第三章 泊松过程要点

其中 N1 (t ) k1 | N (t ) k1 k2 表示独立到达泊松系统的 k1 k2 个质点中恰好到达系统A有 k1 个，则有
P[ N1 (t ) k1 | N (t ) k1 k2 ] C kk1k p k1 (1 p ) k2
1 2
第一节、泊松过程的基本概念
第一节、泊松过程的基本概念
二、泊松过程的几个例子
第一节、泊松过程的基本概念
第一节、泊松过程的基本概念
第一节、泊松过程的基本概念
二、泊松过程的数字特征 1、均值函数
mN (t ) E[ N (t )] t
表示单位时间内平均发生的事件数。
E[ N (t )] E[ N (t )] 表示[0,t)时段内平均发生的事件数， t
第一节、泊松过程的基本概念
从定义可得知， N (t ), t 0 为一时齐泊松过程，N(t)表示[0,t] 时段内事件发生的次数。 （1）条件（1） 表明在初始时刻无事件发生，即 P[ N (0) 0] 1 （2）条件（2）表明任意多个不相重叠的时间间隔内发生的 事件数相互独立 （3）条件（3）表明[s, s t ] 时间内发生的时间数的分布只与 时间间隔t有关，与时间起点无关 （4）条件（4）表明在足够小的时间 t 内事件发生一次的 概率与时间 t 成正比，而在足够小的时间内事件发生次数 不少于2的概率是关于t 的高阶无穷小。即在足够短的时间 内，事件发生两次以上为小概率事件。
第一节、泊松过程的基本概念
三、泊松过程的叠加与分解
1、泊松过程的叠加
定理：设 N1 (t ), t 0 与N2 (t ), t 0 为相互独立且强度分别 为 1 , 2 的泊松过程，对于任意给定的 t T ,
N (t ) N1(t ) N2 (t), t T
仍为泊松过程。 即两个相互独立的泊松过程的叠加仍然为泊松过程， 且其强度为二泊松过程的强度之和 1 2 .
第一节、泊松过程的基本概念
证明： （1） 0 N (0) N1 (0) N2 (0) 可得 N1 (0) N2 (0) 0 （2）由N(t)的独立增量性可得，N1 (t ), N2 (t ) 也为独立增量过程； （3）记 N (t s) N (t ) N (t , t s) P[ N1 (t , t s ) k1 ]
第一节、泊松过程的基本概念
（4）证明 N1 (t ), N2 (t ) 的独立性
P[ N1 (t ) k1 , N 2 (t ) k2 ] P[ N1 (t ) k1 , N (t ) k1 k2 ] P[ N1 (t ) k1 | N (t ) k1 k2 ]P( N (t ) k1 k2 )
P(t时间内有一次呼叫) t o(t ) （t时间内收到2次及其以上呼叫） o(t ) P 可见N (t ), t 0 是强度 的泊松过程。
第一节、泊松过程的基本概念
定理1：
若N (t ), t 0 为时齐泊松过程，则 s, t 0, 有
( t ) k e t P[ N ( s t ) N ( s) k ] , k N0 k!
所以 P[ N1 (t ) k1 , N 2 (t ) k2 ]
k1 k2 (k1 k2 )! k1 ( t ) p (1 p ) k2 e t k1 !k2 ! (k1 k2 )!
(t ) k1 k2 k1 p (1 p ) k2 e t k1 !k2 ! ( pt ) k1 pt ( pt ) k2 (1 p )t e e k1 ! k2 ! P[ N1 (t ) k1 ]P[ N 2 (t ) k2 ]
当 t1 t2 时 所以
RN (t1, t2 ) 2t1t2 t2
RN (t1, t2 ) 2t1t2 min(t1, t2 )
第一节、泊松过程的基本概念
5、自协方差函数
CN (t1 , t2 ) min(t1, t2 )
证明：
C N (t1 , t2 ) RN (t1 , t2 ) mN (t1 )mN (t2 ) 2t1t2 min(t1 , t2 ) t1 t2 min(t1 , t2 )
mN (t ) 4t DN (t ) CN (t1, t2 ) 4min(t1, t2 )
RN (t1 , t2 ) 4min(t1 , t2 ) 16t1t2
(2) N(5)-N(3)的分布律为
(4 2)e42 P[ N (5) N (3) k ] , k 1, 2,3, k!
m k1
m ( s ) m s m! ( s ) e p k1 (1 p) mk1 es m! ！ m! m k1 k1 !( m k1 )
( ps) k1 s (1 p)( s) m k1 ( ps) k1 s (1 p )( s ) ( ps) k1 ps = e e e e k1 ! (m k1 )！ k1 ! k1 ! m k1
e ( 1 2 ) s [(1 2 ) s ]m m!
得证
第一节、泊松过程的基本概念
例2：设乘客从南北两个方向在[0,t)时段内到达同一飞机场 的人数 N1 (t )和N2 (t ) 分别服从强度为 1 , 2 的泊松过程，试求 在[0,t)时段内到达机场的人数的平均值。
泊松过程（Poisson process）最早由法国人Poisson于 1837年引入。
主 要 内 容
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节
泊松过程的基本概念 相邻时间的时间间隔 剩余寿命与年龄 非时齐泊松过程 复合泊松过程 更新过程
第一节、泊松过程的基本概念
一、定义 一随机过程N (t ), t 0 ，若满足条件： （1）是一计数过程，且N(0)=0; （零初值性) （2）任取 0 t1 t2 tn , （独立增量过程） N (t1 ), N (t2 ) N (t1 ), , N (tn ) N (tn1 ) 相互独立； （3）s, t 0, n 0, P[ N (s t ) N (s) n] P[ N (t ) n] （增量平稳性） （4）对任意 t 0 和充分小的 t 0 ，有 P[ N (t t ) N (t ) 1] t o(t ) P[ N (t t ) N (t ) 2] o(t ) 称N (t ), t 0 是强度 为的时齐泊松过程。 其中 0 称 为强度常数。
第一节、泊松过程的基本概念
2、方差函数
DN (t ) D[ N (t )]] D[ N (t )] m N (t )
2 N 2 2
t ( t )
2
第一节、泊松过程的基本概念
4、自相关函数
RN (t1, t2 ) E[ N (t1 ) N (t2 )] min(t1, t2 ) 2t1t2
即 N (s t ) N ( s) 是参数为 t 的泊松分布。
证明
第一节、泊松过程的基本概念
泊松过程的等价定义： 一计数过程N (t ), t 0 ，若满足条件： （1）N(0)=0; （2）N(t)是独立增量过程； （3）对 s, t 0, N (s t ) N (s) P(t ) ，即
P[ N1 (t , t s ) k , N1 (t , t s ) m k )]
k 0 m m
P[ N1 (t , t s ) k ]P[ N1 (t , t s ) m k )]
k 0 m m (1s ) k e 1s (2 s ) m k e 1s m! ( 1 2 ) s k mk 1 e (1s ) (2 s ) k! (m k )! m! k 0 k 0 k !( m k )!
第一节、泊松过程的基本概念
例2：设粒子按平均率为4个/min的泊松过程到达某计数器， N(t)表示[0,t）内到达计数器的粒子个数，试求： (1)N(t)的均值、方差、自相关函数与自协方差函数； (2)在第3min到第5min之间到达计数器的粒子个数的概率分 布。
解:(1)
N (t )
P(4t )
第三章
Poisson过程
在生活中，常常会遇到这样一类随机现象，它们发生 的地点、时间以及相联系的某种属性，常常归结为某一空 间E中的点的随机发生或随机到达。 例：电话交换台一天内收到用户的呼唤情况，X(n)是 第n次呼唤发生时的时间； 商店接待的顾客流，等待公共汽车的乘客流，要求再 机场降落的飞机流等，股票价格的跳跃次数等。
( t ) k e t P[ N ( s t ) N ( s) k ] , k N0 , 0 k! 则称N (t ), t 0 是强度为 的时齐泊松过程。
等价性的证明
第一节、泊松过程的基本概念
泊松过程的样本函数是一条阶梯曲线，t i表示第i个事件发 生的时刻，那么在时刻ti阶梯曲线上跳一个单位。
证明：当 t1 t2 时
RN (t1 , t2 ) EN (t1 ) N (t2 ) EN (t1 )[ N (t2 ) N (t1 )] EN 2 (t1 ) EN (t1 ) E[ N (t2 ) N (t1 )] EN 2 (t1 ) t1 (t2 t1 ) t1 (t1 ) 2 2t1t2 t1
第一节、泊松过程的基本概念
证明： （1） N (0) N1 (0) N2 (0) （2） N1 (t ), N2 (t ) 为独立增量过程，其和也为独立增量过程； （3）记 N (t s) N (t ) N (t , t s) P[ N (t , t s ) m] P[ N1 (t , t s ) N 2 (t , t s) m]
第一节、泊松过程的基本概念
例1：设N(t)为 [0, t ) 时段内某电话交换台收到的呼叫次数， N(t)的状态空间为 0,1, 2, ，且具有如下性质： 1）N(0)=0，即初始时刻未收到任何呼叫； 2）在 [s, s t ] 这段时间收到的呼叫次数只与时间间隔t 有关， 而与时间起点s无关； 3）在任意多个不相重叠的时间间隔内收到的呼叫次数相互 独立； 4）在足够小的时间间隔内
P[ N1 (t , t s ) k1 | N (t , t s ) m]P[ N (t , t s ) m]
m0

m k1
P[ N (t , t s) k
1 k1 k1 m k1 C p (1 p ) m
1
| N (t , t s ) m]P[ N (t , t s ) m]
答案：(1 +2 )t
第一节、泊松过程的基本概念
2、泊松过程的分解
定理：设 N (t ), t 0 为强度为 的泊松过程， N1 (t ) 为进入 子系统A的质点数，N2 (t ) 为进入子系统B的质点数，则N(t) 的分解过程 N1 (t )、N2 (t ) 相互独立，分别服从强度为 p 和 (1 p) 的泊松过程。其中p,1-p为分别进入系统A和B的概 率。 .