临界极值问题专项练习答案

临界极值问题专项练习答案

1.解析 物体在临界位置Q 点，弹簧被压缩，压缩量为x ＝L －AQ ，受力图如图(a)，物块有下滑趋势，最大静摩擦力F m 沿斜面向上；物体在临界位置P 点，弹

簧被拉长，伸长量为x ，物块有上滑趋势，最大静摩擦力F m 沿斜面向下，受力图如图(b)． 由上两图分别列出：

F m ＝k(L －AQ)＋Gsin 60° ① F m ＝k(AP －L)－Gsin 60° ②

解①②式得：L ＝⎝

⎛⎭⎪⎫

0.15－320 m ，代入①式得：F m

＝7 N.

2解：以球为研究对象：当球刚要离开槽时，小球受到重力mg 和A 点的支持力N ，受力如图． 根据牛顿第二定律得： mgcot θ=ma 得：a=gcot θ

再对小球和槽组成的整体研究，得到： F=（M+m ）a=（M+m ）gcot θ

答：人手至少用（M+m ）gcot θ的恒力F 垂直向下拉木块B 端，球才可离槽． 3.为保证两物体随车一起向右加速运动，且弹簧的伸长量最大，A 、B 两物体所受静摩擦

力应达到最大，方向分别向右、向左。 (4-T)/1kg=(T-1)/0.5kg (两物体加速度相等) x=T/k x=10cm 。

4解：由题意知：A 的运动趋势有两种．

（1）当A 有向下运动的趋势时，设小车的加速度为a 1，此时绳的拉力为T 1 则对A ：F N1=m A a 1 …① m A g=uF N +T 1…② 对B ：T 1=m B a 1 …③

由①②③得：m A g=um A a 1+m B a 1 得a ：1=4m/s 2

（2）当A 有向上运动的趋势时，设小车的加速度为a 2，此时拉力为T 2则 对A ：F N2=m A a 2 …④ m A g+uF N2=T 2…⑤ 对B ：T 2=m B a 2…⑥

由④⑤⑥得：m A g+um A a 2=m B a 2 a 2=6.7 m/s 2 ∴4 m/s 2≤a ≤6.7 m/s 2

答：小车的加速度应为4 m/s 2≤a ≤6.7 m/s 2．

5.解析 (1)v ＝v 02－2aL ＝v 02－2μgL ＝2 m/s.包的落地点距B 端的水平距离

为x ＝vt ＝v 2h g ＝2×2×0.45

10

m ＝0.6 m.

(2)由(1)问得当传送带静止不动时，包到达B 点的速度为2 m/s.若传送带以2 m/s 的速度运动，则包恰好到达B 点时与传送带有共同速度，此时落地的水平距离仍为0.6 m ；若传送带的速度v 大于2 m/s ，则当包减速到v 时就和传送带一起运动，因速度大于2 m/s ，所以落地的水平距离大于0.6 m ．综上所述，当皮带的速度小于等于2 m/s 时，旅行包落地点距B 端的水平距离始终为0.6 m. 当皮带轮ω＝40 rad/s 时，传送带v ＝r ω＝8 m/s ，则旅行包速度减到8 m/s

后，就随传送带一起运动，所以旅行包抛出的速度为8 m/s ，x ＝vt ＝v 2h

g

＝8

×0.3＝2.4 m

(3)当传送带的速度2 m/s ≤v ≤10 m/s 的范围内时，包落地前水平方向上的速度等于传送带的速度，落地点距B 端的水当传送带的速度大于10 m/s 后，旅行包加速直至与传送带有共同速度后再抛出，旅行包加速到B 点恰好与传送带有共同速度的临界速度为v ′，由v ′2－v 2＝2 μgL 得v ′＝14

m/s.

当传送带的速度大于14 m/s 后，旅行包到达B 点也没有加速到传送带的速度，包的速度总等于14 m/s ，平抛的水

平距离x ＝v ′·t ＝14×2h

g

＝4.2米．见图,平距离x

＝vt.

答案 (1)0.6 m (2)≤2 m/s 2.4 m (3)见解析

6解析 (1)米袋在AB 上加速时的加速度a 0＝μmg

m ＝μg ＝5 m/s 2

米袋的速度达到v 0＝5 m/s 时，滑行的距离s 0＝v 0

22a 0

＝2.5 m ＜AB ＝3 m

因此米袋在到达B 点之前就有了与传送带相同的速度

设米袋在CD 上运动的加速度大小为a ，由牛顿第二定律得 mgsin θ＋μmgcos θ＝ma 代入数据得a ＝10 m/s 2

所以米袋沿传送带上升的最大距离s ＝v 02

2a

＝1.25 m.

(2)设CD 部分运转速度为v 1时米袋恰能到达D 点(即米袋到达D 点时速度恰好为零)，则米袋速度减为v 1之前的加速度为a 1＝－g(sin θ＋μcos θ)＝－10 m/s 2 米袋速度小于v 1至减为零前的加速度为 a 2＝－g(sin θ－μcos θ)＝－2 m/s 2 由v 12－v 022a 1＋0－v 122a 2

＝4.45 m

解得v 1＝4 m/s ，即要把米袋送到D 点，传送带CD 部分的速度 v CD ≥v 1＝4 m/s

米袋恰能运到D 点所用时间最长为：

t max ＝v 1－v 0a 1＋0－v 1

a 2

＝2.1 s

若CD 部分传送带的速度较大，使米袋沿CD 上滑时所受摩擦力一直沿皮带向上，则所用时间最短，此种情况米袋加速度一直为a 2

由s

CD ＝v

t

min

＋

1

2

a

2

t

min

2，得t

min

＝1.16 s

所以，米袋从C端到D端所用的时间t的范围为1.16 s≤t≤2.1 s.

答案(1)1.25 m (2)v≥4 m/s 1.16 s≤t≤2.1 s

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8析与解这是一道有关静电场的综合题。让学生对小球进行受力分析,带电小球受竖直向下的重力、竖直向上的电场力、沿管壁的摩擦力、垂直于管壁的支持力。通过计算可知电场力qE> mg,二力的合力方向竖直向上。学生可能会一时难以突破固有的习惯思维模式的限制,认为小球会静止于最低点A或C。这时利用题4让学生分析比较,引导学生把本题中电场力和重力的合力等效为题4中的重力,同时将图改画成图5的样子,等效替代,问题迎刃而

9（1）M与m组成的系统作简谐运动，Kx=（M+m）a

在B点Kb= （M+m）a b,ab= Kb/（M+m）