专题：矩形折叠问题的常用方法
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D
∠4=∠ADB ∠1=∠2=∠ABD ＿＿＿＿＿, ∠3= ＿＿＿＿. （2）图中有哪些全等三角形？ （3）重叠部分是什么图形？
3
B
4
C
探索方法 折法二：将矩形纸片沿折痕EF折叠，记点D的对 应点为D′,点C恰好落在点A处.（AB=3,BC=5)
D′
3
A 3 F B 5
5-X
E
标量 AD′E； (1)证明 △ABF≌△
D
X
5-X
C
(2) 若∠D′EA=50°， 则 115° ∠DEF的度数为＿＿； 集中 (3) 由 AB=3,BC=5,
3.4 . 则 AE=＿＿ 求解
折叠问题常用方法1：
找出折叠后出现的等角、等边并结合图形本身的 特点借助于勾股定理构造方程求解.
折法三：将矩形ABCD沿折痕AE折叠，使点D落在 BC边上的点F处.
初三数学专题复习
总结性质
折叠的性质 图形的折叠部分在折叠前、折叠后是全等图形， 两图形关于折痕成轴对称.
折法一：将矩形纸片沿对角线BD折叠，记点C的对 应点为C′, C′B交AD于点E.
说一说：（1）折叠后：
C′ A E
BC=AD CD=AB C′D=＿＿＿＿＿ , BC′=＿＿＿＿＿ ;
1 2
A
B
4、将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕， ∠BAE＝30°，AB＝，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落 在EC1边上的B1处．则BC的长为＿＿．
5、(2010徐州)如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿 EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点 M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P， 连接EP． (1)如图②，若M为AD边的中点， ①,△AEM的周长=_____cm； ②求证：EP=AE+DP； (2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重 合)，△PDM的周长是否发生变化?请说明理由．
k 的一个动点（不与B,C重合），过F点的反比例函数 y (k 0) x 的图象与AC边交于点E．
（1)点E 的坐标为( 数式来表示)
),点F (
).(结果可以用k的代
（2）用k的代数式表示出线段EC 与CF的长度；
4-
k 3
3-
温馨提示：
点（坐标）
k 4
3
3
G
C′
4
k 4
线段
(3)请探索：是否存在这样的点F，使得将△CEF沿 EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）△ABF与△FCE相似吗？(2)求EC的长.
A D E C
分析： ∠D=∠AFE=90°,得 Rt△ABF∽Rt△FCE
3
B F
5
折叠问题常用方法2： 利用相似三角形由相似比列方程求解.
挑战中考
（湖州2008）已知：在矩形AOBC中，OB=4,OA=3．分别以OB,OA所在
直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上
●
基本知识： 矩形中的折叠 基本方法： 构造方程
直角三角形
Rt△勾股定理
三角形相似
数学思想： 转化思想、方程思想 注意：数学题的计算要讲究技巧性！！
课后作业 1、将矩形ABCD沿折痕EF对折后铺平，再沿BG折 叠，使点A落在EF上的A′处.
A E B G A′ D F C
求：
(1) ∠A′BC的度数；
Βιβλιοθήκη Baidu
H
(2) 延长GA′交BC于点H,判 断△GBH的形状.
2、如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角 线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（ ） D C A ．1 B． A′ C． D ．2
A G B
3、如图，四边形ABCD是矩形，AB:AD = 4:3，把矩形沿直线AC折 E 叠，点B落在点E处，连接DE，则DE:AC =（ ） D C A．1:3 B．3:8 C．8:27 D．7:25
∠4=∠ADB ∠1=∠2=∠ABD ＿＿＿＿＿, ∠3= ＿＿＿＿. （2）图中有哪些全等三角形？ （3）重叠部分是什么图形？
3
B
4
C
探索方法 折法二：将矩形纸片沿折痕EF折叠，记点D的对 应点为D′,点C恰好落在点A处.（AB=3,BC=5)
D′
3
A 3 F B 5
5-X
E
标量 AD′E； (1)证明 △ABF≌△
D
X
5-X
C
(2) 若∠D′EA=50°， 则 115° ∠DEF的度数为＿＿； 集中 (3) 由 AB=3,BC=5,
3.4 . 则 AE=＿＿ 求解
折叠问题常用方法1：
找出折叠后出现的等角、等边并结合图形本身的 特点借助于勾股定理构造方程求解.
折法三：将矩形ABCD沿折痕AE折叠，使点D落在 BC边上的点F处.
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总结性质
折叠的性质 图形的折叠部分在折叠前、折叠后是全等图形， 两图形关于折痕成轴对称.
折法一：将矩形纸片沿对角线BD折叠，记点C的对 应点为C′, C′B交AD于点E.
说一说：（1）折叠后：
C′ A E
BC=AD CD=AB C′D=＿＿＿＿＿ , BC′=＿＿＿＿＿ ;
1 2
A
B
4、将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕， ∠BAE＝30°，AB＝，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落 在EC1边上的B1处．则BC的长为＿＿．
5、(2010徐州)如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿 EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点 M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P， 连接EP． (1)如图②，若M为AD边的中点， ①,△AEM的周长=_____cm； ②求证：EP=AE+DP； (2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重 合)，△PDM的周长是否发生变化?请说明理由．
k 的一个动点（不与B,C重合），过F点的反比例函数 y (k 0) x 的图象与AC边交于点E．
（1)点E 的坐标为( 数式来表示)
),点F (
).(结果可以用k的代
（2）用k的代数式表示出线段EC 与CF的长度；
4-
k 3
3-
温馨提示：
点（坐标）
k 4
3
3
G
C′
4
k 4
线段
(3)请探索：是否存在这样的点F，使得将△CEF沿 EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）△ABF与△FCE相似吗？(2)求EC的长.
A D E C
分析： ∠D=∠AFE=90°,得 Rt△ABF∽Rt△FCE
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B F
5
折叠问题常用方法2： 利用相似三角形由相似比列方程求解.
挑战中考
（湖州2008）已知：在矩形AOBC中，OB=4,OA=3．分别以OB,OA所在
直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上
●
基本知识： 矩形中的折叠 基本方法： 构造方程
直角三角形
Rt△勾股定理
三角形相似
数学思想： 转化思想、方程思想 注意：数学题的计算要讲究技巧性！！
课后作业 1、将矩形ABCD沿折痕EF对折后铺平，再沿BG折 叠，使点A落在EF上的A′处.
A E B G A′ D F C
求：
(1) ∠A′BC的度数；
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H
(2) 延长GA′交BC于点H,判 断△GBH的形状.
2、如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角 线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（ ） D C A ．1 B． A′ C． D ．2
A G B
3、如图，四边形ABCD是矩形，AB:AD = 4:3，把矩形沿直线AC折 E 叠，点B落在点E处，连接DE，则DE:AC =（ ） D C A．1:3 B．3:8 C．8:27 D．7:25