第1讲 二次函数专题

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(2)解答的一般步骤 ①找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系; ②列出函数关系式,并确定自变量的取值范围; ③应用二次函数的图象及性质解决实际问题; ④检验结果的合理性,看其是否符合实际意义.
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2.二次函数与几何知识的综合应用 二次函数与几何知识的综合应用题型非常广泛,常见的类型有存在性问题、动 点问题、动手操作问题,关联知识点有方程、函数、三角形、相似、四边形等, 解决这类综合题,关键是分析题目中隐含的数形结合思想、转化与化归思想、 方程思想等建立数学模型,具体策略如下: (1)存在性问题注意灵活运用数形结合思想,可以先假设存在,借助条件求解. (2)动点问题通常利用数形结合、分类和化归思想,借助于图形,把握图形运动的 全过程,选取特殊点作为研究的突破口,建立函数或者方程模型求解.
1.二次函数的实际应用 (1)实际应用的类型:①涉及拱桥、隧道、投篮等问题,一般情况下用待定系数法 设二次函数的顶点式解答.②涉及利润增长(或下降)等问题,一般情况下设总利 润为y,根据总利润y=单位利润×销售数量列函数关系式,求得函数最值.③涉及 图形面积问题,以三角形为例,可设三角形的底边长为自变量x,面积为函数S,根 据三角形面积公式列函数关系式进而求解实际问题.
考点聚焦
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考点一 二次函数的图象和性质 考点二 二次函数图象的平移 考点三 用待定系数法求二次函数表达式 考点四 二次函数与方程、不等式的关系 考点五 二次函数的应用
考点一 二次函数的图象和性质
中考解题指导 常考题型归纳如下: 题型一:确定二次函数图象上点的坐标; 题型二:确定二次函数图象的最值和对称轴; 题型三:根据二次函数的性质比较函数值的大小; 题型四:二次函数的图象和性质的综合考查.
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知识点一 二次函数的定义 知识点二 二次函数的图象和性质 知识点三 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像特征与系数a,b,c的关系 知识点四 二次函数图象的平移 知识点五 二次函数表达式的求法 知识点六 二次函数的应用(高频考点,复习重点,难点)
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变式2-1 (2019兰州)已知点A(1,y1),B(2,y2)在抛物线y=-(x+1)2+2上,则下列结论 正确的是 ( ) A.2>y1>y2 B.2>y2>y1 C.y1>y2>2 D.y2>y1>2
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考向3 二次函数的图象与系数的关系 例3 (2019河池)如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1,则下列结论中,错 误的是 ( )
知识点一 二次函数的定义
一般地,形如① y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0) 的函数叫做二次函数,其中 x是自变量,a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项. ▶温馨提示 二次函数的一般形式的结构分析:(1)含自变量的代数式,是整式; (2)自变量x的最高次数为2;(3)二次项系数a≠0.
考点二 二次函数图象的平移 例4 (2019济宁)将抛物线y=x2-6x+5向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位 长度,得到的抛物线的表达式是 ( ) A.y=(x-4)2-6 B.y=(x-1)2-3 C.y=(x-2)2-2 D.y=(x-4)2-2
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变式4-1 抛物线y=x2+4x+1可以由抛物线y=x2平移得到,则下列平移过程正确的 是 ( ) A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位 B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位 C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位 D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位
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2.在平面直角坐标系中,把一条抛物线先向上平移3个单位长度,然后绕原点旋
转180°得到抛物线y=x2+5x+6,则原抛物线的表达式是 ( )
A.y=-
x-
5 2
2
- 141
B.y=-
x
5 2
2
- 141
C.y=-
x-
5 2
2
- 14
D.y=-
x
5 2
增减性
最值
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续表
a>0
a<0
在对称轴的左侧,即当x<- 2ba 时,y随x的增大而 在对称轴的左侧,即当x<- 2ba 时,y随x的增大而
③ 减小 ;在对称轴的右侧,即当x>- b 时,y随 ⑤ 增大 ;
x的增大而④ 增大
2a
在对称轴的右侧,即当x>- b 时,y随x的增大而
2a
⑥ 减小
抛物线有最低点,当x=- 2ba 时,y有最小值,y最小=
4ac-b2
4a
抛物线有最高点,当x=- 2ba 时,y有最大值,y最大=
4ac-b 2
4a
2.二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象与性质
a>0
图象
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a<0
开口方向 顶点坐标
对称轴 增减性
最大值或 最小值
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第1讲 二次函数
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【备考策略】 1.本讲知识的高频考点是二次函数的图象和性质,函数表达式的求解以及二次函数的应用. 2.预计2020年的命题方向,继续考查二次函数的图象和性质,注重知识点复习的整体掌握,平时训练中注重过程和方法的总结.利用二次函数解决 实际问题,建立二次函数模型,找出题目中的等量关系是解决二次函数实际应用问题的关键.
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考向2 二次函数与不等式的关系 例7 (2019岳阳)对于一个函数,自变量x取a时,函数值y也等于a,我们称a为这个 函数的不动点.如果抛物线y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1,x2,且x1<1<x2,则c的 取值范围是 ( ) A.c<-3 B.c<-2
1
C.c< 4 D.c<1
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考向1 二次函数的图象和性质
例1 (2017泰安)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的y与x的部分对应值如下表:
x
-1
0
1
3
y
-3
1
3
1
有下列结论:①抛物线的开口向下;②其图象的对称轴为x=1;③当x<1时,函 数值y随x的增大而增大;④方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根大于4.其中正确的结 论有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
向上
向下
(h,k)
直线x=⑦ h
在对称轴的左侧,即当x<h时,y随x的增大而⑧ 减小 ;在对称轴的右侧,即当x>h时,y随x的
增大而⑨ 增大
在对称轴的左侧,即当x<h时,y随x的增大而⑩ 增大 ;在对称轴的右侧,即当x>h时,y随x的
增大而 减小
当x=h时,y有最小值,y最小=k
当x=h时,y有最大值,y最大=k
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3.交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标,则设为交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠ 0),将第三点的坐标或其他已知条件代入,求出待定系数a的值,进而得到表达式.
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知识点六 二次函数的应用(高频考点,复习重点,难点)
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变式7-1 二次函数y=x2+bx的图象如图所示,对称轴为直线x=1.若方程x2+bx-t=0 (t为实数)在-1<x<4上有解,则t的取值范围是 ( )
A.t≥-1 B.-1≤t<3 C.-1≤t<8 D.3<t<8
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一、选择题 1.(2019衢州)二次函数y=(x-1)2+3图象的顶点坐标是 ( ) A.(1,3) B.(1,-3) C.(-1,3) D.(-1,-3)
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考点三 用待定系数法求二次函数表达式
例5 如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(2,9),与y轴交 于点A(0,5),与x轴交于点E,B,求该抛物线的表达式.
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变式5-1 在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)过B(-2,6),C(2,2)两 点.试求抛物线的表达式.
2
+ 14
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3.(2018河北)对于题目“一段抛物线L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)与直线l:y=x+2有唯 一公共点.若c为整数,确定所有c的值.”甲的结果是 c=1,乙的结果是c=3或4,则 () A.甲的结果正确 B.乙的结果正确 C.甲、乙的结果合在一起才正确 D.甲、乙的结果合在一起也不正确
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4.(2019青岛)已知反比例函数y= axb 的图象如图所示,则二次函数y=ax2-2x和一次
函数y=bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ( )
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知识点三 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象特征与系数a,b,c的关系
符号
图象的特征
a
a>0
开口向上
a<0
开口向下
b
ab>0(a,b同号)
对称轴在y轴左侧
b=0
对称轴为y轴
ab<0(a,b异号)
对称轴在y轴右侧
c Δ=b2-4ac
符号 c>0 c=0 c<0 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
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考点四 二次函数与方程、不等式的关系
考向1 二次函数与方程的关系 例6 (2019泰安)若抛物线y=x2+bx-5的对称轴为直线x=2,则关于x的方程x2+bx-5 =2x-13的解为 x1=2,x2=4 .
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变式6-1 若二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点(-1,0),则方程ax2-2ax+c=0的解 为 ( ) A.x1=-3,x2=-1 B.x1=1,x2=3 C.x1=-1,x2=3 D.x1=-3,x2=1
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图象的特征 与y轴正半轴相交
经过原点 与y轴负半轴相交 与x轴有两个交点 与x轴有唯一交点
与x轴没有交点
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知识点四 二次函数图象的平移
1.平移步骤 (1)将二次函数的一般式变形为顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0); (2)保持抛物线的形状不变,依据平移规律,平移顶点坐标(h,k)即可.
2.平移规律
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知识点五 二次函数表达式的求法
1.一般式y=ax2+bx+c(a≠0) 若已知条件是图象上的三个点的坐标,则设为一般式y=ax2+bx+c(a≠0),将已知 条件代入,求出a,b,c的值,进而得到表达式. 2.顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0) 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴与最大值或最小值,则设为顶点式y= a(x-h)2+k(a≠0),将已知条件代入,求出待定系数的值,进而得到表达式.
知识点二 二次函数的图象和性质
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
二次函数y=
a>0
ax2+bx+c(a≠0)
图象
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a<0
三要素
开口方向 对称轴
顶点坐标
向上
向下
直线x=- b
2a
， b
② --2a
4ac-b2
,4a
二次函数y= ax2+bx+c(a≠0)
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变式1-1 (2019温州)已知二次函数y=x2-4x+2,关于该函数在-1≤x≤3的取值范 围内,下列说法正确的是( ) A.有最大值-1,有最小值-2 B.有最大值0,有最小值-1 C.有最大值7,有最小值-1 D.有最大值7,有最小值-2
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考向2 比较函数值的大小 例2 二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示,若点A(x1,y1),B(x2,y2)在此函数图象上,且 x1<x2<1,则y1与y2的大小关系是 ( ) A.y1≤y2 B.y1<y2 C.y1≥y2 D.y1>y2
A.ac<0 B.b2-4ac>0 C.2a-b=0 D.a-b+c=0
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变式3-1 (2018泰安)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则反比例函数y= ax 与
一次函数y=ax+b在同一坐标系内的大致图象是 ( )
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