矩阵论—相似对角化

1 5
n1 1
1n
n1 2
2n
1 1
2 1
X0
1 5
n1 1 1n
n1 2
2n
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0.618 缘结黄金分割比
lim fn f n
n1
自然lim界中15的(F1nibo2nn )accil数im列1
(
2 1
)n
1 5 1 0.618
个线性无关的特征向量；若求出A的n个线性无关特征向
量：1 ,2 ,L,令,n P (就1,能2使,L ,n )
为P对1角AP阵， 主对
角线上的元素依次为
所属的特1,征2值,L ,n
1, 2 L , n
定理2.
(充分不必要)
1
An×n有n个不同
特征值1,L , n
A
~
O
n
定理3.
An×n相似于
1 2 -1 0
A=
-30
14
P=
2
5
,=
0
2
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矩阵可对角化条件
定理1
1
Ann
~
2
即A的
Ai ii
特征值
n
A有n个线性无关的特
征向量 1,2 ,L ,n
证 记 P (1,2,L ,n ) 则，P 可逆
AP ( A1, A2 ,L , An ) (11, 22 ,L , nn )
对角矩阵
A的每一个ki重特征值 i 对
应ki个线性无关的特征向量
即每个特征值 的代数重数等 于其几何维数
1 2 2
1.
A
2
1
2
2 2 1
1 1 ——X1=(1,-1,0)T 2 1 ——X2=(1,-1,1)T 3 3 ——X3=(0,1,-1)T
1
1 1 0
A
~
1
,
P
1
1
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Fibonacci数列通项公式求解模型
{ fn}: 0,1,1, 2,3,5,8,13,L L fn2 fn1 fn (n 0,1, 2,L )
模型 建立
fn2 fn1
fn1 fn1
fn
(n 0,1, 2,L
)
X n1
fn2 fn1
1 1
(3) 设矩阵A相似于B，f (x)是多项式 则： ① Am : Bm ② kA+lE : kB+lE ③ f (A)=f (B)
④ A-1 =B-1
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二、相似对角化条件
给定An×n ，与A相似的矩阵很多，即存在B 及 可逆矩阵P，使得P－1AP＝B～A，故从其中寻找
基本性质
（1）相似是一个等价关系，即满足如下三条性质： ① 反身性： A : A. ② 对称性： A : B B : A. ③ 传递性： A : B, B : C A : C.
(2) 设矩阵A相似于B，则：
① |A|=|B| ③ fA( )=fB ( )
② rank(A)=rank(B) ④ tr(A)=tr(B)
科学n家们15发(现1n蜜1 蜂的2n1繁) 殖n速度1也符2合(F12i)bn onac1ci数列2 。植物的生长
与Fibonacci数列也有关。比如一棵树每年都在生长，那么，一般
说来，第一年只有主干，第二年有2个枝，第三年有3个枝，最后
是5枝、8枝、13枝等，每年的分枝数正好为Fibonacci数。自然界
解:由已知，B 的特征值为 1-3+1=-1， 8-6+1=3， 27-9+1=19
1
B
~
3
19
三、相似对角化应用举例
Fibonacci数列
1202年，意大利数学家Fibonacci 出版了他的《算盘书》。他在书中提 出了一个关于兔子繁殖的問題：如果 一对兔子每月能生一对小兔（一雄一 雌），而每对小兔在它出生后的第三 個月里，又能生一对小兔，假定在不 发生死亡的情況下，由一对出生的小 兔开始，一年后会有多少对兔子？
1
0
fn1
fn
AX n
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模型 求解
A的特征值为
1
=
1+ 2
5
，2
=
1
2
5
对应的特征向量分别为
1
=
1
1
，
2
=
2
1
A
1 1
1
0
An PnP1
1 5
n1 1
1n
n1 2
2n
1 1
2 1
X n An X 0 Pn P1 X 0
1
,
P
1
AP
3
0 1 1
1
2.A
3
6
3 5 6
3 3 4
源自文库
1
4——X1=(1,1,2)T
2 3 2 —X2=(1,1,0)T,
X3=(-1,0,1)T
4
1 1 1
A
~
2
,
P
1
1
0
,
P
1
AP
2
2 0 1
3.
1
A
4
1
1 3 0
0
0
2
1 2 ——X1=(0,0,1)T 2 3 1 ——X2=(1,2,-1)T
中的花朵的花瓣数目也与Fibonacci数有关，观察向日葵的花瓣，
我们会发现它依两个相反的螺旋形排列，朝一个螺旋方向生长的
一个“最简单的” 矩阵作为这一相似类的代表。
(P－1(aE)P＝aE)
与单位矩阵、数量矩阵相似的矩阵只有它自己
仅次于数量矩阵aE的简单矩阵即对角矩阵，A能 否相似于一个对角矩阵(称A可对角化问题) ？
(是什么？怎么求？相应的P=?)
定义
如果一个矩阵能与对角形矩阵相似，则称该矩 阵可对角化。
例子
-13 6
1
1 ,2 ,L
,
n
2
P
n
AP P P1 AP
证
记
线性无关
P1AP AP P P (1,2 ,L ,n )
AP ( A1, A2,L , An )
＝(11, 22 ,L , nn )
1
=
1 , 2 ,L
,
n
2
P
n
由定理1, 矩阵A是否与一对角矩阵相似, 只需考察A是否有n
代数重数2，几何维数1.
A只有两个线性无关特征向量(二重特征根只对应一个线性无关 特征向量)，A不可对角化。但A可与若当形矩阵相似
2 0 0
0 1
A
~
J
0
0
1 0
1
,
1
P
0
1
2
?
,
P 1
AP
J
1
0 1 a
注:设
P
0
,2由AbP＝ PJ求出a, b, c，确定P.
1 1 c
例4. 已知3A的特征值:1, 2, 3, B A3 3A E, B能否相似角化？
矩阵论
数学科学学院 陈建华
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1.2 相似对角化
一、相似矩阵 二、相似对角化条件 三、相似对角化的应用 四、线性变换的对角化
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一、相似矩阵
定义 设A、B为复数域C上的两个n级矩阵，若存在可逆 矩阵 P C使nn得,
B P- 1AP 则称矩阵A相似于B，记为 A : B.