第二章 解析函数.ppt

因此，由实变二元函数的可微性定义知，u(x,y)，v(x,y)在点(x,y)可微，并且有
u x

a,
u y

b,
v x

b,
v y

a
因此，柯西-黎曼方程成立。
（充分性）设u(x,y)，v(x,y)在点(x,y)可微，并且有柯西-黎曼方程成立：
u v u
v
x y y
f (z z) f (z) z o(| z |) (a ib)(x iy) o(| z |)
令 a ib ，则有
lim f (z z) f (z) lim ( o(| z |))
z0
z
z0
z
所以，f z 在点 z x iy D 可微的。
证明：（略）
注4：若 f z可导，则 f ' z ux ivx vy iuy
注5：C –R方程是可微的必要条件，而非充分条件。（P53,例2.6）
定理2（可微的充要条件）：若 f z ux, y ivx, y在 z x iy 处可微
u, v 在 x, y 可微且满足C –R方程。
cos z
sin z
cos z
sin z
注5：规定：sinh
z

ez
ez 2
, cosh
z

ez
ez 2
,
tanh
z

sinh cosh
z z
coth z cosh z ,sec hz 1 , csc hz 1
sinh z
cosh z
sinh z
注6：由定义2有：eiz cos z i sin z（Euler公式推广）
推论（可微的充分条件）：设 f z ux, y ivx, y 在 z x iy处满足
1) ux , uy , vx , vy 在 x, y连续 2) u,v在x, y满足C –R方程。 则 f z ux, y ivx, y在 z x iy 处可微
所以
z

wn 把w
复变函数论
主讲：王明华
第二章 解析函数
§1：解析函数的概念与C-R方程
1、复变函数的导数与微分 2、Cauchy-Rieman方程 3、解析函数概念 4、解析函数简单性质
§2：初等解析函数
1、指数函数 2、三角函数与双曲函数
§3：初等多值函数
1、根式函数 2、对数函数 3、一般幂函数与一般指数函数 4、反三角函数 5、具有多个有限支点的情形
例：求 sin1 2i的值 。
解：
sin 1 2i ei12i ei12i e2i e2i e2 cos1 i sin1 e2 cos1 i sin1
2i
2i
2i
e2 e2 sin1 i e2 e2 cos1 cosh 2sin1 i sinh 2 cos1
§1 解析函数的概念与C-R方程
1、复变函数的导数与微分
定义1：设 w f (z)是在区域D内确定的单值函数，并且，z0 D。如果极限
lim
zz0 ,zD
f
(z) z
f (z0) z0
存在，为复数a，则称
f
(z) 在z0
处可导或可微，极限
a称为 f
(z)
z 在
0
处的导数（微商），记作
定理4：（复合求导法则）：设 f (z) 在z平面上的区域D内解析，w F( )
在 平面上的区域D1内解析，而且当 z D 时， f (z) D1，那么复合 函数w F[ f (z)]在D内解析，并且有
dF[ f (z)] dF ( ) df (z)
dz
d dz
2
2
§3 初等多值函数
I．预备知识
定义1：设 w f z, z D。若 z1, z2 D, z1 z2 ，有 f z1 f z2 。则称
w f z 在D内是单叶的，D称为 f z 的单叶性区域。若z1, z2 D, z1 z2， 但 f z1 f z2 ，则称 w f z 在D内是多叶的。
2）w n z ：w n
zn
i arg z2k
ze n ,
k 0,1,
n 1 在z平面多值（n值）；
（每一 z 0，对应于w 平面上的n个点，分布在原点为心的正n角形顶点上）；
3）z wn ：令 z rei , w ei，则 r n, n （见课本P45）
f
'(z0 )，或
dw dz
z z0
或
df 。
dz zz0
注1： z z0 的方式是任意的
注2： 若 w f (z) 在z处可导，则 f ' zdz 为w f (z) 在z处的微分。记为 dw,df z 即 dw df z f ' zdz 。
注3： w f (z)在z处可微 w f (z)在z处连续，但反之不成立。
x
a, b, 设
u x
v x
则由可微性的定义，有：
u(x x, y y) u(x, y) ax by o(| z |) v(x x, y y) v(x, y) bx ay o(| z |) 令z x iy，当 z z D (z 0) 时，有
则 f z 在区域D内解析。
例4：讨论下列函数的解析性
1）P(z) a0 a1z ... anzn an 0
2）
P(z)
Qz

a0 b0
a1z ... an zn b1z ... bmzm
an

0, bm

0
3） f z ex cos y i sin y
例3：证明 xy 在 z 0满足C –R方程，但不可微。 证明：（略）
3、解析函数概念
定义3：若 w f (z) 在区域D内可微，则称 f z为区域D内的解析函数，或称 f z
在区域D内解析。 注6：解析函数与相伴区域密切联系的。
定义4：若 w f (z)在 z0 的某领域内解析，则称 f z在 z0 解析。
（分母不为零）也在区域D内解析，且有
( f (z) g(z))' f '(z) g'(z)
[ f (z)g(z)]' f '(z)g(z) f (z)g'(z)
' f (z) g(z)
f '( z ) g ( z ) f ( z ) g '( z ) [ g ( z )]2
1.2 性质
1） ez 0; ez ex , arg ez y
2） ez在全平面解析，且ez ' ez
3）
加法定理成立即 ez1z2
ez1ez2
，e z1 z2

e z1 e z2
4） ez是以 2 i 为周期的周期函数
5）
lim
z
e
z
不存在。
注1：定义中令 x 0 得到欧拉公式：eiy cos y i sin y
II．要求掌握 1）、多叶函数与多值函数的关系 2）、函数产生多值的原因 3）、如何从多值函数分出单值分支
1、根式函数 根式函数 w n z为幂函数的 z wn 的反函数。
1.1 幂函数的影射性质及单叶性区域
1） z wn ：在w 平面单值解析，把扩充 w 平面变成扩充z平面，是多叶的；
eiy

cos
y

i sin
， y eiy

cos
y
i sin
y，所以
sin
y

eiy
eiy 2i
,
cos z eiy eiy 。
2
2.2来自百度文库性质
1）、 sin z，cos z 在全平面解析，且有 sin z' cos z，cos z' sin z；
2）、 sin z 为奇函数，cos z 为偶函数。且遵从三角恒等式；
注2： ez1 ez2 z1 z2 2ki;k 1, 2
2、三角函数与双曲函数
2.1 定义 定义2：对复数 z x iy，如下定义正弦函数sin z 、余弦函数 cos z
sin z eiz eiz , cos z eiz eiz
2i
2
注3：合理性：因为
ux, y,vx, y 在D内为常数，故 f z 为常数。
例6：若 f z在区域D内解析且非常数，则 f z 在D内不解析。 证明：（略）。
§2 初等解析函数
1、指数函数 1.1 定义
定义：对复数 z x iy，如下定义指数函数ez：ez ex cos y isin y
证明：（必要性）设 f (z) 在z x iy D 有导数 a ib，根据导数的定义，当 z z D 时（z 0）
f (z z) f (z) z o(| z |) (a ib)(x iy) o(| z |)
其中，z x iy 。比较上式的实部与虚部，得 u(x x, y y) u(x, y) ax by o(| z |) v(x x, y y) v(x, y) bx ay o(| z |)
4） f z x2 iy
注9：判别函数解析的方法 1）定义；2）运算法则；3）C –R条件
例5：若f ' z 0, z D ，则 f z c常数
证明：因为f ' z ux ivx vy iuy ，所以 ux uy 0, vx vy 0 ，从而
z
z
x iy
由于
lim
z0
f z
y 0
1, lim f z0 z
x0
0 ，故
lim f z0 z
不存在，从而 f
z Re z 在 z 平面处处不可微。
例2：证明w zn n

在 z 平面可微，且 dz n
dz

nz n1
。
证明：（略）
在复变函数中，处处连续但处处不可微的函数是随手可得，而实函数则不然。
定义2：若 w f (z) 在D内处处可微，则 w f (z) 在D内可微。
例1：讨论 f z Re z 在z平面的连续性与可微性。
解：显然 f z Re z x 在 z 平面处处连续。但是
f f z z f z x
3）、 sin z，cos z 以2 为周期；
4）、 sin z 以 z n,n 0,1

为零点，cos
z
以
z

n

2
,

n

0,
1
为零点。
5）、 sin z ，cos z 可大于1，且可趋于无穷大（分析中 sin x 1 cos x 1）
注4：规定：tan z sin z ;cot z cos z ,sec z 1 ,csc z 1
定理5：设函数 f z ux, y ivx, y 在区域D内解析 u, v在D内可微，且 u, v 满足C-R方程。
推论：若f z ux, y ivx, y在区域D内满足 1） ux,uy ,vx,vy 在区域D内连续； 2） u, v在区域D内满足C –R方程。
注7：函数在区域内解析与可微等价，而在一点解析要比在一点可微强的多。
注8： f z在闭区域 D上解析是指 f z在包含D的某区域解析。
定义5：若 f z 在 z0 不解析，但在z0 的任一领域内总有 f z 的解析点，则
z0 为 f z的奇点。
4、解析函数简单性质
定理3：若 f z, g z 在区域D内解析，则 f (z) g(z), f (z)g(z), f (z) / g(z)
2、Cauchy-Rieman方程
定理1（可微的必要条件）：若 f z ux, y ivx, y在 z x iy处可微，则 1） ux , uy , vx , vy 在 x, y 存在 2） u, v 在 x, y 满足：ux vy ,uy vx ——Cauchy-Rieman方程