mi ? 0
2.
u
N i
(6.1 ? 16)
一旦系统状态进入滑动 模态域将只能沿其滑动 面滑动运动，且满足
s ? Gx ? 0 s? ? Gx? ? 0
(6.1 ? 17) (6.1 ? 18)
GAx ? GBu ? GDF ? 0
(6.1 ? 19)
若GB为非奇异，
ueq ? ? (GB)?1G( Ax ? DF )
(6.1 ? 20)
称为滑动运动，这种特 殊运动形式就叫做滑动 模态。
切换面及切换控制律
考虑一个单输入系统：
x(n) ? f (x) ? b(x)u
(6.1 ? 8)
式中，x ? [ x, x?,? , x(n?1) ]T 为状态向量；u为控制输入标量； f (x)为非线
性函数，b( x)为控制增益。
控制问题：
当存在关于f (x)和b(x)的模型不确定性时，使状态x跟踪指定的时变
称为变结构控制系统的 等效控制。物理意义：
若系统初始状态 x(0)在滑动域，即满足 Gx ? 0,则在ueq作用下系统将沿着 滑动模态域运动。
x? ? [I ? B(GB) ?1 G]( Ax? DF )
(6.1 ? 21)
— —滑动模态方程（等价 系统方程）
当
[I ? B(GB)?1G]DF ? 0