新定义问题-中考数学难题突破训练

难题突破专题三 新定义问题
所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型．“新定义”型问题成为近 年来中考数学压轴题的新亮点．在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力．
解决“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其解决问题的思想方法；二是根据问题情境的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．
类型1 新法则、新运算型
1 [2017·枣庄] 我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n ＝p ×q (p ，q 是正整数，且p ≤q )．在
n 的所有这种分解中，如果p ，q 两因数之差的绝对值最小，我们就称p ×q 是n 的最佳分解．并规定：F (n )＝p q
.
例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1＞6－2＞4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F (12)＝34.
(1)如果一个正整数m 是另外一个正整数n 的平方，我们称正整数m 是完全平方数，求证：对任意一个完全平方数
m ，总有F (m )＝1；
(2)如果一个两位正整数t ，t ＝10x ＋y (1≤x ≤y ≤9，x ，y 为自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t 为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；
(3)在(2)所得的“吉祥数”中，求F (t )的最大值． 例题分层分析
(1)对任意一个完全平方数m ，设m ＝n 2
(n 为正整数)，找出m 的最佳分解为________，所以F (m )＝________＝________；
(2)设交换t 的个位上的数与十位上的数得到的新数为t ′，则t ′＝________，根据“吉祥数”的定义确定出x 与y 的关系式为________，进而求出所求即可；
(3)利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F (t )的最大值即可．
解题方法点析
此类问题在于读懂新定义，然后仿照范例进行运算，细心研读定义，细致观察范例是解题的关键． 类型2 新定义几何概念型
2 [2017·金华] 如图Z 3－1，将△ABC 纸片沿中位线EH 折叠，使点A 的对称点D 落在BC 边上，再将纸片分别
沿等腰△BED 和等腰△DHC 的底边上的高线EF ，HG 折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形．类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．
图Z 3－1
(1)将▱ABCD 纸片按图Z 3－2①的方式折叠成一个叠合矩形AEFG ，则操作形成的折痕分别是线段________，________；S 矩形AEFG ∶S ▱ABCD ＝________．
(2)▱ABCD 纸片还可以按图Z 3－2②的方式折叠成一个叠合矩形EFGH ，若EF ＝5，EH ＝12，求AD 的长．
(3)如图Z 3－2③，四边形ABCD 纸片满足AD ∥BC ，AD <BC ，AB ⊥BC ，AB ＝8，CD ＝10.小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．．．
．请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD ，BC 的长．
图Z 3－2
例题分层分析
(1)观察图形直接得到操作形成的折痕，根据矩形和平行四边形的面积公式与折叠的轴对称性质可得S 矩形AEFG ∶S ▱ABCD
＝________；
(2)由矩形的性质和勾股定理可求得FH ＝________，
再由折叠的轴对称性质可知HD ＝________，FC ＝______，∠AHE ＝12______，∠CFG ＝1
2________，从而可得∠________
＝∠________，再证得△AEH ≌△CGF ，可得________，进而求得AD 的长；
(3)根据叠合矩形定义，画出叠合正方形，然后再求AD ，BC 的长．
解题方法点析
解决此类问题的关键在于仔细研读几何新概念，将新的几何问题转化为已知的三角形、四边形或圆的问题，从而解决问题．对于几何新概念弄清楚条件和结论是至关重要的．
专 题 训 练
1．[2017·潍坊] 定义[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.4]＝－2，[－3]＝－3.函数y ＝[x ]的图象如图Z 3－3所示，则方程[x ]＝12
x 2
的解为( )
图Z 3－3
A ．0或 2
B ．0或2
C ．1或－ 2
D .2或－ 2
2．[2017·莱芜] 对于实数a ，b ，定义符号min{a ，b }，其意义为：当a ≥b 时，min{a ，b }＝b ：当a ＜b 时，min{a ，
b }＝a .例如min{2，－1}＝－1.若关于x 的函数y ＝min{2x －1，－x ＋3}，则该函数的最大值为( )
A.23 B ．1 C.43 D .53
3．[2017·成都] 在平面直角坐标系xOy 中，对于不在坐标轴上的任意一点P (x ，y )，我们把点P ′(1x ，1
y
)称为点
P 的“倒影点”．直线y ＝－x ＋1上有两点A ，B ，它们的倒影点A ′，B ′均在反比例函数y ＝k
x
的图象上．若AB ＝2 2，
则k ＝________．
4．[2017·齐齐哈尔] 经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图Z 3－4，线段CD 是△ABC 的“和谐分割线”，△ACD 为等腰三角形，△CBD 和△ABC 相似，∠A ＝46°，则∠ACB 的度数为________．
图Z 3－4
5．[2017·湖州] 对于任意实数a ，b ，定义关于“⊗”的一种运算如下：a ⊗b ＝2a －b .例如：5⊗2＝2×5－2＝8，(－3)⊗4＝2×(－3)－4＝－10.
(1)若3⊗x ＝－2011，求x 的值； (2)若x ⊗3<5，求x 的取值范围．
6．[2017·义乌] 定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形． (1)如图Z 3－5①，等腰直角四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝90°. ①若AB ＝CD ＝1，AB ∥CD ，求对角线BD 的长． ②若AC ⊥BD ，求证：AD ＝CD .
(2)如图Z 3－5②，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝9，点P 是对角线BD 上一点，且BP ＝2PD ，过点P 作直线分别交边AD ，BC 于点E ，F ，使四边形ABFE 是等腰直角四边形．求AE 的长．
图Z 3－5
7．[2017·宁波] 有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．
(1)如图Z 3－6①，在半对角四边形ABCD 中，∠B ＝12∠D ，∠C ＝1
2
∠A ，求∠B 与∠C 的度数之和；
(2)如图Z 3－6②，锐角三角形ABC 内接于⊙O ，若边AB 上存在一点D ，使得BD ＝BO ，∠OBA 的平分线交OA 于点E ，连结DE 并延长交AC 于点F ，∠AFE ＝2∠EAF ，求证：四边形DBCF 是半对角四边形；
(3)如图Z 3－6③，在(2)的条件下，过点D 作DG ⊥OB 于点H ，交BC 于点G ，当DH ＝BG 时，求△BGH 与△ABC 的面积之比．
图Z 3－6
参考答案
类型1 新法则、新运算型 例1 【例题分层分析】 (1)m ＝n ×n n
n 1
(2)10y ＋x y ＝x ＋4
解：(1)证明：对任意一个完全平方数m ， 设m ＝n 2
(n 为正整数)，
∵|n －n |＝0，∴n ×n 是m 的最佳分解，
∴对任意一个完全平方数m ，总有F (m )＝n
n
＝1.
(2)设交换t 的个位上的数与十位上的数得到的新数为t ′，则t ′＝10y ＋x ， ∵t 是“吉祥数”，
∴t ′－t ＝(10y ＋x )－(10x ＋y )＝9(y －x )＝36， ∴y ＝x ＋4，
∵1≤x ≤y ≤9，x ，y 为自然数，
∴满足“吉祥数”的为15，26，37，48，59.
(3)F (15)＝35，F (26)＝213，F (37)＝137，F (48)＝68＝34，F (59)＝159.∵34>35>213>137>1
59，
∴所有“吉祥数”中，F (t )的最大值是3
4.
类型2 新定义几何概念型 例2 【例题分层分析】 (1)1∶2
(2)13 HN FN ∠AHF ∠CFH AHE CFG FC ＝AH 解：(1)AE ，GF ；1∶2.
提示：由折叠的性质，得AD ＝2AG . ∵S 矩形AEFG ＝AE ·AG ，S ▱ABCD ＝AE ·AD ， ∴S 矩形AEFG ∶S ▱ABCD ＝AE·AG
AE·AD
＝1∶2.
(2)∵四边形EFGH 是叠合矩形，∴∠FEH ＝90°， ∴FH ＝EF 2
＋EH 2
＝52
＋122
＝13.
由折叠的性质可知，HD ＝HN ，FC ＝FN ，∠AHE ＝12∠AHF ，∠CFG ＝1
2∠CFH .
∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，∠A ＝∠C ，
∴∠AHF ＝∠CFH ，∴∠AHE ＝∠CFG . ∵EH ＝FG ，∴△AEH ≌△CGF ，∴FC ＝AH ， ∴AD ＝AH ＋HD ＝FC ＋HN ＝FN ＋HN ＝FH ＝13. (3)本题有以下两种基本折法，如图①，图②.
①按图①的折法的解法：
由折叠的性质可知，AD ＝BF ，BE ＝AE ＝4，CH ＝DH ＝5，FG ＝CG . ∵四边形EBGH 是叠合正方形，∴HG ＝BG ＝4， ∴CG ＝3，∴FG ＝CG ＝3，
∴BF ＝BG －FG ＝1，BC ＝BG ＋CG ＝4＋3＝7， ∴AD ＝1，BC ＝7. ②按图②的折法的解法： 设AD ＝x .
由折叠的性质可知，AE ＝EM ＝BE ＝4，MH ＝AD ＝x ，DN ＝HN ，HG ＝CG ，FC ＝FH . 由DN ＝HN ，HG ＝CG ，则GN ＝1
2CD ＝5.
∵四边形EFGN 是叠合正方形， ∴EF ＝FG ＝GN ＝5，∴MF ＝BF ＝3， ∴FC ＝FH ＝x ＋3.
∵∠B ＝∠EFG ＝∠CGF ＝90°，
∴∠BEF ＋∠BFE ＝∠BFE ＋∠CFG ＝90°， ∴∠BEF ＝∠CFG ，∴△GFC ∽△BEF ， ∴FG BE ＝FC EF ，即54＝x ＋35，解得x ＝134， ∴AD ＝134，BC ＝BF ＋FC ＝3＋134＋3＝374.
专题训练
1．A [解析] 由函数图象可知，当－2≤x ＜－1时，y ＝－2，即有[x ]＝－2，此时方程无解；当－1≤x ＜0时，y ＝－1，即有[x ]＝－1，此时方程无解；当0≤x ＜1时，y ＝0，即有[x ]＝0，此时方程为0＝12x 2
，解得x ＝0；当1≤x
＜2时，y ＝1，即有[x ]＝1，此时方程为1＝12x 2
，解得x ＝2或x ＝－2(不在x 的取值范围内，舍去)．综上可知，
方程[x ]＝12
x 2
的解为0或 2.
2．D [解析] 当2x －1≥－x ＋3时，x ≥43，y ＝min {2x －1，－x ＋3}＝－x ＋3，最大值为5
3.
当2x －1<－x ＋3时，x <43，y ＝min {2x －1，－x ＋3}＝2x －1，y 的值都小于5
3.
综上，该函数的最大值为5
3
.
3．－4
3 [解析] A ，B 两点在直线y ＝－x ＋1上，设A (a ，－a ＋1)，B (b ，－b ＋1)，
∴AB 2
＝(a －b )2
＋(－a ＋1＋b －1)2
＝2(a －b )2
＝(2 2)2
，∴(a －b )2
＝4，∴a －b ＝±2.
A ，
B 两点的“倒影点”分别为A ′(1a ，
11－a )，B ′(1b ，11－b
)．
∵点A ′，B ′均在反比例函数y ＝k x 的图象上，∴1a ·11－a ＝k ＝1b ·1
1－b ，∴a (1－a )＝b (1－b )，变形得(a －b )(1
－a －b )＝0，∵a －b ＝±2，∴1－a －b ＝0.
由⎩
⎪⎨⎪⎧a －b ＝2，1－a －b ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3
2，b ＝－12，
∴k ＝1a ·11－a ＝23×(－2)＝－4
3；
由⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－2，1－a －b ＝0
解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝32，∴k ＝1a ·11－a ＝(－2)×23＝－4
3.
综上，k ＝－4
3
.
4．113°或92° [解析] ∵△CBD 和△ABC 相似， ∴∠BCD ＝∠A ＝46°.
设∠ACB ＝x ，则∠ACD ＝x －46°.
∵△ACD 是等腰三角形，又∠ADC ＞∠BCD ，∴∠ADC ＞∠A ，即AC ≠CD . ①若AC ＝AD ，则∠ACD ＝∠ADC ＝x －46°， ∵46°＋x －46°＋x －46°＝180°， ∴x ＝113°.
②若AD ＝CD ，则∠ACD ＝∠A ， 即46°＝x －46°， ∴x ＝92°.
综上所述，∠ACB 的度数为113°或92°. 5．解：(1)根据题意，得2×3－x ＝－2011， 解这个方程，得x ＝2017. (2)根据题意，得2x －3＜5， 解得x ＜4，
即x 的取值范围是x ＜4.
6．解：(1)①∵AB ＝CD ＝1且AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形， 又∵AB ＝BC ，∴四边形ABCD 是菱形． ∵∠ABC ＝90°，∴四边形ABCD 是正方形， ∴BD ＝AC ＝12
＋12
＝ 2. ②证明：如图①中，连结AC ，BD . ∵AB ＝BC ，AC ⊥BD ，∴∠ABD ＝∠CBD ， ∵BD ＝BD ，∴△ABD ≌△CBD ，∴AD ＝CD .
(2)若EF ⊥BC ，则AE ≠EF ，BF ≠EF ，∴四边形ABFE 不表示等腰直角四边形，故不符合条件． 若EF 与BC 不垂直，①当AE ＝AB 时，如图②，此时四边形ABFE 是等腰直角四边形，∴AE ＝AB ＝5.
②当BF ＝AB 时，如图③，此时四边形ABFE 是等腰直角四边形，∴BF ＝AB ＝5，∵DE ∥BF ，BP ＝2PD ，∴BF ∶DE ＝2∶1，∴DE ＝2.5，∴AE ＝9－2.5＝6.5.
综上所述，满足条件的AE 的长为5或6.5.
7．解：(1)在半对角四边形ABCD 中，∠B ＝12∠D ，∠C ＝1
2∠A ，
∵∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝360°，
∴3∠B ＋3∠C ＝360°，∴∠B ＋∠C ＝120°， 即∠B 与∠C 的度数之和为120°. (2)证明：在△BED 和△BEO 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧BD ＝BO ，∠EBD ＝∠EBO，BE ＝BE ，
∴△BED ≌△BEO (SAS )， ∴∠BDE ＝∠BOE .
又∵∠BCF ＝12∠BOE ，∴∠BCF ＝1
2∠BDE .
如图，连结OC ，设∠EAF ＝α，则∠AFE ＝2α，
∴∠EFC ＝180°－∠AFE ＝180°－2α. ∵OA ＝OC ，
∴∠OAC ＝∠OCA ＝α， ∴∠AOC ＝180°－2α， ∴∠ABC ＝12∠AOC ＝1
2∠EFC ，
∴四边形DBCF 是半对角四边形． (3)如图，作OM ⊥BC 交BC 于点M . ∵四边形DBCF 是半对角四边形，
∴∠ABC ＋∠ACB ＝120°，∴∠BAC ＝60°，
∴∠BOC ＝2∠BAC ＝120°. ∵OB ＝OC ，
∴∠OBC ＝∠OCB ＝30°， ∴BC ＝2BM ＝3BO ＝3BD . ∵DG ⊥OB ，
∴∠HGB ＝∠BAC ＝60°.
∵∠DBG ＝∠CBA ，∴△DBG ∽△CBA ， ∴△DBG的面积△ABC的面积＝(BD BC )2＝13. ∵DH ＝BG ，BG ＝2HG ， ∴DG ＝3HG ， ∴△BHG的面积△BDG的面积＝13， ∴△BHG的面积△ABC的面积＝19.。