(完整版)对勾函数详细分析
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对勾函数的性质及应用
一、对勾函数b y ax x =+)0,0(>>b a 的图像与性质:
1. 定义域:),0()0,(+∞⋃-∞
2. 值域:),2[]2,(+∞⋃--∞ab ab
3. 奇偶性:奇函数,函数图像整体呈两个“对勾”的形状,
且函数图像关于原点呈中心对称,即0)()(=-+x f x f 4. 图像在一、三象限, 当0x >时,b
y ax x
=+
≥ab 2(当且仅当b x a ,即)(x f 在x=a b 时,取最小值ab 2
由奇函数性质知:当x<0时,)(x f 在x=a
b -时,取最大值ab 2-
5. 单调性:增区间为(∞+,a b ),(a b -∞-,),减区间是(0,a b ),(a
b -,0)
二、对勾函数的变形形式 类型一:函数b
y ax x
=+
)0,0(<
3.奇偶性:奇函数,函数图像整体呈两个“对勾”的形状.
4.图像在二、四象限, 当x<0时,)(x f 在x=a
b 时,取
最小值ab 2;当0x >时,)(x f 在x=a
b -时,取最大值ab 2-
5.单调性:增区间为(0,a
b ),(a b -,0)减区间是(∞+,a b ),(a
b -∞-,),
类型二:斜勾函数b
y ax x
=+)0(
1.定义域:),0()0,(+∞⋃-∞
2.值域:R
3.奇偶性:奇函数
4.图像在二、四象限,无最大值也无最小值.
5.单调性:增区间为(-∞,0),(0,+∞).
②0,0>
1.定义域:),0()0,(+∞⋃-∞
2.值域:R
3.奇偶性:奇函数
4.图像在二、四象限,无最大值也无最小值.
5.单调性:减区间为(-∞,0),(0,+∞).
类型三:函数)0()(2>++=ac x
c
bx ax x f 。
此类函数可变形为b x
c ax x f ++=)(,可由对勾函数x
c
ax y +
=上下平移得到 练习1.函数x
x x x f 1
)(2++=的对称中心为
类型四:函数)0,0()(≠>++
=k a k
x a
x x f 此类函数可变形为k k x a k x x f -+++=)()(,则)(x f 可由对勾函数x
a
x y +=左右平移,上下平移得到 练习 1.作函数21
)(-+=x x x f 与x x x x f +++=2
3)(的草图 2.求函数421
)(-+
=x x x f 在),2(+∞上的最低点坐标 3. 求函数1
)(-+=x x
x x f 的单调区间及对称中心
类型五:函数)0,0()(2>≠+=b a b x ax x f 。此类函数定义域为R ,且可变形为x b x a x
b
x a x f +
=+=2)( a.若0>a ,图像如下:
1.定义域:),(+∞-∞ 2. 值域:]21,21[b
a b
a ⋅
⋅
-
3. 奇偶性:奇函数.
4. 图像在一、三象限.当0x >时,)(x f 在b x =时,取最大值b a 2,当x<0
时,)(x f 在x=b -时,取最小值b
a 2-
5. 单调性:减区间为(∞+,b ),(b -∞-,);增区间是
],[b b -
练习1.函数
1)(2+=
x x
x f 的在区间[)2,+∞上的值域为