工科数学分析课件5
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数学分析讲义(第五版)课件
设z
zn x2, 幂级数 n1 n 32n
的收敛半径为
R
1
lim
n
n
|
n
32n
|
9 lim n
n
1
n 32n
9,
从而 x2 z 9时原级数收敛, x2 z 9 原级数发
散,
所以
n1
n
x2n 32n
的收敛半径为
R
3.
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方法2 应用柯西-阿达玛定理 (n 奇数时, an 0), 由于
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一、幂级数的收敛区间
幂级数的一般形式为
an( x x0 )n a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )2
n0
an( x x0 )n ,
(1)
为方便起见, 下面将重点讨论 x0 0 , 即
an xn a0 a1 x a2 x2 an xn
an
xn1 .
0
n0 n 1
证 由定理14.7, 级数(2), (7), (8)具有相同的收敛半
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径R. 因此,对任意一个 x (R, R) , 总存在正数 r, 使得|x| < r < R, 根据定理14.4, 级数(2), (7)在[-r, r]上 一致收敛.再由第十三章§2的逐项求导与逐项求积 定理, 就得到所要证明的结论(i)与(ii). 注 由本定理立即可以得到幂级数在其收敛区间上 可以逐项求导和逐项求积. (并没有要求在其收敛区 间上一致收敛!)
上一致收敛.
对于一般幂级数(1)的收敛性问题, 可仿照上述的办
法来确定它的收敛区间和收敛半径. 请看例子.
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例5 级数
《数学分析》课件
函数与极限
函数
函数是数学分析中的基本概念之一，它是一个从定义域到值域的映射。根据定义域和值域的不同，函数可以分为 不同的类型，如连续函数、可微函数等。
极限
极限是数学分析中描述函数在某一点的行为的工具。极限的定义包括数列的极限和函数的极限，它们都是描述函 数在某一点附近的行为。极限的概念是数学分析中最重要的概念之一，它是研究函数的连续性、可导性、可积性 等性质的基础。
复合函数的导数
复合函数的导数是通过对原函数进行 求导，再乘以中间变量的导数得到的 。
微分及其应用
微分的定义
微分是函数在某一点附近的小变化量 ，可以理解为函数值的近似值。
微分的应用
微分在近似计算、误差估计、求切线 、求极值等方面有着广泛的应用。例 如，在求极值时，可以通过比较一阶 导数在极值点两侧的正负性来确定极 值点。
数列的极限
总结词
数列极限的定义与性质
详细描述
数列极限是数学分析中的一个基本概念，它描述了数列随 着项数的增加而趋近于某个固定值的趋势。极限具有一些 重要的性质，如唯一性、四则运算性质、夹逼定理等。
总结词
数列极限的证明方法
详细描述
证明数列极限的方法有多种，包括定义法、四则运算性质 、夹逼定理、单调有界定理等。这些方法可以帮助我们证 明数列的极限并理解其性质。
含参变量积分的概念与性质
含参变量积分的概念
含参变量积分是指在积分过程中包含一个或多个参数的积分。这种积分在处理一些具有参数的物理问题时非常有 用。
含参变量积分的性质
含参变量积分具有一些重要的性质，如参数可分离性、参数连续性、参数积分区间可变性等。这些性质使得含参 变量积分在解决实际问题时更加灵活和方便。
反常积分与含参变量积分的计算方法
工科数学分析课件 Chap4第5节 微分中值定理
(
x0
)
0.
定义5.2 若x0满足f ( x0 ) 0,称x0是f ( x)的驻点.
注(1)函数在极值点可导,则此极值点一定是驻点；
(2)驻点未必是极值点. 例如f ( x) x3, f (0) 0, 但x 0不是极值点.
(3)不可导的点也可能是极值点.
罗尔(Rolle)中值定理
罗尔(Rolle)中值定理
证明 由于 f (a) f (b) 0, f(a) f(b) 0
不仿 f(a) 0, f(b) 0
f(a)
lim
xa
f (x) f (a) xa
0,
f(b)
lim
xb
f (x) f (b) xb
0,
由极限的保号性得知
(a, a ), f ( x) f (a) 0, (b, b ), f ( x) f (b) 0，
由定义知, 0,当x U( x0 , )时, 有f ( x0 ) f ( x).
当x
(
x0
,
x0
)时, lim x x0
f
(
x) x
f( x0
x0
)
0,即
f
(
x0
)
Hale Waihona Puke 0当x(x0
,
x0
)时, lim x x0
f
(
x) x
f( x0
x0
)
0,即
f
(
x0
)
0
f ( x0 )
f
'
(
x0
)
f
'
定理5.2设 f C[a,b], f在(a,b)内可导,且f (a) f (b),
高校工程数学第5节解析函数的高阶导数教学课件
[例3-5-1] 求下列积分的值，其中C为正向
C1 i
C
x
o
C2
i
[解] （1）函数
在C内的z=1处不解析，但cos πz在C
内却是处处解析的，根据(3.5.1)，有
[例3-5-1]
（2）函数 在C内的z=±i处不解析，在C内以i为 中心作一个正向圆周C1，以–i为中心作一个正向圆周C2(如 图)，那末函数 在由C，C1和C2所围成的区域中是
ez z d z 2 i ( e ) 2i; n z 0 z z 1
[例1]
( 3) n 1,
根据公式 f
(n)
n! f (z) ( z0 ) dz n 1 2i C ( z z0 )
2i ez z ( n 1 ) (e ) n dz z 0 ( n 1 )! z z 1 2i . ( n 1)!
二、主要定理
一个解折函数不仅有一阶导数，并且有各高阶导数，这一
点与实变函数完全不同，因为一个实变函数的可导性不保
证导数的连续性，因而不能保证高阶导数的存在。 关于解析函数的高阶导数我们有下面的定理。 [定理3-5-1] 解析函数f(z)的导数仍为解析函数，它的n阶导 数为：
其中，C为在函数f(z)的解析域D内围绕z0的任何一条正向简
F ( z ) f ( z ),
所以 F ( z ) 是 B 内一个解析函数 ,
因为解析函数的导数仍为解析函数,
故 f ( z ) 为解析函数.
典型例题
圆周：|z|=r>1 （ 1） （2）
n! f ( z) f ( z0 ) dz n 1 C 2i ( z z0 )
(n)
y
工科数学说教材ppt课件
由传统的教学模式改为“四动循环”教学1-模2间式
2.教学方法的改革
重视学习方法的探新，突出学生学习的主体性 重视教法学法的统一，突出师生教学的互动性 重视情知教学的整合，突出教学活动的生命性
重视教育技术的开发，突出教学方式的现代性
15
教学改革的目标和具体措施
3.教学评价的改革
教师口头评价 作业评价 考核评价
特色建设
7
问题及解决
21
课程建设中存在问题及解决
教师队伍建设还存在一定不足，学历 偏低，科研教改能力不够强。 课程资源建设滞后，课程内容选取的 针对性、应用性不够，缺乏与专业的有 机联系。 教学方法与手段不够多元化，“讲授 法”占主导，学生“学习疲劳”现象较 严重。 课程教学设施严重缺乏，既无教学机 房，又缺乏教具、学具。
18
1
地位作用
2
培养学生
3内容设置4教来自改革5教学建设
6
特色建设
7
问题及解决
19
特色建设的目标和具体措施 继承和发扬严谨治学的优良传统 多媒体辅助教学 大力提倡培养学生综合素质和能力的教学方法
强调实践教学环节对学生动手能力和创新意识的培养
20
1
地位作用
2
培养学生
3
内容设置
4
教学改革
5
教学建设
6
掌握数学思想，提高分析和解决实际问题的能力。
8
内容设置方案及其理由
《工科数学》课程的内容包括
函数、极限与连续，一元函数微
内
分学，一元函数积分学，常微分
容
方程，无穷级数，向量代数与空
选
间解析几何，多元函数微积分学，
取
傅氏级数与积分变换，线性代数
数学分析5PPT课件
代 替 称 为 “ 以 匀 代 不 匀 ” 。 设 物 体 运 动 的 路 程 是 时 间 的 函 数 S(t) ， 则 在 t0 到
t 这段时间内的平均速度为
v
S ( t ) S ( t0 ) . t t0
下页 3
可 以 看 出 t 与 t0 越 接 近 ， 平 均 速 度 v 与 t0 时 刻 的 瞬 时 速 度 越 接 近 ， 当
例4
证明 函数
f(x)
xsin
1 x
,
x
0
y
0
,
x0
1
x
不可导点
在 x 0 处不可导
证明 由于极限
lim f(x) f(0) ， x0 x 0
不存在,所以 f(x) 在 x 0 处不可导. .
o
1/π
1/π
x
不可导点 下页 16
例 5 常 量 函 数 f ( x ) c 在 任 何 一 点 x 的 导 数 都 等 于 零 ， 即 f ( x ) 0
时速度都有一定的要求， 至于火箭升空那就不仅要掌握火箭的度，而且要掌握
火箭飞行速度的变化规律。
不 过 瞬 时 速 度 的 概 念 并 不 神 秘 ， 它 可 以 通 过 平 均 速 度 的 概 念 来 把 握 。根 据 牛
顿第一运动定理，物体运动具有惯性，不管它的速度变化多么快，在一段充分短
的时间内，它的速度变化总是不大的，可以近似看成匀速运动。通常把这种近似
因为自由落体运动的运动方程为： s 1 gt2 , t [0 ,T]， 2
按照上面的公式
t0 t
t
v(t) lim s t t t 0
s0 t0
lim t t0
1 2
工科数学分析课件
1
,
－1/π
0
1/π
x
在x = 0处不可导. 处不可导
4. 若f ′( x0 ) = ∞ , 且在点 x0的两个单侧导数 符号相反 , 则称点 x 0为函数 f ( x )的尖点 (不可导点) .
y
y = f (x)
y
y = f (x)
o
x
o
x0
x
1 x sin , x ≠ 0 例8 讨论函数 f ( x ) = , x 0, x=0 在x = 0处的连续性与可导性 .
设函数 f ( x )在点 x 0 可导,
∆y lim = f ′( x 0 ) ∆x → 0 ∆ x ∆y = f ′( x 0 ) + α ∆x
∆ y = f ′( x0 ) ∆ x + α ∆ x
α → 0 ( ∆x → 0 )
∆x → 0 ∆x → 0
lim ∆y = lim [ f ′( x 0 )∆x + α∆x ] = 0
MN → 0, ∠NMT → 0.
y = f (x)
N T
C M
o
α
ϕ
x0
x
x
设 M ( x 0 , y 0 ), N ( x , y ).
y − y0 f ( x ) − f ( x0 ) 割线MN的斜率为 tan ϕ = 割线 , = x − x0 x − x0 N 沿曲线C → M , x → x 0 , f ( x ) − f ( x0 ) . 切线MT的斜率为 k = tan α = lim x → x0 x − x0
例1 求函数 f ( x ) = C (C为常数 ) 的导数 .
f ( x + h) − f ( x ) C −C 解 f ′( x ) = lim = 0. = lim h→ 0 h→ 0 h h
工程数学课件5.2
e z dz z 1
z 1 e 2πi z 2πi
e z 1
（上述推导使用了柯西积分公式） 其中 C 为内部不含点 0 ， 且不经过点１但包含点１在其内部的任意闭曲线．
7
定理一（留数定理）设函数f(z)在区域D内除有 限个孤立奇点 z1 , z2 ,..., zn 外处处解析，C是D内
C
f ( z )dz f ( z )dz,
k 1 Ck
n
这里沿C的积分按关于区域D的正向取的，沿Ck 的积分按反时针方向取的。
10
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz
C
C1 C2 Cn
两边同时除以 2i 且
2
这里积分是沿着C按逆时针方向取的。
事实上，在0<| z-z0|<R内，f(z)有洛朗展式：
f ( z)
n
c (z z )
n 0
n
而且这一展式在C上收敛。 因此， Res[f
, z0 ] c1.
3
注解1: f(z)在孤立奇点z0的留数等于其洛朗 级数展式中
1 z z0
P( z0 ) Re s[ f , z0 ] Q( z0 )
15
【证明】 因为 z0 为 f ( z ) 的一阶极点，所以 Q( z0 ) 0 ， 且由上述方法知
Resf ( z0 ) lim( z z0 ) f ( z )
z z0
P( z ) lim( z z0 ) z z0 Q ( z ) Q ( z0 )
d e Res( f , i ) lim [ ] 2 z i dz z ( z i )
《数学分析》课件 (完整版)
第十一章 广义积分
§1 无穷限广义积分
定积分的两个限制
积分区间的有界性 被积函数的有界性 实践中，我们却经常要打破这两个限制。如：关于级数收敛的Cauchy积分判别法；概率统计中，随机变量的空间通常是无限的；第二宇宙速度；物理中的 函数；量子运动；‥‥‥
无穷限积分的定义
设函数 在 有定义，在任意有限区间 上可积。若 存在，则称之为 在 上的广义积分，记为 此时亦称积分 收敛；若 不存在，则称积分 发散。
P.S. 为一符号，表示的是一无穷积分；而当它收敛时，还有第二重意义，可用来表示其积分值。
1. 2. 当 ， 均收敛时，定义 显然， 的值与 的选取无关。
类似地，我们可以给出其它无穷积分的定义：
特别地，我们若可利用Taylor公式，求得
则
时 收敛， 时 发散， 时,只能于 时推得 收敛。
Question
我们将参照物取为幂函数 ，而有了上述的比较判别法；那么，将参照物取为指数函数 ，结果又如何呢？ 无穷限的广义积分有着与级数非常类似的比较判别法，都是通过估计其求和的对象大小或收敛于0的速度而判断本身的敛散性；而且，我们还有Cauchy积分判别法，使某些级数的收敛与某些无穷限积分的收敛等价了起来。那么，是否可以将关于级数中结论推广至无穷限积分中来呢？某些结论不能推广的原因是什么呢？
1. 结合律
对于收敛级数，可任意加括号，即
2. 交换律
仅仅对于绝对收敛的级数，交换律成立 而对于条件收敛的级数，是靠正负抵消才可求和的，故重排后结果将任意。可见，绝对收敛才是真正的和。
定理 10.19 若级数 绝对收敛，其和为 ，设 为 的任意重排，则 亦绝对收敛，且和仍为
第十章 数项级数
§5 无穷级数与代数运算 有限和中的运算律，如结合律，交换律，分配律，在无穷和中均不成立。具体地，我们有下面的一些结论。
§1 无穷限广义积分
定积分的两个限制
积分区间的有界性 被积函数的有界性 实践中，我们却经常要打破这两个限制。如：关于级数收敛的Cauchy积分判别法；概率统计中，随机变量的空间通常是无限的；第二宇宙速度；物理中的 函数；量子运动；‥‥‥
无穷限积分的定义
设函数 在 有定义，在任意有限区间 上可积。若 存在，则称之为 在 上的广义积分，记为 此时亦称积分 收敛；若 不存在，则称积分 发散。
P.S. 为一符号，表示的是一无穷积分；而当它收敛时，还有第二重意义，可用来表示其积分值。
1. 2. 当 ， 均收敛时，定义 显然， 的值与 的选取无关。
类似地，我们可以给出其它无穷积分的定义：
特别地，我们若可利用Taylor公式，求得
则
时 收敛， 时 发散， 时,只能于 时推得 收敛。
Question
我们将参照物取为幂函数 ，而有了上述的比较判别法；那么，将参照物取为指数函数 ，结果又如何呢？ 无穷限的广义积分有着与级数非常类似的比较判别法，都是通过估计其求和的对象大小或收敛于0的速度而判断本身的敛散性；而且，我们还有Cauchy积分判别法，使某些级数的收敛与某些无穷限积分的收敛等价了起来。那么，是否可以将关于级数中结论推广至无穷限积分中来呢？某些结论不能推广的原因是什么呢？
1. 结合律
对于收敛级数，可任意加括号，即
2. 交换律
仅仅对于绝对收敛的级数，交换律成立 而对于条件收敛的级数，是靠正负抵消才可求和的，故重排后结果将任意。可见，绝对收敛才是真正的和。
定理 10.19 若级数 绝对收敛，其和为 ，设 为 的任意重排，则 亦绝对收敛，且和仍为
第十章 数项级数
§5 无穷级数与代数运算 有限和中的运算律，如结合律，交换律，分配律，在无穷和中均不成立。具体地，我们有下面的一些结论。
工科数学分析全微分课件
内容小结
1. 微分定义:
∆z =
+ o(ρ)
ρ = (∆x)2 + (∆y)2
d z = f x (x, y)dx + f y (x, y)dy
2. 重要关系: 函数连续 函数可微 偏导数连续 偏导存在
3. 微分应用 近似计算
f x (x, y)∆x + f y (x, y)∆y f x (x, y)∆x + f y (x, y)∆y
= f x (x +θ1∆x, y + ∆y)∆x + f y (x, y +θ2∆y)∆y ( 0 <θ1 , θ2 < 1)
lim α = 0, lim β = 0 ∆x→0 ∆x→ 0 ∆y→0 ∆y→ 0
=[ f x (x, y) + α]∆x +[ f y (x, y) +β ]∆y
∂z ∂z 定理2 充分条件) 定理2 (充分条件) 若函数 的偏导数 偏导数 , ∂x ∂y 在 (x, y) 连 , 则函数在该点可微分 点 续 可微分. 可微分 证：∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y)
=[ f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y + ∆y)] +[ f (x, y + ∆y) − f (x, y)]
点 4) 下面证明 f (x, y) 在 (0,0)可微 :
令 ρ = (∆x)2 + (∆y)2 , 则
∆ f − f x (0,0)∆x − f y (0,0)∆y
ρ
说明: 说明 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件.
《数学(职业模块 工科类)》课件 《数学(职业模块 工科类)》课件 第四、五章
所示．
表4-6
开关A 的状态
开关B 的状态 电灯S 的状态
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
21
第4章 逻辑代数初步 4.2 逻辑变量
当决定事件发生的条件有一个具备时，这件事就会发生，这样的 逻辑关系叫做或逻辑关系．
在两个开关相互并联的电路中，如图4-2所示，当开关A和开关B 至少有一个闭合时，电灯S就会亮，这种逻辑关系叫做逻辑变量A与逻 辑变量B的逻辑加法运算（“或”运算）．其中，S叫做A，B的逻辑 和，记作A + B = S （或 A B S ），读作“A加B”或“A或B ”．
“或”运算的运算法则如表4-7所示．
表4-7
A
B
A B S
1
1
111
1
0
10 1
0
1
0 11
0
0
000
22
第4章 逻辑代数初步 4.2 逻辑变量
3．逻辑非 观察电灯与开关相并联的电路，如图4-3所示．
图4-3
规定：开关“闭合”取值为“1”，“断开”为“0”；“灯亮”
为“1”，“灯不亮”为“0”．将开关A与电灯S的状态列表，如表4-8
26
第4章 逻辑代数初步 4.2 逻辑变量
将各逻辑变量的取值代入逻辑式，经过运算，可以 得到逻辑式的一个值（0或1）．例如，
A B AB ， 当 A B 0 时，有
A B AB 0 0 0 0 1 0 1； 当 时 A 0，B 1 ，有
A B AB 0 1 0 1 0 0 0 ．
11
第4章 逻辑代数初步 4.1 二进制
例2 将二进制数 (10010)2 转化成十进制数． 解
工科数学分析13-4,5
§13.4-5 高阶偏导与泰勒公式
函数z f ( x, y)的二阶偏导数为
x
z x
2z x 2
f xx ( x, y),
y
z y
2z y 2
f yy ( x, y)
纯偏导
y
z x
2z xy
fxy ( x, y),
z 2z x y yx
f yx ( x, y)
混合偏导
定理 1 如果函数z f ( x, y)的两个二阶混合偏导 数 f xy及 f yx 在区域 D 内连续，那末在该区域内这
两个二阶混合偏导数必相等．
证明：
fxy
x0 , y0
lim fx y0
x0, y0 y fx y
x0, y0
lim lim f x0 x, y0 y f x0, y0 y f x0 x, y0 f x0, y0
推论：若函数 f 在 D 上偏导数存在，且 fx f y 0 f c
泰勒公式
定理 13.5.2：若函数 f 在 P0 x0 , y0 的某个邻域U P0 内有直到 n+1 阶的连续偏导数，
则对U P0 中的任意一点 x0 h, y0 k ， 0,1 ，使得
f
x0
h, y0
x
u x v x 2 u v
，
2z x2
1 2
e
y
[
2w u2
u x
2w uv
( u x
v ) x
2w v 2
v ] x
1 4
e
y
[
2w u2
2
2w uv
2w v2 ]
2z xy
1 2
e
y
[
2w u2
函数z f ( x, y)的二阶偏导数为
x
z x
2z x 2
f xx ( x, y),
y
z y
2z y 2
f yy ( x, y)
纯偏导
y
z x
2z xy
fxy ( x, y),
z 2z x y yx
f yx ( x, y)
混合偏导
定理 1 如果函数z f ( x, y)的两个二阶混合偏导 数 f xy及 f yx 在区域 D 内连续，那末在该区域内这
两个二阶混合偏导数必相等．
证明：
fxy
x0 , y0
lim fx y0
x0, y0 y fx y
x0, y0
lim lim f x0 x, y0 y f x0, y0 y f x0 x, y0 f x0, y0
推论：若函数 f 在 D 上偏导数存在，且 fx f y 0 f c
泰勒公式
定理 13.5.2：若函数 f 在 P0 x0 , y0 的某个邻域U P0 内有直到 n+1 阶的连续偏导数，
则对U P0 中的任意一点 x0 h, y0 k ， 0,1 ，使得
f
x0
h, y0
x
u x v x 2 u v
，
2z x2
1 2
e
y
[
2w u2
u x
2w uv
( u x
v ) x
2w v 2
v ] x
1 4
e
y
[
2w u2
2
2w uv
2w v2 ]
2z xy
1 2
e
y
[
2w u2