第4章 恒定电场与恒定磁场

导线间距为D。(D>>a)
y
分析：导线为细导线，故只需考虑导体间
的互感。
dx
解：由安培环路定律，可以求得在导体间
I
磁感应强度分布：
v B
v B1
v B2
0 I 2 x
evy
0 (I ) 2 (D x)
(evy )
x D x I D
x
则导体间单位长度的磁通量为
Da Bdx 0I [ln x ln(D x)] Da
15
关于回路自感的讨论
回路自感仅与回路自身的几何形状、尺寸和媒质磁导率有关， 与回路中载流无关。
若回路导线直径较粗，则 L Li Lo
式中：Li 为回路内自感，即导体内部磁场与部分电流交链所形成电感 Lo为回路外自感，即导体外磁场与回路交链所形成电感
互感
两个彼此靠近的回路C1和C2，回路C1中
若回路为单回路系统，则
Wm
1 2
Lij I 2
若回路为双回路系统，则
Wm
1 2
L11I12
1 2
L12 I1I 2
1 2
L21I 2 I1
1 2
L22 I 2 2
1 2
L11I12
L12 I1I 2
1 2
L22 I 2 2
23
体电流的磁场能量
若电流为体电流分布，则其在空间中产生的磁能为：
式中：Av
vv
J dS 0
S
v
v
vv
E 0
v
Ñl E dl 0
将J E 代入 • J 0可得电位方程
2 0
2
二、恒定电场边界条件
用类比关系推导恒定电场边界条件。比较可知，将静电场
基本v方程中的 Dv代换为 Jv，则两者基本方程形式完全相同。
J 的边界条件
ÑS
vv J •dS
0
v ( J1
在恒定磁场中，一般采用库仑规范条件，即令
Av(rv) 0
注意：规范条件是人为引入的限定条件。 12
对矢量磁位的说明：
矢量磁位
v A
的方向与电流
Jv的方向相同。
引入矢量磁位可以大大简化磁场的计算。
v
v
A
4
V
rv
J
rv
dV
C
三、矢量磁位的边界条件
由 evnevn
vv
• (vB1 Bv2 )
v
v
2Sv
v
1 E 蜒2S Jvv
dl v
dS v
1 E
v
E
2 Sv
dl v
dS v
1 E dl 1 E dl
Jv
v D
自学
例题4.1.1计算同轴线单位长度的绝缘电阻。 例题4.1.2计算半球形接地器的接地电阻。
6
例 同轴线填充两种介质，结构如图所示。两
种介质介电常数分别为 1和 2 ，导电率分别为 1和 2
v dS v
0
E 0
v
J 0
vv
J E
vv
l E dl 0
vv
S
D dS v
0
E 0
v
D 0
vv
DE
2 0
2 0
E1t E2tJ1n J2nFra bibliotek1 2
2
2
n
1
1
n
E1t E2t
D1n D2n
1 2
2
2
n
1
1
n
5
C G
q U
I U
蜒 v v
vv
D dS E dS
S 2
Ev Jv 界面。
2
2
2
2
三、静电场和恒定电场性质比较
相同点： 场性质相同，均为保守场 场均不随时间改变 均不能存在于理想导体内部
不同点： 源不同。静电场的源为静止电荷，恒定电场的源为 运动电荷
存在区域不同。静电场只能存在于导体外，恒定电 场可以存在于非理想导体内
4
蜒l Ev
v dl
0
蜒S Jv
L
(b r c)
1
b r
v E1
drv
c b
v E2
drv
L
(a r b)
8
2）由边界条件：
在 r a 面上：
S1
v D1
n)
[ 2
ln(b
/
1 2U0 a) 1 ln(c / b)]a
在 r b 面上：
S2
v ( D2
v D1 )
evr
[
2
(21 1 2 )U0 ln(b / a) 1 ln(c /
电感定义：穿过某电流回路的磁通量与回路中电流强度之比称 为电感（电感系数），用L表示，即：
L I
说明：若回路由N匝线圈绕成，则线圈的总磁通量为各单匝线圈 磁通量之和，称为磁链。若N匝线圈密绕，回路总磁通量为：
自感
N 为单匝线圈磁通量
若某回路C载流为I，其产生的磁场穿过回路C所形成的自感磁链
为 ，则定义回路C的自感系数为： L (H ) I
2(rv)
0
式中：(rv) 为任意标量场。
足上Bv式 表明Av：(Avrv()rv)的和Av(Avrv')(r有v) 为无性限质多不个同。的两种矢量场。这意味着满
库仑规范条件
必须引入新的限定条件，对 Av(rv)取值进行限定。这种新引入的限
定条件称为规范条件。
由亥姆霍兹定理可知，矢量场的性质由其散度和旋度决定，对于 矢量磁位函数A，其旋度值已确定（等于B），必须要引入限定条件 对其散度值进行限定。
a r2 2 rdr
0
0I 2 16
L
2Wm I2
0 8
26
a
由导电媒质内电场本构关系，可知媒质内电场为：
v E1
v J
1
I
21r
evr
(a r b)
v E2
v J
2
I
2 2r
evr
1 1 2 2
(b r c)
7
U
b a
v E1
drv
c b
v E2
drv
I (ln b ln a) I (ln c ln b)
21
2 2
I
21 2U0
2 ln(b / a) 1 ln(c / b)
v J
1 2U0
(a r c)
[v 2 ln(b / a) 1 ln(c / b)]r
v E1
J
v1
[
2
ln(b
/
a)
2U0
1
ln(c
/
b)]r
evr
v E2
J
2
1U0
[ 2 ln(b / a) 1 ln(c / b)]r
evr
(a r b) (b r c)
2
c r
v E2
drv
v J2
)
•
n)
0
v E
的边界条件
J1n
J2n
Ñ v v
E dl
0
v E1
n)
v E2
n)
l
E1t E2t
电位边界条件
vv
J E
2
2
n
1
1
n
1 2 0
3
讨论：
tan1 tan2 tan1 1
1
2
tan2 2
n)
v
J11
v E1
1
在若理 2想导体,表则面上1 ，J0v和。Ev 都垂直于边
Wm
为体电流
1 2v J
vv J AdV
V
在dV处产生的v磁v位。V为整v个空v 间。
v
v
磁能密度
( A B) ( A) B ( B) A
Wm
1 2
1
V
v J
v AdV (Hv
1 v2 V A)dV
1
H
v AdV
v H
(
v A)dV
2 V
2V
1
(Hv
v A)
v dS
a
矩形面元，则通过该面元的磁通为：
di
vv B • dS
0 Ir 2 a2
dr
令与
d
所交链的电流为I’,可知
i
I
'
I
a2
r2
Ir 2 a2
a 1
若将整个内导体电流看作1匝，则与 d交链的电流
dr
由为磁链定义，知N与dII' 对 应ar22的(匝磁)链为：di
Nd i
0 Ir 3 2 a4
dr
整个内导体单位长度的内磁链为
把电流看作集中于导线轴线C1上，把计算磁通的回路取座导线
边缘的回路C2,则利用诺伊曼公式求解回路外自感：
vv
蜒 L 0
dl1 • dl2
4
R C2 C1
12
18
例 求同轴线单位长度的自感。设同轴线内径为a，外径为
b，内外导体间为真空。导体磁导率为 0
分析：内导体为粗导体，故内导体存在内自感。
b
第4章 恒定电场与恒定磁场
重点内容
电容的计算 电感/互感的计算
1
4.1 恒定电场
恒定电场：恒定电流(运动电荷)产生的电场。
一、恒定电场基本方程
恒定电场的基本量：
v E
v J
由电流守恒定律：
v J
0
v
0t J
0
t
v
恒定电场仍然是保守场，因此 E 0
Ñ 恒定电场基本方程为
v J 0 v
vv • (Bv1 B2v) (H1 H2
0 )
v JS
10
4.3. 矢量磁位
一、矢量磁位的引入
v
B v
0
v B
Av(rv)
式中(：Av(Arv))称 0为恒定磁场的矢量磁位。
引入矢量磁位的意义：引入辅助函数，可通过间接求解方法求解 空间磁场分布，简化电磁问题求解。
二、库仑规范
v 要求：B
与Av(rv) 间满足一一对应关系。
因此同轴线自感由同轴线内自感和内外导体间互
感组成。
a
解：设同轴线内导体载流为I，则由安培环路定律，知
v B
0 2 0I 2 r
Ir a2 ew
ew
(r a) (a r b)
同轴线单位长度自感由内导体内自感和内外导体互感构成。即：
L Li Lo
19
如图，在内导体内取一长为单位长度，宽为dr的
i
di
a 0
0 Ir 3 2 a4
dr
0 I 8
20
故内导体单位长度的内自感为
Li
i I
0 8
易求得，内外导体间单位长度磁链为：
o
b a
0 I 2 r
dr
0I 2
ln b a
Lo
o I
0 ln b 2 a
L
Li
Lo
0 8
＋ 0 2
ln
b a
21
例4.4-1 求双传输线单位长度自感。设导线半径为a，
矢量位的任意性
矢量位A不是唯一确定的，它加上任意一个标量的梯度以后，仍
然表示同一个磁场，即
若：Bv
Av(rv) ，则对于
v A
'(rv)
Av(rv) (rv)
有：
Av '(rv)
Av(rv)
(rv)
Av(rv)
v B
11
而：
v A
'(rv)
Av(rv)
(rv)
v A
'(rv)
Av(rv)
a
2
a
0I ln D a a
L 0 ln D a I a
22
4.5 磁场能量
电流回路系统的磁场能量
N个回路系统，i回路自感为 Lii ，i回路与j回路间互感为
路电流为 Ii ，则磁回路系统的磁场能量为:
Lij
，i回
Wm
1 2
N i 1
N i 1
Lij Ii I j
关于电流回路系统磁场能量的讨论
vv
Ñ 蜒 M12I1 C2 A1 • dl2
S2
A1
•
dS2
M12I1 4
C2
C1
I1 vR12
vv dl1 • dl2 v
Ñ 蜒 v
A1
4
C1
vr1
I1
vr2
v • dl1
M12
4
C2
C1
dvrl11
•
dvr2l2
诺伊曼公式
17
关于诺伊曼公式的说明
从诺伊曼公式可知，两个回路间互感相等，即：M12 M 21
1
vv H BdV
Ñ v
A
1
，2 HvS
1
2V ，dS R2，
R
R2 v v
若R (H A) dS 0
Wm
1 2
vv H BdV
V
24
定义：磁能密度为
wm
1 2
vv BH
1 2
H 2
1
2
B2
Wm V wedV
补充内容：利用磁能求单回路电感
若回路载流为I，其在空间中产生的磁场为H，则由能量关系，可 得：
2c
，设同轴线内外导体电压为U。
2b
vv 求：(1)导体间的 E ，J
，
；
2a
(2)分界面上自由电荷分布。
解：这是一个恒定电场边值问题。不能直接应用
1 1
高斯定理求解。
2 2
由边界条件，边界两边电流连续。
设单位长度内从内导体流向外导体电流为I。
v E
v J
则：
v J
I S
evr
I
2
r
evr
(a r c)
Wm
1 LI 2 2
L
2Wm I2
1 I2
H 2dV
V
25
例 求半径为a的无限长直导线单位长度内自感。
解：设导体内电流为I，则由安培环路定律
v B
0 Ir 2 a2
ew
(r a)
0 a
则导体内单位长度磁能为
Wm
1
20
V
B2dV
1
20
02I 2 4 2a4
r 2dV
V
1
20
02I 2 4 2a4
电流I1产生的磁场与回路C2交链的磁通量 C1 I1
为 21 ，则定义回路C1对C2的互感系数为：
C2 12
M 21
21 I1
16
同理定义回路C2对C1的互感系数为：
M12
12 I2
诺伊曼公式
诺伊曼公式给出了两个简单回路间互感的计算方法。
M12
12 I1v
12 v
M12 I1 v
v
M12I1 S2 B1 • dS2
b)]b
在 r c 面上：
S3
v D2
evr
[ 2
21U0 ln(b / a) 1 ln(c / b)]c
9
4.2 恒定磁场基本方程和边界条件
基本方程与边界条件