第三章：三角恒等变形(教师版汇总)

第三章 三角恒等变形
§1 同角三角函数的基本关系
第1课时 同角三角函数的基本关系(1)
【预习导航】
1. ______.
2. ______.
3. ______.
参考答案: 1. 2. 3.
【基础自测】
1.若 是钝角, ,则 ( )
(A) (B) (C) (D)
2.若 , ,则 ( )
(A) (B) (C) (D)
[解](1)∵ ,且 是第二象限角,
∴ .
∴ .
(2)∵ ,且 ,
∴ 是第一象 .
∴ .
当 是第二象限角时,
∴ .
∴ .
综上可知,当 是第一象限角时,
, ；
当 是第二象限角时,
, .
[规律技巧]在用正弦与余弦的平方关系来求值时,一般需要开方,此时要特别注意开方之后应当取正值、负值、还是正负值都应当取.而三角函数值的正负又是由角所在象限确定的,故利用已知条件先判断角所在象限是非常重要的.
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
[规律技巧]本题对 , ,与 的关系进行了深入挖掘,尤其是通过一元二次方根与系数的关系(韦达定理)为背景来设计就显得更隐蔽.另有一点值得指出的是: 的值正负都是可以的,本题从表面上看对 的符号没做判断,而实际上是因为对本题而言,由 ,故 的值可正可负.
[变式训练]若锐角 满足 ,求 的值.
例1已知 ,
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值.
[思路分析]已知正切函数值,求三角函数式的值常常需用到 ,以及 , 等关系.
[解](1)∵
∴ .
(2)∵ ,
∴
.
(3)∵ ,
∴ .
∴当 是第一或第四象限角时, ；当 是第二或第三象限角时, .
∴当 是第一或第四象限角时,
.
∴当 是第二或第三象限角时,
[变式训练]在 中, ,求 的值.
解:∵ ,且 ,
∴ .
∴ .
∴ .
例2在 中, ,求 .
[思路分析]由于已知正切值,要求余弦值,因此要寻求正切、正弦、余弦的关系,这时 与 都要用到.
[解]∵ ,且 ,
∴ . ∴ .
∵ ,
∴ .
∵ ,
∴ .
故由 得 .
[规律技巧]已知正切,而由 知正弦与余弦之间只有一个关系式,此时再联合 求解就是必然的.另一点值得指出的是,由于最后要开方,故先判断角的范围是必要的.
[解](1)∵ ,
∴等式左右两边平方得:
.
∵
∴ .
(2)∵ ,且 ,
∴ , .∴ .
∴ .
∴ .
(3)由 得 .
故 .
[规律技巧]对于 , ,与 的关系主要是通过以下恒等式来进行的:
,
.
事实上,我们通过以上两个恒等式可知:在 , ,与 三个中,知道其中一个即可求另两个的值,或者说,用其中的一个可以表示另两个.
3.若 ,且满足 ,则 ( )
(A) (B) (C) (D)
4.若 ,且满足 ,则 ( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案: 1.C 2.D 3.C 4.B
【典例剖析】
题型1:已知角的一个三角函数值,求该角的其它三角函数值
例1(1)若 是第二象限角,且 ,求 的值.
(2)若 ,求 的值.
[思路分析]已知正弦函数值,求余弦函数值需用到 ,知道了正弦值和余弦值则可用 求正切值.
3. 4.
【基础自测】
1.若 ,则 ( )
(A) (B) (C) (D)
2.若 为锐角,且满足 ,则 ( )
(A) (B) (C) (D)
3.若 ,则 ( )
(A) (B) (C) (D)
4. ( )
(A) (B)
(C) (D)
参考答案: 1.C 2.B 3.D 4.A
【典例剖析】
题型1:已知正切值,求三角函数式的值
(A) (B) (C) (D)
答案:A. 由 可整理得 ,又由于 ,及由题知 ,故 .
4.若 是钝角,且 ,则 的值为( )
(A) (B) (C) (D)
答案:C. 由 是钝角知 ,又 及 ,故可求得 , ,从而可以求得 .
二、填空题
5.若 ,则 ______.
答案: . 由 变形即可得 ,将其带入 即可求得答案为 .
(2)由 以及 可得,其值为 .
10.若 ,求 的值.
解:由 及 可得 ,从而可求得 .故可得:
所以, .
第三章 三角恒等变形
§1 同角三角函数的基本关系
第2课时 同角三角函数的基本关系(2)
【预习导航】
1. ______.
2. ______.
3. _______.
4. ______.
参考答案:
1. 2.
[变式训练]已知 为锐角,且 是方程 的根,求 的值.
解:∵ 是锐角,故 , .
∵方程 的根为 或 .
∴ .
∵ ,
∴ .
∵ ,
∴ .
故由 得 .
题型2: 关于 之间的相互转化
例3已知 ,且 ,
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值.
[思路分析]对于(1),将 平方即可出现 的结构；对于(2),可先求 的值；而对于 ,当然可以先求 , ,再求 .
.[规律技巧]在已知正切值求有关正弦、余弦的分式的值时,我们一般可对分式的每一项同时除以余弦或余弦的平方将题目中的正余弦均化为正切来处理.第(3)题中的非其次的问题则需要先求出余弦值.
[变式训练]若 ,求 .
解:∵ ,
∴
.
题型2: 三角函数式的化简与证明
例2化简下列各式:
(1) ；
解:∵ ,
故由:
可得: .
而 是锐角,故 .
于是, .且由 是锐角知 .
【课时作业】
一、选择题
1.化简 等于( )
(A) (B)
(C) (D)
答案:A. 因 .
2.若 是钝角,且 ,则 的值为( )
(A) (B) (C) (D)
答案:A. 由 知 ,又由于 是钝角,故 ,从而可以求得 .
3.若 ,且满足 ,则 的值为( )
[变式训练]已知角 满足 ,求 的值.
解:∵ ,
∴ .
∴ .
故有:
∴ .
【知能迁移】
例4设 ,且 是关于 的方程 的两个不相等的实数根,求 与 的值.
[思路分析]由题目知:根与系数的关系(韦达定理)在本题中应当有重要的应用.同时, , ,与 三者的关系无疑是解题的关键.
[解]由韦达定理可得:
, .
∵ ,
6.若 ,则 ______.
答案: . 由 可得 ,故 .
7.若 ,且满足 ,则 ______.
答案: . 首先由 可知 ,故 .其次,由 开方得 .
8. 化简后的最简结果为______.
答案: . 因 ,故
,
.
于是,将以上两式相加即可得解.
三、解答题
9.已知 ,
(1)求 的值；
(2)求 的值.
解:(1)由 变形即可得到 ,故有 .