结构动力学公式归纳总结
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
0
−
������)������������
h.杜哈梅数值积分(当������(������)不可积时):
无阻尼体系:
������������������������(������ − ������) = sin(������������ − ������������) = ������������������������������������������������������������ − ������������������������������������������������������������
0
−
������)������������
其中ℎ(������ − ������) = 1 ������������������������(������ − ������)
������������
有阻尼稳态解:
������(������)
=
1 ������������������
������
∫ ������(������)������−������������(������−������)������������������������������(������
随机动荷载。所谓非随机动荷载,即荷载的变化规律我们是已经完全掌握的,可以绘制出
荷载随时间变化曲线的荷载,这类荷载一般进行所谓的数定分析以获得荷载-位移曲线。而
随机荷载是指荷载随时间的变化规律我们是无法事先知道的,比如我们需要研究的风荷
载,对这类荷载一般需要采用随机振动理论去进行求解。
下面简单概括结构动力学的理论公式:
b.有阻尼自由振动:
������������̈ (������) + ������������̇ (������) + ������������(������) = 0
������(������) = ������−������������������(������������������������������������������ + ������������������������������������������)
−∞
exp(���������̅���������)
���������̅���
1∞
������(������)
=
2������
−
������2)
sin
���̅���������
−
2���������������������������������̅���������]
= ������−������������������(������������������������������������ + ������������������������������������) + ������sin(���̅��������� − ������)
其中������������ = ������√1 − ������2
c.无阻尼简谐荷载:
d.阻尼简谐荷载:
������������̈ (������) + ������������(������) = ������0���������������������̅���������
������(������)
∫
0
������(������)������������������ ������������ ������������������
1
∞1
������(������)
=
������
(������0
+
∑
������=1
1
−
���������2���
(���������������������������������������̅̅���̅1̅������
������̅(������)
=
1 ������������
������
∫ ������(������)������������������������������������������
0
=
1 ������������
������
∫ ������(������)������������
0
=
������ ������������
+
������������������������������������
���̅̅���̅1̅������))
有阻尼稳态解:
������(������)
=
1 ������
(������0
+
∞
∑
������=1
(1
−
1 ���������2��� )2 +
(2������������)2
{[������������2������������
1
1
当������ = 2时,为梯形求和法则:
������
∑(������) = ������0 + 2������1 + 2������2 + ⋯ + 2������������−1 + ������������
2
������
= ∑(������ − Δ������) + [������(������ − Δ������)������������������������(������ − Δ������) + ������(������)������������������������������]
1、单自由度体系
a.无阻尼自由振动:
������������̈ (������) + ������������(������) = 0
������(������) = ������������������������������������ + ������������������������������������
1 ������������
������
∫ ������(������)������������������������������������������
0
=
������������������������������������̅(������)
−
���������������������������������̅���(������)
+
������������
(1
−
������2)]���������������������������̅̅���̅1̅������
+ [������������(1 − ������2) − ������������2������������]���������������������������̅̅���̅1̅������})
其中������
=
������0 ������
[(1
−
������2)2
+
(2������������)2]−12,������
=
tan−1
2������������ 1−������2
e.周期性荷载傅里叶展开:
无阻尼稳态解:
∞
2������������
∞
2������������
������(������) = ������0 + ∑ ������������������������������
−∞
其中������������
=
1 ������������
∫0������������
������(������) exp(−���������������̅̅���̅1̅������) ������������
,������(���������̅̅���̅1̅)
=
1 ������(−������2������12+2������������������1������+1)
������(������)
=
������������������������������
1 ������������
������
∫ ������(������)������������������������������������������
0
−
������������������������������
1 ������
������
∑(������)
������
当������ = 1时,为简单求合法:
������
������
∑(������) = ������0 + ������1 + ������2 + ⋯ + ������������−1 = ∑(������ − Δ������) + ������(������ − Δ������)������������������������(������ − Δ������)
=
������������������������������������
+
������������������������������������
+
������0 ������
1
1 − ������2
���������������������̅���������
������������̈ (������) + ������������(������) + ������������(������) = ������0���������������������̅���������
f.周期性荷载傅里叶级数展开的指数形式:
∞
������(������) = ∑ ������������exp(���������������̅̅���̅1̅������)
−∞
∞
������(������) = ∑ ������(������ ���̅̅���̅1̅)������������ exp(���������������̅̅���̅1̅������)
g.任意荷载的杜哈梅积分:
无阻尼稳态解:
������(������)
=
1 ������������
������
∫ ������(������)������������������������(������
0
−
������)������������
=
������
∫ ������(������)ℎ(������
3
+ 4������(������ − Δ������)cosw(t − Δτ) + p(t)coswt]
���̅���(������)的积分同上。
有阻尼体系的数值积分与无阻尼体系差不多,这里不再详述。
i.任意荷载的傅里叶变换(频域法):
������(������)
=
1 2������
∞
∫ ������(���̅���)
结构动力学公式总结
在结构力学课程中我们学习了静力荷载的计算,并学习了有限单元法进行计算机计
算。而很多实际中有很多荷载是随时间发生变化的,有些规律性变化的荷载作用于结构
上,会产生远远大于与其荷载绝对值相等的静力荷载引起的结构响应,即产生结构的动力
效应,这需要用结构动力学的知识来求解。
动荷载即荷载的大小、方向或者作用点随时间变化的荷载,又可分为非随机动荷载和
2������������
������������
=
������������
∫
0
������(������)������������������ ������������ ������������������
2 ������������
2������������
������������
=
������������
2
当������ = 3时,为 simpson 法则(N 必须为偶数):
������
∑(������) = ������0 + 4������1 + 2������2 + ⋯ + 4������������−1 + ������������
3
������
= ∑(������ − 2Δ������) + [������(������ − 2Δ������)������������������������(������ − 2Δ������) + ������(������)������������������������������
������=1
������������
������ + ∑ ������������������������������
������=1
������������
������
1 ������������
������0
=
������������
∫
0
������(������)������������
2 ������������
������(������)
=
������−������������������(������������������������������������
+
������������������������������������)
+
������0 ������
[(1
−
������2)2
+
(2������������)2]−1[(1
−
������)������������
h.杜哈梅数值积分(当������(������)不可积时):
无阻尼体系:
������������������������(������ − ������) = sin(������������ − ������������) = ������������������������������������������������������������ − ������������������������������������������������������������
0
−
������)������������
其中ℎ(������ − ������) = 1 ������������������������(������ − ������)
������������
有阻尼稳态解:
������(������)
=
1 ������������������
������
∫ ������(������)������−������������(������−������)������������������������������(������
随机动荷载。所谓非随机动荷载,即荷载的变化规律我们是已经完全掌握的,可以绘制出
荷载随时间变化曲线的荷载,这类荷载一般进行所谓的数定分析以获得荷载-位移曲线。而
随机荷载是指荷载随时间的变化规律我们是无法事先知道的,比如我们需要研究的风荷
载,对这类荷载一般需要采用随机振动理论去进行求解。
下面简单概括结构动力学的理论公式:
b.有阻尼自由振动:
������������̈ (������) + ������������̇ (������) + ������������(������) = 0
������(������) = ������−������������������(������������������������������������������ + ������������������������������������������)
−∞
exp(���������̅���������)
���������̅���
1∞
������(������)
=
2������
−
������2)
sin
���̅���������
−
2���������������������������������̅���������]
= ������−������������������(������������������������������������ + ������������������������������������) + ������sin(���̅��������� − ������)
其中������������ = ������√1 − ������2
c.无阻尼简谐荷载:
d.阻尼简谐荷载:
������������̈ (������) + ������������(������) = ������0���������������������̅���������
������(������)
∫
0
������(������)������������������ ������������ ������������������
1
∞1
������(������)
=
������
(������0
+
∑
������=1
1
−
���������2���
(���������������������������������������̅̅���̅1̅������
������̅(������)
=
1 ������������
������
∫ ������(������)������������������������������������������
0
=
1 ������������
������
∫ ������(������)������������
0
=
������ ������������
+
������������������������������������
���̅̅���̅1̅������))
有阻尼稳态解:
������(������)
=
1 ������
(������0
+
∞
∑
������=1
(1
−
1 ���������2��� )2 +
(2������������)2
{[������������2������������
1
1
当������ = 2时,为梯形求和法则:
������
∑(������) = ������0 + 2������1 + 2������2 + ⋯ + 2������������−1 + ������������
2
������
= ∑(������ − Δ������) + [������(������ − Δ������)������������������������(������ − Δ������) + ������(������)������������������������������]
1、单自由度体系
a.无阻尼自由振动:
������������̈ (������) + ������������(������) = 0
������(������) = ������������������������������������ + ������������������������������������
1 ������������
������
∫ ������(������)������������������������������������������
0
=
������������������������������������̅(������)
−
���������������������������������̅���(������)
+
������������
(1
−
������2)]���������������������������̅̅���̅1̅������
+ [������������(1 − ������2) − ������������2������������]���������������������������̅̅���̅1̅������})
其中������
=
������0 ������
[(1
−
������2)2
+
(2������������)2]−12,������
=
tan−1
2������������ 1−������2
e.周期性荷载傅里叶展开:
无阻尼稳态解:
∞
2������������
∞
2������������
������(������) = ������0 + ∑ ������������������������������
−∞
其中������������
=
1 ������������
∫0������������
������(������) exp(−���������������̅̅���̅1̅������) ������������
,������(���������̅̅���̅1̅)
=
1 ������(−������2������12+2������������������1������+1)
������(������)
=
������������������������������
1 ������������
������
∫ ������(������)������������������������������������������
0
−
������������������������������
1 ������
������
∑(������)
������
当������ = 1时,为简单求合法:
������
������
∑(������) = ������0 + ������1 + ������2 + ⋯ + ������������−1 = ∑(������ − Δ������) + ������(������ − Δ������)������������������������(������ − Δ������)
=
������������������������������������
+
������������������������������������
+
������0 ������
1
1 − ������2
���������������������̅���������
������������̈ (������) + ������������(������) + ������������(������) = ������0���������������������̅���������
f.周期性荷载傅里叶级数展开的指数形式:
∞
������(������) = ∑ ������������exp(���������������̅̅���̅1̅������)
−∞
∞
������(������) = ∑ ������(������ ���̅̅���̅1̅)������������ exp(���������������̅̅���̅1̅������)
g.任意荷载的杜哈梅积分:
无阻尼稳态解:
������(������)
=
1 ������������
������
∫ ������(������)������������������������(������
0
−
������)������������
=
������
∫ ������(������)ℎ(������
3
+ 4������(������ − Δ������)cosw(t − Δτ) + p(t)coswt]
���̅���(������)的积分同上。
有阻尼体系的数值积分与无阻尼体系差不多,这里不再详述。
i.任意荷载的傅里叶变换(频域法):
������(������)
=
1 2������
∞
∫ ������(���̅���)
结构动力学公式总结
在结构力学课程中我们学习了静力荷载的计算,并学习了有限单元法进行计算机计
算。而很多实际中有很多荷载是随时间发生变化的,有些规律性变化的荷载作用于结构
上,会产生远远大于与其荷载绝对值相等的静力荷载引起的结构响应,即产生结构的动力
效应,这需要用结构动力学的知识来求解。
动荷载即荷载的大小、方向或者作用点随时间变化的荷载,又可分为非随机动荷载和
2������������
������������
=
������������
∫
0
������(������)������������������ ������������ ������������������
2 ������������
2������������
������������
=
������������
2
当������ = 3时,为 simpson 法则(N 必须为偶数):
������
∑(������) = ������0 + 4������1 + 2������2 + ⋯ + 4������������−1 + ������������
3
������
= ∑(������ − 2Δ������) + [������(������ − 2Δ������)������������������������(������ − 2Δ������) + ������(������)������������������������������
������=1
������������
������ + ∑ ������������������������������
������=1
������������
������
1 ������������
������0
=
������������
∫
0
������(������)������������
2 ������������
������(������)
=
������−������������������(������������������������������������
+
������������������������������������)
+
������0 ������
[(1
−
������2)2
+
(2������������)2]−1[(1