高中数学第一章数列等比数列的前n项和课件

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第一章 数列
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2．在利用公式时注意 Sn＝a111－－qqn中的 qn 的 n 是指项的个
数，如等比数列 4,8,16，…，2n＋1 的前 n 项和为 Sn＝411－－22n，
若求
4,8,16，…，2n(n≥2)的和实际共有
n－1
项，则
S＝4
1－2n－ 1－2
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[思路点拨] (1) Sn＝a111－－qqn，an＝a1.qn－1 ―代―入―已――知―量→ 列方程组 ―→ 求解
(2) 据an＝a1qn－1 ―代―换→ 列方程组 ―→ 求a1，q ―→ 求a4和S5 (3) 据Sn＝a111－－qqn ―代―入―数―据→ 求出a1 ―再―用―公―式→ 求S8
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[边听边记] (1)由 Sn＝a111－－qqn，an＝a1qn－1 以及已知条件
得 189＝a111－－22n， 96＝a1·2n－1，
∴a1·2n＝192，∴2n＝1a912. ∴189＝a1(2n－1)＝a11a912－1，∴a1＝3. 又∵2n－1＝936＝32，∴n＝6.
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4．设数列{an}是等比数列，其前 n 项和为 Sn，且 S3＝3a3，
求公比 q 的值． 解析： 当 q＝1 时，S3＝3a1＝3a3，符合题目条件；
当 q≠1 时，a111－－qq3＝3a1q2，
因为 a1≠0，所以 1－q3＝3q2(1－q)， 因为 q≠1，
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2．在等比数列{an}中，公比 q＝－2，S5＝44，则 a1 的值为
() A.4
B．－4
C．2
D．－2
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解析： S5＝a111－－qq5， ∴44＝a1[11－－－－225]. ∴a1＝4，故选 A. 答案： A
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【提醒】 在应用公式求和时，应注意公式的使用条件为公 比 q≠1，而当公比 q＝1 时，应按常数列求和，即 Sn＝na1.因此， 对含有字母参数的等比数列求和时，应分公比 q＝1 与 q≠1 这两 种情况进行讨论．
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[问题2] 怎样理解等比数列前n项和公式？ [提示] 等比数列(q≠1)的前 n 项和公式有两种形式，即 Sn ＝a111－－qqn＝a11－－aqnq(q≠1)，与通项公式 an＝a1qn－1 中，共涉及 a1，q，an，n，Sn 五个量，已知其中的三个量，通过解方程组， 就可以求出其余的两个量．
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(2)设公比为 q，由通项公式及已知条件得
a1＋a1q2＝10， a1q3＋a1q5＝54，
即aa11q13＋ 1＋q2q＝2＝1054，.
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3．2 等比数列的前n项和
第一课时 等比数列的前n项和
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[问题 1] 如何理解等比数列前 n 项和公式的推导？ [提示] 方法一：比例式方程的思想(q≠1) aan－n1＝aann－－21＝…＝aa21＝q ⇒ SSnn－ －aa1n＝q ⇒ Sn＝a11－－aqnq 方法二：错位相减法(q≠1)
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等比数列的前n项和公式
已知量 首项、公比与项数 首项、末项与公比
Sn＝ 求和公式 _n_a__1 _q＝1
a111－－qqnq≠1
__n_a_1_q＝1 Sn＝a11－－aqnqq≠1
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等比数列前 n 项和公式 1．公式的使用条件．当明确公比 q≠1 时，可以直接运用公 式 Sn＝a111－－qqn或 Sn＝a11－－aqnq求和，否则要对公比 q 进行分类 讨论．q＝1 时 Sn＝na1，q≠1 时，Sn＝a111－－qqn.
所以 1－q≠0，化简得 1＋q＋q2＝3q2，
解得 q＝－12或 q＝1(舍)．
故 q 的值为 1 或－12.
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等比数列中的基本运算 在等比数列{an}中， (1)若 Sn＝189，q＝2，an＝96，求 a1 和 n； (2)若 a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求 a4 和 S5； (3)若 q＝2，S4＝1，求 S8.
1 .
3．在 q≠1 时，前 n 项和有两种表达形式，注意条件不同，
对求和应灵活运用．在公式中共涉及了五个基本量，a1、q、n、 an、Sn，知道其中三个可以求出另外两个．
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1．在等比数列{an}中，若 a1＝1，a4＝18，则该数列的前 10 项和为( )
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3．设{an}是公比为正数的等比数列，若 a1＝1，a5＝16，则 数列{an}前 7 项的和为________．
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解析： ∵公比 q4＝aa51＝16，且 q＞0， ∴q＝2，∴S7＝11－－227＝127. 答案： 127
A.2－218
B．2－219
C．2－2110
D．2－2111
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解析： 因为 a4＝a1q3＝q3＝18，
所以 q＝12，所以 答案： B
S10＝1－1－121210＝2－219.故选
B.
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