函数的凸性与拐点解读

§ 5 函数的凸性与拐点

一． 凸性的定义及判定：

1． 凸性的定义：由直观引入. 强调曲线弯曲方向与上升方向的区别.

定义1 设函数)(x f 在区间I 上连续. 若对∈∀21,x x I 和)1,0(∈λ恒有

)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+

则称曲线 )(x f y = 在区间I 的凸函数, 反之, 如果总有

)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+

则称曲线 )(x f y = 在区间I 的凹函数.

若在上式中, 当21x x ≠时, 有严格不等号成立, 则称曲线)(x f y =在区间],[b a 上是严格凸(或严格凹)的.

引理 )(x f y =为区间I 上的凸函数的充要条件是:对I 上任意三点: 321x x x << , 总有

2

3231212)()()()(x x x f x f x x x f x f --≤-- 定理6.13 设函数)(x f 在区间I 上可导, 则下面条件等价:

(i) 为I 上凸函数

(ii) 为I 上的增函数

(iii) 对I 上的任意两点21,x x 有

))(()()(12112x x x f x f x f -'+≥

2． 利用二阶导数判断曲线的凸向:

Th 6.14 设函数)(x f 在区间),(b a 内存在二阶导数, 则在),(b a 内

⑴ )( ,0)(x f x f ⇒<'' 在 ),(b a 内严格上凸;

⑵ )( ,0)(x f x f ⇒>'' 在 ),(b a 内严格下凸.

证法一 ( 用Taylor 公式 ) 对),,(,21b a x x ∈∀ 设2

210x x x +=

, 把)(x f 在点

0x 展开成具Lagrange 型余项的Taylor 公式, 有

,)(2

)())(()()(201101001x x f x x x f x f x f -''+-'+=ξ 202202002)(2)())(()()(x x f x x x f x f x f -''+

-'+=ξ. 其中 1ξ 和 2ξ在 1x 与 2x 之间. 注意到 )(0201x x x x --=-, 就有 []

20222011021))(())((21)(2)()(x x f x x f x f x f x f -''+-''+=+ξξ, 于是, 若有⇒<'' ,0)(x f 上式中[])(2)()( ,0021x f x f x f <+⇒< ,

即 )(x f 严格上凸.

若有⇒>'' ,0)(x f 上式中[])(2)()( ,0021x f x f x f >+⇒> ,

即)(x f 严格下凸.

证法二 ( 利用Lagrange 中值定理. ) 若,0)(>''x f 则有)(x f '↗↗.

不妨设 21x x <, 并设 2

210x x x +=, 分别在区间],[01x x 和],[20x x 上应用Lagrange 中值定理, 有

))(()()( ),,(10110011x x f x f x f x x -'=-∍∈∃ξξ,

))(()()( ),,(02202202x x f x f x f x x -'=-∍∈∃ξξ.

有),()( ,2122011ξξξξf f x x x '<'⇒<<<< 又由 00210>-=-x x x x ，⇒

))((101x x f -'ξ<))((022x x f -'ξ, ⇒)()()()(0210x f x f x f x f -<-， 即 ⎪⎭

⎫

⎝⎛+=>+22)(2)()(21021x x f x f x f x f ， )(x f 严格下凸. 可类证0)(<''x f 的情况.

3． 凸区间的分离: )(x f ''的正、负值区间分别对应函数)(x f 的下凸和上凸区间.

二. 曲线的拐点: 拐点的定义.

例1 确定函数2)(x xe x f -=的上凸、下凸区间和拐点.

解 f 的定义域为), , (∞+∞-

),21()(22x e x f x -='- 2)32(2)(2x e x x x f --=''. 令0)(=''x f , 解得 2

3 , 0 , 23321==-=x x x . 在区间) , 2

3 ( , ) 23 , 0 ( , ) 0 , 23 ( , ) 23 , (∞+--∞-内f '' 的符号依次为 +-+- , , , ， ⇒. 拐点为: .23 , 23 , ) 0 , 0 ( , 23 , 232323⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---e e

倘若注意到本题中的)(x f 是奇函数, 可使解答更为简捷.

Jensen 不等式及其应用:

Jensen 不等式: 设函数)(x f 为区间],[b a 上的凸函数, 则对任意 ],[b a x i ∈, 1,,1,01==>∑=n

i i i i λλ , 有Jensen 不等式:

)()(11i n i n

i i i i x f x f ∑∑==≤λλ,

且等号当且仅当n x x x === 21时成立.

证 令∑==n

k k x n x 1

01, 把)(k x f 表为点0x 处具二阶Lagrange 型余项的Taylor 公式，仿前述定理的证明，注意∑==-n k k x x

10,0)( 即得所证.

例2 证明: 对,,R ∈∀y x 有不等式 )(2

12y x y

x e e e +≤+. 例3 证明均值不等式: 对+∈∀R n a a a ,,,21 , 有均值不等式

n a a a n

11121+++ n a a a a a a n n n +++≤≤ 2121 . 证 先证不等式n

a a a a a a n n n +++≤ 2121 . 取x x f ln )(=. )(x f 在) , 0 (∞+内严格上凸, 由Jensen 不等式, 有

∑∑∑∑∏=====⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤==n k n k k n k k k n k k n n k k x n x n f x f n x n x 111111ln 1)(1ln 1ln . 由)(x f ↗↗ ⇒ n

a a a a a a n n n +++≤ 2121 . 对+∈R n

a a a 1,,1,121 用上述已证结果, 即得均值不等式的左半端. 例4 证明: 对R ∈∀n x x x ,,,21 , 有不等式 n

x x x n x x x n n 2222121 +++≤+++ . ( 平方根平均值 ) 例5 设6=++z y x ，证明 12222≥++z y x .

解 取2)(x x f =, 应用Jensen 不等式.

例6 在⊿ABC 中, 求证 2

33sin sin sin ≤++C B A . 解 考虑函数x x x f x x x f sin . 0 , 0 sin .0 ,sin )(⇒<<-=''≤≤=ππ在 区间) , 0 (π内凹, 由Jensen 不等式, 有