人教版八年级(上册)等腰三角形的性质教学内容
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人教版八年级(上册)等腰三角形 的性质
14.3.1 等腰三角形
A
B
C
自学目标:
请同学们阅读教材第36页----第38页,试解决以下 问题:
1.用一张长方形纸片(长方形的大小和形状 可以不一样)，你能制作出一个等腰三角形 吗?
2.等腰三角形的性质1的内容是什么?你能 证明吗?
3.等腰三角形的性质2的内容又是什么呢?你 能正确认识吗?
A
用符号语言表示为：
在△ABC中
（1）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠_1__=∠_2__，B__Ｄ__=_C_D__； （2）∵AB=AC，AD是中线，
B
∴∠＿1 =∠＿2 ，_A_D__⊥_B_C__；
（3）∵AB=AC，AD是角平分线，
∴_A__D_⊥_B__C_，B__Ｄ__=_C_Ｄ__。
12 DC
A
证明: 作顶角的平分线AD，
则有∠1＝∠2
12
在△ABD和△ACD中
AB＝AC ∠1＝∠2
BD C
AD＝AD （公共边）
∴ △ABD≌ △ACD （SAS）
∴ ∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）
等腰三角形的性质1：
A
等腰三角形的两个底角相等
（简写成“等边对等角”）
注意： 在 一个 三角形中,等边对B 等角。C
A
B D
c
请同学们观察下面的动画：
A
B
D
c
请同学们观察下面的动画：
A
B C
D
重合的线段
AB＝AC BD＝CD AD＝AD
重合的角
∠B ＝ ∠C. ∠BAD ＝ ∠CAD
∠ADB ＝ ∠ADC B
A
D
C
大胆猜想
等腰三角形除了两腰相等以外, 你还能发现它的其他性质吗?
猜想与论证
猜想 等腰三角形的两个底角相等。
A
(等腰三角形三线合一)
∵AB=AC，BD=CD（已知）
∴∠BAD=∠CAD，
AD⊥BC（三线合一）
B
D
C
∵AB=AC，∠BAD=∠CAD （已知）
∴ BD=CD ，AD⊥BC（三线合一）
∵AB=AC， AD⊥BC （已知） ∴ BD=CD ，∠BAD=∠CAD （三线合一）
等腰三角形性质二：
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 底边上的高相互重合（三线合一）
(2)等腰△ABC的一条边长为3,另一条边长 为7， 其周长为_1_7__。
A D
12 3 BC
教学流程
例２：如图，桥梁支架与桥面形成的△ABC
中，AB＝AC ， AC上有一点D，测得BD＝BC
＝AD，求△ABC 中∠A 的度数.
解：∵ AB = AC，BD=BC=AD ∴ ∠A BC= ∠C= ∠BDC
(1)猜想一下：点D到两腰的距离DE与DF相 A
等吗？
（2）如果DE、DF分别是AB、AC上的中
线或∠ADB、 ∠ ADC的平分线，它们还相E`
F`
等吗？
D′
（3）如果将点D沿DA由D向A运动到D′ E
F
那么点D′到两腰的距离还相等吗？试说 B D C
明理由．
你能将自己在本节课的收获和同学们共
同分享吗？ 等腰三角形
用符号语言表示为：
在△ABC中， ∵ AC=AB（已知） ∴ ∠B=∠C (等边对等角）
想一想:
刚才的证明除了能得到∠B＝∠C 你还能发现什么?
A
重合的线段
重合的角
AB＝AC BD＝CD AD＝AD
∠B ＝ ∠C.
ຫໍສະໝຸດ Baidu
∠BAD ＝ ∠CAD
B
∠ADB ＝∠ADC =90°
D
C
是真是假
性质等2 腰等三腰角三形的角顶形角的平顶分角线的与平底边分上线的、中底线边，上底 边上的高的互相中重线合、底边上的高互相重合。
4.你会运用等腰三角形的性质吗?
做一做：
问题1:用一张长方形纸片，每个人的长方形 的大小和形状可以不一样，你能制作出一个 等腰三角形吗?
探索: 你发现了什么?
1、等腰三角形是轴对称图形。 2、等腰三角形的顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
动手做一做
看一看 △ABC有什么特点?
C
A
D
B
问题 ：你知道什么样的三角形是等腰三角形吗？
性质1：等边对等角
常用来证明两角 相等，求等腰三 角形各角的度 数．
等腰三角形性质的应用
A
例1.如图,在△ ABC中, AB = AC
∠ A = 50° 求∠ B , ∠ C的度数
解 在△ ABC中
B
C
∵ AB = AC
∴ ∠ B= ∠C (等边对等角)
∵ ∠A+∠B+∠C=180°，∠Ａ=50°
∴ ∠B=∠C=1/2（180°- ∠A） = 1/2 （180°- 50°）=65°
相信你是最棒的！
• 变式练习1、已知：等腰三角形的一个角是 110 °，则该三角形另外两个角分别是____ 3_5__和_ 35 °
• 变式练习2、已知：等腰三角形的一个内角 为50 °，则另外两个角的度数分别是____
50 ° 、80 °或65 ° 、65 °
(1)等腰△ABC的一条边长为3,另一条边长 为5，其周长为1__1__或___1。3
已知：△ABC中，AB=AC
A
求证：∠B=C
分析：1.如何证明两个角相等？
2.如何构造两个全等的
B
C 三角形？
D
探究：已知AB=AC怎样证明∠B = ∠C ？
A
A
A
12
B D CB D CB D C
1、作顶角的平 分线AD.
2、作△ABC 3、作△ABC 的中线AD， 的高AD，垂 交底边BC于D。 直底边BC于D。
∠A= ∠ABD (等边对等角） 设 ∠A =x,则 ∠BDC= ∠A + ∠A BD=2X, 所以∠A BC= ∠C= ∠BDC=2x 在△ABC 中，有 ∠A+ ∠A BC+ ∠C=x+2x=180 ° 解得 x=36 ° ∴ ∠A= 36 °，
探一探 你的知识又在得以升华！
如图在等腰三角形ABC中，AB =AC.点D 为BC的中点．
重合的角
请同学们观察下面的动画：
A
B
C
D
请同学们观察下面的动画：
A
B
D
C
请同学们观察下面的动画：
A
B D C
请同学们观察下面的动画：
A
B
D
C
请同学们观察下面的动画：
A
B
D
C
请同学们观察下面的动画：
A
B C
D
请同学们观察下面的动画：
A
B
D
C
请同学们观察下面的动画：
A
B
D
C
请同学们观察下面的动画：
有两边相等的三角形叫等A 腰三角形！
腰
顶 角
腰
底角 B
底角 C
底边
等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一 边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底 边的夹角叫做底角.
思考 ?
（1） 大家剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？ （2）把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折,找出其
中重合的线段和角,填写表格.
重合的线段
14.3.1 等腰三角形
A
B
C
自学目标:
请同学们阅读教材第36页----第38页,试解决以下 问题:
1.用一张长方形纸片(长方形的大小和形状 可以不一样)，你能制作出一个等腰三角形 吗?
2.等腰三角形的性质1的内容是什么?你能 证明吗?
3.等腰三角形的性质2的内容又是什么呢?你 能正确认识吗?
A
用符号语言表示为：
在△ABC中
（1）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠_1__=∠_2__，B__Ｄ__=_C_D__； （2）∵AB=AC，AD是中线，
B
∴∠＿1 =∠＿2 ，_A_D__⊥_B_C__；
（3）∵AB=AC，AD是角平分线，
∴_A__D_⊥_B__C_，B__Ｄ__=_C_Ｄ__。
12 DC
A
证明: 作顶角的平分线AD，
则有∠1＝∠2
12
在△ABD和△ACD中
AB＝AC ∠1＝∠2
BD C
AD＝AD （公共边）
∴ △ABD≌ △ACD （SAS）
∴ ∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）
等腰三角形的性质1：
A
等腰三角形的两个底角相等
（简写成“等边对等角”）
注意： 在 一个 三角形中,等边对B 等角。C
A
B D
c
请同学们观察下面的动画：
A
B
D
c
请同学们观察下面的动画：
A
B C
D
重合的线段
AB＝AC BD＝CD AD＝AD
重合的角
∠B ＝ ∠C. ∠BAD ＝ ∠CAD
∠ADB ＝ ∠ADC B
A
D
C
大胆猜想
等腰三角形除了两腰相等以外, 你还能发现它的其他性质吗?
猜想与论证
猜想 等腰三角形的两个底角相等。
A
(等腰三角形三线合一)
∵AB=AC，BD=CD（已知）
∴∠BAD=∠CAD，
AD⊥BC（三线合一）
B
D
C
∵AB=AC，∠BAD=∠CAD （已知）
∴ BD=CD ，AD⊥BC（三线合一）
∵AB=AC， AD⊥BC （已知） ∴ BD=CD ，∠BAD=∠CAD （三线合一）
等腰三角形性质二：
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 底边上的高相互重合（三线合一）
(2)等腰△ABC的一条边长为3,另一条边长 为7， 其周长为_1_7__。
A D
12 3 BC
教学流程
例２：如图，桥梁支架与桥面形成的△ABC
中，AB＝AC ， AC上有一点D，测得BD＝BC
＝AD，求△ABC 中∠A 的度数.
解：∵ AB = AC，BD=BC=AD ∴ ∠A BC= ∠C= ∠BDC
(1)猜想一下：点D到两腰的距离DE与DF相 A
等吗？
（2）如果DE、DF分别是AB、AC上的中
线或∠ADB、 ∠ ADC的平分线，它们还相E`
F`
等吗？
D′
（3）如果将点D沿DA由D向A运动到D′ E
F
那么点D′到两腰的距离还相等吗？试说 B D C
明理由．
你能将自己在本节课的收获和同学们共
同分享吗？ 等腰三角形
用符号语言表示为：
在△ABC中， ∵ AC=AB（已知） ∴ ∠B=∠C (等边对等角）
想一想:
刚才的证明除了能得到∠B＝∠C 你还能发现什么?
A
重合的线段
重合的角
AB＝AC BD＝CD AD＝AD
∠B ＝ ∠C.
ຫໍສະໝຸດ Baidu
∠BAD ＝ ∠CAD
B
∠ADB ＝∠ADC =90°
D
C
是真是假
性质等2 腰等三腰角三形的角顶形角的平顶分角线的与平底边分上线的、中底线边，上底 边上的高的互相中重线合、底边上的高互相重合。
4.你会运用等腰三角形的性质吗?
做一做：
问题1:用一张长方形纸片，每个人的长方形 的大小和形状可以不一样，你能制作出一个 等腰三角形吗?
探索: 你发现了什么?
1、等腰三角形是轴对称图形。 2、等腰三角形的顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
动手做一做
看一看 △ABC有什么特点?
C
A
D
B
问题 ：你知道什么样的三角形是等腰三角形吗？
性质1：等边对等角
常用来证明两角 相等，求等腰三 角形各角的度 数．
等腰三角形性质的应用
A
例1.如图,在△ ABC中, AB = AC
∠ A = 50° 求∠ B , ∠ C的度数
解 在△ ABC中
B
C
∵ AB = AC
∴ ∠ B= ∠C (等边对等角)
∵ ∠A+∠B+∠C=180°，∠Ａ=50°
∴ ∠B=∠C=1/2（180°- ∠A） = 1/2 （180°- 50°）=65°
相信你是最棒的！
• 变式练习1、已知：等腰三角形的一个角是 110 °，则该三角形另外两个角分别是____ 3_5__和_ 35 °
• 变式练习2、已知：等腰三角形的一个内角 为50 °，则另外两个角的度数分别是____
50 ° 、80 °或65 ° 、65 °
(1)等腰△ABC的一条边长为3,另一条边长 为5，其周长为1__1__或___1。3
已知：△ABC中，AB=AC
A
求证：∠B=C
分析：1.如何证明两个角相等？
2.如何构造两个全等的
B
C 三角形？
D
探究：已知AB=AC怎样证明∠B = ∠C ？
A
A
A
12
B D CB D CB D C
1、作顶角的平 分线AD.
2、作△ABC 3、作△ABC 的中线AD， 的高AD，垂 交底边BC于D。 直底边BC于D。
∠A= ∠ABD (等边对等角） 设 ∠A =x,则 ∠BDC= ∠A + ∠A BD=2X, 所以∠A BC= ∠C= ∠BDC=2x 在△ABC 中，有 ∠A+ ∠A BC+ ∠C=x+2x=180 ° 解得 x=36 ° ∴ ∠A= 36 °，
探一探 你的知识又在得以升华！
如图在等腰三角形ABC中，AB =AC.点D 为BC的中点．
重合的角
请同学们观察下面的动画：
A
B
C
D
请同学们观察下面的动画：
A
B
D
C
请同学们观察下面的动画：
A
B D C
请同学们观察下面的动画：
A
B
D
C
请同学们观察下面的动画：
A
B
D
C
请同学们观察下面的动画：
A
B C
D
请同学们观察下面的动画：
A
B
D
C
请同学们观察下面的动画：
A
B
D
C
请同学们观察下面的动画：
有两边相等的三角形叫等A 腰三角形！
腰
顶 角
腰
底角 B
底角 C
底边
等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一 边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底 边的夹角叫做底角.
思考 ?
（1） 大家剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？ （2）把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折,找出其
中重合的线段和角,填写表格.
重合的线段