2018年全国各地中考数学压轴题汇编：几何综合(湖北专版)(解析版)

2018年全国各地中考数学压轴题汇编（湖北专版）

几何综合

参考答案与试题解析

1．（2018•武汉）如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E，且PA=PB．

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）若∠APC=3∠BPC，求的值．

（1）证明：连接OP、OB．

∵PA是⊙O的切线，

∴PA⊥OA，

∴∠PAO=90°，

∵PA=PB，PO=PO，OA=OB，

∴△PAO≌△PBO．

∴∠PAO=∠PBO=90°，

∴PB⊥OB，

∴PB是⊙O的切线．

（2）设OP交AB于K．

∵AB是直径，

∴∠ABC=90°，

∴AB⊥BC，

∵PA、PB都是切线，

∴PA=PB，∠APO=∠BPO，

∵OA=OB，

∴OP垂直平分线段AB，

∴OK∥BC，

∵AO=OC，

∴AK=BK，

∴BC=2OK，设OK=a，则BC=2a，

∵∠APC=3∠BPC，∠APO=∠OPB，

∴∠OPC=∠BPC=∠PCB，

∴BC=PB=PA=2a，

∵△PAK∽△POA，

∴PA2=PK•PO，设PK=x，

则有：x2+ax﹣4a2=0，

解得x=a（负根已经舍弃），

∴PK=a，

∵PK∥BC，

∴==．

2．（2018•天门）问题：如图①，在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为BC=DC+EC；

探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；

应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=9，CD=3，求AD 的长．

解：（1）BC=DC+EC，

理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE，

∴BD=CE，

∴BC=BD+CD=EC+CD，

故答案为：BC=DC+EC；

（2）BD2+CD2=2AD2，

理由如下：连接CE，

由（1）得，△BAD≌△CAE，

∴BD=CE，∠ACE=∠B，

∴∠DCE=90°，

∴CE2+CD2=ED2，

在Rt△ADE中，AD2+AE2=ED2，又AD=AE，

∴BD2+CD2=2AD2；

（3）作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE，DE，

∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，

即∠BAD=∠CAD′，

在△BAD与△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD=CE=9，

∵∠ADC=45°，∠EDA=45°，

∴∠EDC=90°，

∴DE==6，

∵∠DAE=90°，

∴AD=AE=DE=6．

3．（2018•黄石）如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上五点，⊙O的直径BE=2，∠BCD=120°，A为的中点，延长BA到点P，使BA=AP，连接PE．

（1）求线段BD的长；

（2）求证：直线PE是⊙O的切线．

（1）解：连接DB，如图，

∵∠BCD+∠DEB=180°，

∴∠DEB=180°﹣120°=60°，

∵BE为直径，

∴∠BDE=90°，

在Rt△BDE中，DE=BE=×2=，

BD=DE=×=3；

（2）证明：连接EA，如图，

∵BE为直径，

∴∠BAE=90°，

∵A为的中点，

∴∠ABE=45°，

∵BA=AP，

而EA⊥BA，

∴△BEP为等腰直角三角形，

∴∠PEB=90°，

∴PE⊥BE，

∴直线PE是⊙O的切线．

4．（2018•武汉）在△ABC中，∠ABC=90°．

（1）如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM∽△BCN；

（2）如图2，P是边BC上一点，∠BAP=∠C，tan∠PAC=，求tanC的值；

（3）如图3，D是边CA延长线上一点，AE=AB，∠DEB=90°，sin∠BAC=，，直接写出tan∠CEB的值．

解：（1）∵AM⊥MN，CN⊥MN，

∴∠AMB=∠BNC=90°，

∴∠BAM+∠ABM=90°，

∵∠ABC=90°，

∴∠ABM+∠CBN=90°，

∴∠BAM=∠CBN，

∵∠AMB=∠NBC，

∴△ABM∽△BCN；

（2）如图2，

过点P作PF⊥AP交AC于F，

在Rt△AFP中，tan∠PAC===，

同（1）的方法得，△ABP∽△PQF，

∴=，

设AB=a，PQ=2a，BP=b，FQ=2b（a＞0，b＞0），

∵∠BAP=∠C，∠B=∠CQF=90°，

∴△ABP∽△CQF，

∴，∴CQ==2a，

∵BC=BP+PQ+CQ=b+2a+2a=4a+b

∵∠BAP=∠C，∠B=∠B=90°，

∴△ABP∽△CBA，

∴=，

∴BC===，

∴4a+b=，a=b，

∴BC=4×b+b=5b，AB=a=5b，

在Rt△ABC中，tanC==；

（3）在Rt△ABC中，sin∠BAC==，

过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，∵∠DEB=90°，

∴CH∥AG∥DE，

∴=

同（1）的方法得，△ABG∽△BCH

∴，