集美大学 船舶结构力学(48学时)第二章 单跨梁(2)2014年 4学时
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第二章 单跨梁的弯曲理论
§2.2梁的支座及边界条件
基本概念： 1）梁端边界条件： 梁端弯曲要素的特 定值或弯曲要素之间的 特定关系式。
2）梁端支座情况与梁端边 界条件的关系： 梁端的边界条件取决 于梁端的支座情况，不同 的支座对梁有不同的约束， 从而就有不同的边界条件。
3）研究梁端边界条件的意 义： 确定初参数， 即确定挠曲线方程。
一、各种支座及相应的边界 条件 本节先介绍通常的刚性 支座和刚性固定及铰支端和 刚固端的边界条件，再介绍 弹性支座和弹性固定及弹支 端和弹固端的边界条件。
1、刚性支持端（参见图2-7） 简称刚支端又称铰支端或简 支端：
（它的弯曲要素的特定值？）
铰支(端) 简支(端)
固定铰支座 活动铰支座
简化表达
（梁左端用负号）
图2-11
6、弹性固定 1）定义： 该种固定（端）在受 弯矩作用后将产生一个正 比于弯矩的转角。
M
M k
左
（2-14）
P
M
k
右
记忆该式有利于使用叠加 法、力法、 位移法处理弹性固定端的 情况。
k
M
P
2）弹性固定的“柔性系数” /： M
7、弹性固定端（弹固端）的边 界条件： 由于对梁来说，支反力矩 M就是梁端的弯矩，因此就可 以把梁端转角与弯矩之间的关 系找到。 v0
0
x
y
M0x N0 x qx v v0 0 x 2 EI 6 EI 24EI m P 2 3 a ( x a) b ( x b) 2 EI 6 EI
2
3
4
解： （1）代入左端边界条件的挠曲 线方程式： 3 2 M0x N0 x v 2 EI 6 EI
（a）
例1：用初参数法求两端自由支
持在刚性支座上，受均布荷重 作用梁的挠曲线方程式。 （见下图）
x
y
解：利用方程式（**）：
M0x N0 x qx v v0 0 x 2 EI 6 EI 24EI m P 2 a ( x a) b ( x b) 3 2 EI 6 EI
梁左端边界条件?
2 3 4
N0 ?
考虑到梁左端边界条件有：
v0 M 0 0
考虑到静力平衡条件显然有：
N 0 ql / 2
把已知或已求得的初 参数代入挠曲线方程式得：
qlx qx v 0 x 12EI 24EI
3
4
为求上式中的初参 数 0 ，利用梁右端的边 界条件：v(l ) 0 有： 4 4 ql ql 0 0l 12EI 24EI
12 EI N0 3 l
（6）梁的挠曲线方程式：
3x 2x v l2 l3
2 3
（7）梁的弯矩与剪力方程式：
6 EI 2x M EIv ' ' 2 (1 ) l l
例3 用初参数法求下图 中所示集中力作用的单 跨梁的挠曲线方程式。 3 l l 已知： A
P
3 EI
48EI
P
0
x
M0x N0 x qx v v0 0 x 2 EI 6 EI 24 EI y m P 2 3 a ( x a) b ( x b) 2 EI 6 EI
k
记忆该式有利于使用叠加法、力法、位移法处 理弹性支座的情况。
v AR
v
（2-11）
k
A
R kv
4、弹性支持端（弹支端） 的边界条件： 建立梁端挠度与剪力 之间的关系。
(弯曲要素之间的特定关系式) 弹支端：
A
v 0
"
思考： 梁端作用于支座的力(支座 力）、支反力、梁端剪力。
R R
P
左
或：
（2-19）
v 0
"
v" ' 0
有必要记么？
10、必须指出： a.当梁端有集中外力或外力 矩作用时，梁端的边界条 件就应把作用于该端的集 中外力或外力矩考虑在内。
b.当梁端给定已知的挠度和 转角时梁端的边界条件也 应把它们考虑在内。
c.对于静定梁，用静力平衡 条件确定力的初参数 M 0 , N 0 有时会更方便。
1 3 4 M 0l N 0l Pl 8 （ b） 1 M 0 N 0l Pl 2 求解（b）有:
2 3
1 M 0 Pl 8
5 N0 P 8
挠曲线为： 2 Pl Pl 2 5P 3 v x x x 48EI 16EI 48EI P l 3 l/2 (x ) 6 EI 2
(弯曲要素之间的特定关系式)
v ' EIv' '
EIv' ' P
v '
M k
M
EIv' '
v'
右
P
v ' -EIv' '
M k
k
M
k
（2-15）
M
M k
M
M k
左
弹性固定端（弹固端） 边界条件：
v0
及
v EIv"
2 3 0 0 0 l /2
3
v’
3EI
EI
2 EI
l/2
l /2
(x ) 2 EI 2
M 0 N0 x v' ' EI EI
P l (x ) EI 2
N0 v' ' ' EI
l/2
P EI
（4）据右边界条件可得关于初参 N 0 的方程组： 数 M0 、
40M 0 7lN 0 0 1 M lN Pl 0 0 2
解得：
7 M0 Pl 66
2
20 N0 P 33
3
（5）梁的挠曲线方程式：
Pl 7 x 7 x 20 x v 2 3 6EI 33 l 22 l 33 l
x 1 3 l/2( ) l 2
例4 两端刚性固定的梁， 不受外荷重，当其右支座 发生位移 时，用初参数 法求其挠曲线、断面弯矩 与剪力（本例结果将在第 五章矩阵法用到）。
简称双弹性边界。
可沉陷弹性固定端
思考： a. 为什么说 “双弹性边界” 是最一般的边界？ b. A=∞且 ∞对应何种 边界条件？
A
9、 完全自由端（梁端 没有任何支座、任何固 定端）的边界条件：
（ 思考：完全自由端的四 个弯曲要素？）
完全自由端的边界条件：
EIv 0
"
及
EIv " ' 0
解得
ql 0 24EI
3 3 4
3
于是梁的挠曲线方程式为：
ql x qlx qx v 24EI 12EI 24EI
例2 用初参数法求梁的挠曲线方 程。参见下图，该梁一端弹性固 l 定，柔性系数 6 EI ，另一端 自由支持在刚性支座上，梁中点 作用一集中力P。 P
l 6 EI
0
l/2
x
EI , l
y
P
l 6 EI
0
l/2
x
EI , l
2 3 4
y
M0x N0 x qx v v0 0 x 2 EI 6 EI 24EI m P 2 3 a ( x a) b ( x b) 2 EI 6 EI
0 M 0 解：考虑到 v0 0 ， 可写出挠曲线形式为
2
3
4
解： （1）代入左端边界条件的 挠曲线方程式： v 0
0
0 M 0
M 0lx M 0 x N 0 x P l 3 v l /2 (x ) 3EI 2 EI 6EI 6EI 2 （ a）
2
2
3
（2）右端边界条件： " 右端 v (l ) 0及 v(l ) AEIv' " (l ) 。 M lx M x N x P l （3）求导式（a） v (x ) 3EI 2 EI 6EI 6EI 2 2 得： M 0l M0x N0 x P l 2
边界条件……
刚固(端)
边界条件：
v 0 v' 0
（2-10）
3、弹性支座：
k
A
（参阅图2-9）
对比刚性支座：
1）弹性支座定义： 支座在受力后将产生 一个正比于支座力 R 的 挠度 v 。
k
A
2）
弹性支座的“柔性系 数”A：
设弹性支座受到梁作用于该 支座的力（支座力 R ），该支座 在R作用下发生的位移为 v ，则 v /R 定义为 A 。
R v/A
k
A
v AR
v AR
弹性支持端（弹支端）的 边界条件：
v 0
"
EI
及
v AEIv " '
（梁左端用负号）
（2-13）
A A
5、刚性固定在弹性支座 上的边界条件：
图示该边界：
A
刚性固定在弹性支座上的 边界条件：
v ' 0 及 v AEIv " '
（2-17）
该支座对梁的约束情况： 不允许梁端发生挠度， 不限制梁端发生转动。
因此……
因此：梁端的挠度和梁端横 截面上的弯矩都等于零。
边界条件……
简支(端)
边界条件：
v 0
"
v 0
（2-9）
2、刚性固定端（参考图2-8） 简称刚固端： （它的弯曲要素的特定值？）
刚固（端）
图2-8
梁在刚固端处挠度 与横截面的转角均为零。
（2）代入右端边界条件： ' v (l ) 0 及 v(l )
N 0 的方程组： 可得关于初参数M 0 、 2 3 l l M0 N0 2 EI 6 EI 2 l M l N 0 0 0 2 EI EI
由此可解得：
6 EI M0 2 l
M 0 lx M 0 x N 0 x v 6 EI 2 EI 6 EI
2 3
P l 3 (x ) l/2 6 EI 2
（a）
M 0 lx M 0 x N0 x v 6 EI 2 EI 6 EI
2
3
l/2
P l 3 (x ) 6 EI 2
代入右端边界条件： 得：
v(l ) 0, v' ' (l ) 0
'
（2-16）
（梁右端用负号）
思考： 弹性固定端与刚固 端、简支端的关系，对 应的 ,K 值？
没有限制梁端转角的约束存在。
8、弹性固定在弹性支座上 的边界条件： ' v AEIv " ' 及 v EIv" 梁左端： ' v AEIv " ' 及 v EIv" 梁右端： （2-18）
2 17
不包含可沉降\可转动\可滑动支座 3\5
注： 1） “双弹性”边界条件可通过 v AR （2-11） M （2-14） 记忆。 2）梁端集中力、力矩加入边界条 件的情况，可通过《材力》截面 弯矩、剪力的求法来理解。 3）必要时，可作梁端节点受力分 析。
二、 用初参数法求梁挠 曲线方程式举例：
R
右
N
右
N
左
左
R
右
A
A
P
v
k
A
R kv
v AR
k
A
v - AEIv ' ' ' （2-12） v AEIv ' ' '
v EIv A 0
' ''
P
EI ，l
v EIv A
'''
x
左
N -R
v(l ) AEIv' ' ' (l )
NR 右
v AR
v
k
A
v AR
5
6
EI , l
m
7
EI , l
P
EI , l
8
P 9
EI , l
A
A
m
EI , l
10
A
EI , l
P
m
11
A
EI , l
12
A
13
EI , l
14
EI , l
m
EI , l
15
P
A
EI , l
m
16
A
EI , l
17
最一般情况.
16
EI , l
P
vl ' EIvl ' ' m m vl A EIv " ' P l A
有了梁的边界条件，就可 确定梁的挠曲线准通用方程式 （**）中的初参数，得到相应 的单跨梁的挠曲线方程及其他 弯曲要素。
M 0 x2 N0 x3 qx4 v v0 0 x 2 EI 6EI 24EI m P 2 3 ( x a ) ( x b ) a b 2 EI 6EI
0
A
P 0
18
m
A
19
0
最一般情况.
P 0
18
m
0 M0 m
v0 N0 P A
5 19
A
不包含可沉降\可转动\可滑动支座 2\6
梁右端（ x l ）的边界条 件汇总：
图中梁间可能有载荷但未画。
EI , l
1
EI , l
2
EI , l
3
4
EI , l
EI , l
为了迅速、准确地写 出梁端在界条件汇总： 注：1.用初参数表达， 2.图中梁间可能有载荷但未 画。
1 2
0
0 m
3
0
4
0
5
6
0 0
7
0
8 9
P
0
m
0
0
10
A
m
11
0
A
P
12
0
A
m
P
0
13
A
14
0
A
0
15
m
16
0
17
§2.2梁的支座及边界条件
基本概念： 1）梁端边界条件： 梁端弯曲要素的特 定值或弯曲要素之间的 特定关系式。
2）梁端支座情况与梁端边 界条件的关系： 梁端的边界条件取决 于梁端的支座情况，不同 的支座对梁有不同的约束， 从而就有不同的边界条件。
3）研究梁端边界条件的意 义： 确定初参数， 即确定挠曲线方程。
一、各种支座及相应的边界 条件 本节先介绍通常的刚性 支座和刚性固定及铰支端和 刚固端的边界条件，再介绍 弹性支座和弹性固定及弹支 端和弹固端的边界条件。
1、刚性支持端（参见图2-7） 简称刚支端又称铰支端或简 支端：
（它的弯曲要素的特定值？）
铰支(端) 简支(端)
固定铰支座 活动铰支座
简化表达
（梁左端用负号）
图2-11
6、弹性固定 1）定义： 该种固定（端）在受 弯矩作用后将产生一个正 比于弯矩的转角。
M
M k
左
（2-14）
P
M
k
右
记忆该式有利于使用叠加 法、力法、 位移法处理弹性固定端的 情况。
k
M
P
2）弹性固定的“柔性系数” /： M
7、弹性固定端（弹固端）的边 界条件： 由于对梁来说，支反力矩 M就是梁端的弯矩，因此就可 以把梁端转角与弯矩之间的关 系找到。 v0
0
x
y
M0x N0 x qx v v0 0 x 2 EI 6 EI 24EI m P 2 3 a ( x a) b ( x b) 2 EI 6 EI
2
3
4
解： （1）代入左端边界条件的挠曲 线方程式： 3 2 M0x N0 x v 2 EI 6 EI
（a）
例1：用初参数法求两端自由支
持在刚性支座上，受均布荷重 作用梁的挠曲线方程式。 （见下图）
x
y
解：利用方程式（**）：
M0x N0 x qx v v0 0 x 2 EI 6 EI 24EI m P 2 a ( x a) b ( x b) 3 2 EI 6 EI
梁左端边界条件?
2 3 4
N0 ?
考虑到梁左端边界条件有：
v0 M 0 0
考虑到静力平衡条件显然有：
N 0 ql / 2
把已知或已求得的初 参数代入挠曲线方程式得：
qlx qx v 0 x 12EI 24EI
3
4
为求上式中的初参 数 0 ，利用梁右端的边 界条件：v(l ) 0 有： 4 4 ql ql 0 0l 12EI 24EI
12 EI N0 3 l
（6）梁的挠曲线方程式：
3x 2x v l2 l3
2 3
（7）梁的弯矩与剪力方程式：
6 EI 2x M EIv ' ' 2 (1 ) l l
例3 用初参数法求下图 中所示集中力作用的单 跨梁的挠曲线方程式。 3 l l 已知： A
P
3 EI
48EI
P
0
x
M0x N0 x qx v v0 0 x 2 EI 6 EI 24 EI y m P 2 3 a ( x a) b ( x b) 2 EI 6 EI
k
记忆该式有利于使用叠加法、力法、位移法处 理弹性支座的情况。
v AR
v
（2-11）
k
A
R kv
4、弹性支持端（弹支端） 的边界条件： 建立梁端挠度与剪力 之间的关系。
(弯曲要素之间的特定关系式) 弹支端：
A
v 0
"
思考： 梁端作用于支座的力(支座 力）、支反力、梁端剪力。
R R
P
左
或：
（2-19）
v 0
"
v" ' 0
有必要记么？
10、必须指出： a.当梁端有集中外力或外力 矩作用时，梁端的边界条 件就应把作用于该端的集 中外力或外力矩考虑在内。
b.当梁端给定已知的挠度和 转角时梁端的边界条件也 应把它们考虑在内。
c.对于静定梁，用静力平衡 条件确定力的初参数 M 0 , N 0 有时会更方便。
1 3 4 M 0l N 0l Pl 8 （ b） 1 M 0 N 0l Pl 2 求解（b）有:
2 3
1 M 0 Pl 8
5 N0 P 8
挠曲线为： 2 Pl Pl 2 5P 3 v x x x 48EI 16EI 48EI P l 3 l/2 (x ) 6 EI 2
(弯曲要素之间的特定关系式)
v ' EIv' '
EIv' ' P
v '
M k
M
EIv' '
v'
右
P
v ' -EIv' '
M k
k
M
k
（2-15）
M
M k
M
M k
左
弹性固定端（弹固端） 边界条件：
v0
及
v EIv"
2 3 0 0 0 l /2
3
v’
3EI
EI
2 EI
l/2
l /2
(x ) 2 EI 2
M 0 N0 x v' ' EI EI
P l (x ) EI 2
N0 v' ' ' EI
l/2
P EI
（4）据右边界条件可得关于初参 N 0 的方程组： 数 M0 、
40M 0 7lN 0 0 1 M lN Pl 0 0 2
解得：
7 M0 Pl 66
2
20 N0 P 33
3
（5）梁的挠曲线方程式：
Pl 7 x 7 x 20 x v 2 3 6EI 33 l 22 l 33 l
x 1 3 l/2( ) l 2
例4 两端刚性固定的梁， 不受外荷重，当其右支座 发生位移 时，用初参数 法求其挠曲线、断面弯矩 与剪力（本例结果将在第 五章矩阵法用到）。
简称双弹性边界。
可沉陷弹性固定端
思考： a. 为什么说 “双弹性边界” 是最一般的边界？ b. A=∞且 ∞对应何种 边界条件？
A
9、 完全自由端（梁端 没有任何支座、任何固 定端）的边界条件：
（ 思考：完全自由端的四 个弯曲要素？）
完全自由端的边界条件：
EIv 0
"
及
EIv " ' 0
解得
ql 0 24EI
3 3 4
3
于是梁的挠曲线方程式为：
ql x qlx qx v 24EI 12EI 24EI
例2 用初参数法求梁的挠曲线方 程。参见下图，该梁一端弹性固 l 定，柔性系数 6 EI ，另一端 自由支持在刚性支座上，梁中点 作用一集中力P。 P
l 6 EI
0
l/2
x
EI , l
y
P
l 6 EI
0
l/2
x
EI , l
2 3 4
y
M0x N0 x qx v v0 0 x 2 EI 6 EI 24EI m P 2 3 a ( x a) b ( x b) 2 EI 6 EI
0 M 0 解：考虑到 v0 0 ， 可写出挠曲线形式为
2
3
4
解： （1）代入左端边界条件的 挠曲线方程式： v 0
0
0 M 0
M 0lx M 0 x N 0 x P l 3 v l /2 (x ) 3EI 2 EI 6EI 6EI 2 （ a）
2
2
3
（2）右端边界条件： " 右端 v (l ) 0及 v(l ) AEIv' " (l ) 。 M lx M x N x P l （3）求导式（a） v (x ) 3EI 2 EI 6EI 6EI 2 2 得： M 0l M0x N0 x P l 2
边界条件……
刚固(端)
边界条件：
v 0 v' 0
（2-10）
3、弹性支座：
k
A
（参阅图2-9）
对比刚性支座：
1）弹性支座定义： 支座在受力后将产生 一个正比于支座力 R 的 挠度 v 。
k
A
2）
弹性支座的“柔性系 数”A：
设弹性支座受到梁作用于该 支座的力（支座力 R ），该支座 在R作用下发生的位移为 v ，则 v /R 定义为 A 。
R v/A
k
A
v AR
v AR
弹性支持端（弹支端）的 边界条件：
v 0
"
EI
及
v AEIv " '
（梁左端用负号）
（2-13）
A A
5、刚性固定在弹性支座 上的边界条件：
图示该边界：
A
刚性固定在弹性支座上的 边界条件：
v ' 0 及 v AEIv " '
（2-17）
该支座对梁的约束情况： 不允许梁端发生挠度， 不限制梁端发生转动。
因此……
因此：梁端的挠度和梁端横 截面上的弯矩都等于零。
边界条件……
简支(端)
边界条件：
v 0
"
v 0
（2-9）
2、刚性固定端（参考图2-8） 简称刚固端： （它的弯曲要素的特定值？）
刚固（端）
图2-8
梁在刚固端处挠度 与横截面的转角均为零。
（2）代入右端边界条件： ' v (l ) 0 及 v(l )
N 0 的方程组： 可得关于初参数M 0 、 2 3 l l M0 N0 2 EI 6 EI 2 l M l N 0 0 0 2 EI EI
由此可解得：
6 EI M0 2 l
M 0 lx M 0 x N 0 x v 6 EI 2 EI 6 EI
2 3
P l 3 (x ) l/2 6 EI 2
（a）
M 0 lx M 0 x N0 x v 6 EI 2 EI 6 EI
2
3
l/2
P l 3 (x ) 6 EI 2
代入右端边界条件： 得：
v(l ) 0, v' ' (l ) 0
'
（2-16）
（梁右端用负号）
思考： 弹性固定端与刚固 端、简支端的关系，对 应的 ,K 值？
没有限制梁端转角的约束存在。
8、弹性固定在弹性支座上 的边界条件： ' v AEIv " ' 及 v EIv" 梁左端： ' v AEIv " ' 及 v EIv" 梁右端： （2-18）
2 17
不包含可沉降\可转动\可滑动支座 3\5
注： 1） “双弹性”边界条件可通过 v AR （2-11） M （2-14） 记忆。 2）梁端集中力、力矩加入边界条 件的情况，可通过《材力》截面 弯矩、剪力的求法来理解。 3）必要时，可作梁端节点受力分 析。
二、 用初参数法求梁挠 曲线方程式举例：
R
右
N
右
N
左
左
R
右
A
A
P
v
k
A
R kv
v AR
k
A
v - AEIv ' ' ' （2-12） v AEIv ' ' '
v EIv A 0
' ''
P
EI ，l
v EIv A
'''
x
左
N -R
v(l ) AEIv' ' ' (l )
NR 右
v AR
v
k
A
v AR
5
6
EI , l
m
7
EI , l
P
EI , l
8
P 9
EI , l
A
A
m
EI , l
10
A
EI , l
P
m
11
A
EI , l
12
A
13
EI , l
14
EI , l
m
EI , l
15
P
A
EI , l
m
16
A
EI , l
17
最一般情况.
16
EI , l
P
vl ' EIvl ' ' m m vl A EIv " ' P l A
有了梁的边界条件，就可 确定梁的挠曲线准通用方程式 （**）中的初参数，得到相应 的单跨梁的挠曲线方程及其他 弯曲要素。
M 0 x2 N0 x3 qx4 v v0 0 x 2 EI 6EI 24EI m P 2 3 ( x a ) ( x b ) a b 2 EI 6EI
0
A
P 0
18
m
A
19
0
最一般情况.
P 0
18
m
0 M0 m
v0 N0 P A
5 19
A
不包含可沉降\可转动\可滑动支座 2\6
梁右端（ x l ）的边界条 件汇总：
图中梁间可能有载荷但未画。
EI , l
1
EI , l
2
EI , l
3
4
EI , l
EI , l
为了迅速、准确地写 出梁端在界条件汇总： 注：1.用初参数表达， 2.图中梁间可能有载荷但未 画。
1 2
0
0 m
3
0
4
0
5
6
0 0
7
0
8 9
P
0
m
0
0
10
A
m
11
0
A
P
12
0
A
m
P
0
13
A
14
0
A
0
15
m
16
0
17