固体物理(第12课)能态密度
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说 明 人删除。
➢电子以平面简谐波形式存在于金属晶体中，其波长由k 确定，而k又取决于倒易矢量b，每个倒易矢量b都与晶
格点阵中的一族晶面垂直，且代表这族晶面的面间距。
➢故k的取值为l×b/n，即l×2π/na时，意味着电子波长 为 na/l，即L/l， na代表了某方向的晶体的长度L，且该平面
波与晶面垂直。
文档仅供参考，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本
能态密度球
人删除。
kz E为等能面(红色线)
ky
E E+dE
kx
k k+dk
半径为 k的球体,电 中子的状态 : 数
Vห้องสมุดไป่ตู้
Z(k)283
4k3
3
V
32
(2m2e
3
E)2
文档仅供参考，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本
的简立方
a
晶格常数b为2π/a
的倒易格点。
b对应面间距。
最大的 k，对应波
b V
a1
b1 b2 b3
(
a2
2 a2 2 a3 2 a1
a3 )
a3
V
a1
V
a2
V
原胞体积
长为2a。
最小的 k，对应波 长为L。
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5.2.4 费米能与费米面*人删除。
(1) 费米－狄喇克分布
在热平衡状态下，能为量E的量子态被电子占据的
几率为：
1 f (E) eEEF /KBT 1
平均动能为0. 量子理论：电子必须遵守泡利不相容原理.因此,即使 在绝对零度,不可能所有的电子都填在最低的能量状态. 计算结果表明,即使在T=0K,电子的速度也高达 108cm/s.
文档仅供参考，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本 人删除。
E EF
f(E) 1 2
的 能 级 ， 则 该 能 级 的对 量应 子 态 被 电 子 占 据 和 不 占 几据 率的 相 等
f(E)eEEF1/KBT1
返回
T=0
T3
K
文(档2)仅费供参米考能，不量能作E为F的科学计依据算，人请删勿除模。仿；如有不当之处，请联系网站或本
设 金 N 个 属电 中 N 子 有 f(E ， )N (E )d 则 E 0
E Z E Z Z E N (E ) lE i0 m E Zd dE Z
在k空间中：能量E为 的k点分布在球面上
E E E
球面半径k： k＋k
球壳中
对
应k的点数
为
：V
8 3
4k2dk
对应的量
子
态数为dZ：
V
4 3
4k2dk
EF o E1CE1/2dE
E0 N 0
N
0 N
25CEF o 23CEF o
5/2 3/2
53EF o
文档仅供参考，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本 人删除。
上式表明,即使在绝对零度,电子的平均动能也不为0, 这不同于经典理论.
经典理论:电子的平均动能等于3kBT/2,当T趋于0K时,
EF：费米能级（量），子电化学势。指体积不的变
情况下，系统中增加个一电子时自由能的增加
量。
a. T0K时： 示意图
E E
EFo EFo
f (E) 0 f (E) 1
T 0K时 ，EFo是 电 子 占据的最高能级
文b档. 仅T供参0考K，时不： 能作为科学依若据，人金 请删勿除属 模。仿中 ；如存 有不当在之处一，E请F个 大 联系同 小 网站或相本 等
d Z4V3 4k2d k2V 2 人2h删m 2除3。/2E1/2d E
E22m k2 dk2k2d m22EmE
N(E)dZCE 1/2 dE
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矢人删量除球。
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➢可见金属晶体边长L是电子波长的l倍，这里采用了波恩
-卡门周期性边界条件。 ➢驻波一定要求格波在边界处为0，相比之下，波恩-卡门 周期性边界条件是一种行波，比驻波的要求更加宽松。
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补充：倒易格点与晶人格删及除。电子波函数的关系
晶格常数为a
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2 a
2 Na
2 a
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人删k除z 。
ky
2
Γ
a
2
Na
kx
2 a
文档仅供参考，k 不 能2 作为科n 学x依I 据 ，人2 请删勿除模。n 仿y；J 如 有不2当之n 处z，K 请 联系网站或本
a. T0K时：
N 0EoF1CE 1/d2 E23CEoF 3/2
1.5～
C4V2hm 2 3/2 m9.110-28g
7EeoFV2m 2 3n2 2/3
NnV(n：电子 浓 102度 2~1023/cm3)
EdN Ef(E)N(E)dE
L
L
L
L Na 1 L Na 2 L Na 3
k空间 波矢空间 倒易点阵
b3 N3
b2 N2
b1 电子具有的波长 N1 k L L L 2 nx n y nz Na Na Na nx ny nz
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K越小，所对应波 长越长。
边长为L的金属中，电子以波长(Na/nx + Na/nx +Na/nx)的平 面简谐波存在。
文5档.2仅.3供参能考，态不密能作度为科学依据，人请删勿除模。仿；如有不当之处，请联系网站或本
能态密度:单位能量间隔内的电子状态数量
E22m k22m h22Ln2 xn2ynz2 电子能级是 示意简 图 并
➢电子以平面简谐波形式存在于金属晶体中，其波长由k 确定，而k又取决于倒易矢量b，每个倒易矢量b都与晶
格点阵中的一族晶面垂直，且代表这族晶面的面间距。
➢故k的取值为l×b/n，即l×2π/na时，意味着电子波长 为 na/l，即L/l， na代表了某方向的晶体的长度L，且该平面
波与晶面垂直。
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能态密度球
人删除。
kz E为等能面(红色线)
ky
E E+dE
kx
k k+dk
半径为 k的球体,电 中子的状态 : 数
Vห้องสมุดไป่ตู้
Z(k)283
4k3
3
V
32
(2m2e
3
E)2
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的简立方
a
晶格常数b为2π/a
的倒易格点。
b对应面间距。
最大的 k，对应波
b V
a1
b1 b2 b3
(
a2
2 a2 2 a3 2 a1
a3 )
a3
V
a1
V
a2
V
原胞体积
长为2a。
最小的 k，对应波 长为L。
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(1) 费米－狄喇克分布
在热平衡状态下，能为量E的量子态被电子占据的
几率为：
1 f (E) eEEF /KBT 1
平均动能为0. 量子理论：电子必须遵守泡利不相容原理.因此,即使 在绝对零度,不可能所有的电子都填在最低的能量状态. 计算结果表明,即使在T=0K,电子的速度也高达 108cm/s.
文档仅供参考，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本 人删除。
E EF
f(E) 1 2
的 能 级 ， 则 该 能 级 的对 量应 子 态 被 电 子 占 据 和 不 占 几据 率的 相 等
f(E)eEEF1/KBT1
返回
T=0
T3
K
文(档2)仅费供参米考能，不量能作E为F的科学计依据算，人请删勿除模。仿；如有不当之处，请联系网站或本
设 金 N 个 属电 中 N 子 有 f(E ， )N (E )d 则 E 0
E Z E Z Z E N (E ) lE i0 m E Zd dE Z
在k空间中：能量E为 的k点分布在球面上
E E E
球面半径k： k＋k
球壳中
对
应k的点数
为
：V
8 3
4k2dk
对应的量
子
态数为dZ：
V
4 3
4k2dk
EF o E1CE1/2dE
E0 N 0
N
0 N
25CEF o 23CEF o
5/2 3/2
53EF o
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上式表明,即使在绝对零度,电子的平均动能也不为0, 这不同于经典理论.
经典理论:电子的平均动能等于3kBT/2,当T趋于0K时,
EF：费米能级（量），子电化学势。指体积不的变
情况下，系统中增加个一电子时自由能的增加
量。
a. T0K时： 示意图
E E
EFo EFo
f (E) 0 f (E) 1
T 0K时 ，EFo是 电 子 占据的最高能级
文b档. 仅T供参0考K，时不： 能作为科学依若据，人金 请删勿除属 模。仿中 ；如存 有不当在之处一，E请F个 大 联系同 小 网站或相本 等
d Z4V3 4k2d k2V 2 人2h删m 2除3。/2E1/2d E
E22m k2 dk2k2d m22EmE
N(E)dZCE 1/2 dE
文档仅供参考，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本
矢人删量除球。
文档仅供参考，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本 人删除。
➢可见金属晶体边长L是电子波长的l倍，这里采用了波恩
-卡门周期性边界条件。 ➢驻波一定要求格波在边界处为0，相比之下，波恩-卡门 周期性边界条件是一种行波，比驻波的要求更加宽松。
文档仅供参考，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本
补充：倒易格点与晶人格删及除。电子波函数的关系
晶格常数为a
文档仅供参考，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本 人删除。
2 a
2 Na
2 a
文档仅供参考，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本
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ky
2
Γ
a
2
Na
kx
2 a
文档仅供参考，k 不 能2 作为科n 学x依I 据 ，人2 请删勿除模。n 仿y；J 如 有不2当之n 处z，K 请 联系网站或本
a. T0K时：
N 0EoF1CE 1/d2 E23CEoF 3/2
1.5～
C4V2hm 2 3/2 m9.110-28g
7EeoFV2m 2 3n2 2/3
NnV(n：电子 浓 102度 2~1023/cm3)
EdN Ef(E)N(E)dE
L
L
L
L Na 1 L Na 2 L Na 3
k空间 波矢空间 倒易点阵
b3 N3
b2 N2
b1 电子具有的波长 N1 k L L L 2 nx n y nz Na Na Na nx ny nz
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K越小，所对应波 长越长。
边长为L的金属中，电子以波长(Na/nx + Na/nx +Na/nx)的平 面简谐波存在。
文5档.2仅.3供参能考，态不密能作度为科学依据，人请删勿除模。仿；如有不当之处，请联系网站或本
能态密度:单位能量间隔内的电子状态数量
E22m k22m h22Ln2 xn2ynz2 电子能级是 示意简 图 并