何谓抛物线形状相同

何谓抛物线“形状相同”？

黄家礼

（上海市浦东教育发展研究院 200127）

1．问题的提出

有段时间连续接到几位老师的电话，问：何谓抛物线形状相同？如下面几例：

例1 已知二次函数y =a (x+m )2的形状和y =2x 2

相同，且顶点坐标为A (-2,0),求二次函数关于y 轴对称的图形的解析式.(文汇出版社，08年8月版《走进新课程》九年级数学P78页第8题.该书答案（P 223）：y=2(x -2)2) 例2 一条抛物线与抛物线y=-4

2

x 有公共顶点，且形状也相同，只是开口方向相反.求此抛物线的表达式，并画图像.(华东师大2011年6月版《一课一练》P90,该书答案(P 289)： y=4

2

x ，图略) 例3 某抛物线的形状、大小与抛物线y=22

x 的形状、大小相同，顶点在（-4，-3），那么这条抛物线的表达式为 . （华东师大2011年6月版《一课一练》P99,该书答案(P 290)： y=2()24+x -3 ） 老师的疑问是：抛物线c bx x a y ++=21与抛物线2

2x a y =形状相同，是表示21a a =还是21a a =若是21a a =，例2答案错；若表示的是21a a =，那么例1漏了一解：2)2(2--=x y ，例3也漏了一解：y=-2()2

4+x -3. 笔者还在《初中数学同步学习与辅导》（上海科技教育出版社，2008年版，P157页12题）、《9年级（第一学期）数学同步训练与拓展》（原子能出版社，2010年版，P76页第8题）、《初中数学双基过关堂堂练》（光明日报出版社，2011年版，P69页第4题）等资料均发现有抛物线“形状相同”的题目.

2．教材的说法

北师大版教材对两抛物线形状相同的表述较明确，如该版九年级下册《数学教师教学用书》(2009

年版)第P55页：“函数2x y -=的图象与函数2x y =的图象形状相同”；P61页：“函数122+=x y 的图

象与函数22x y =的图象形状相同”； P62页：“函数2

132+-=x y 的图象与函数23x y -=的图象形状相同”.该书从P55页-P64页，“形状相同”这一概念出现了12次.

人教版九年级下册《数学教师教学用书》P11页：把“函数12+=x y ，12-=x y 与函数2x y =进

行对比，…从而得出形状相同”； P12页：“类似，把函数()2121+-=x y ，()212

1--=x y 与函数22

1x y -=进行对比，从而得出形状相同”. 上海科技版教材九年级（上册,09年6月版）P12也出现有“抛物线k ax y +=2与2

ax y =的形状、开口大小和开口方向相同”的表述.

按北师大版教材，两抛物线c bx x a y ++=21与22x a y =形状相同，则21a a =.人教版教材只谈了当21a a =时，其抛物线c bx x a y ++=21与22x a y =形状相同.上海科技版与人教版较一致. 而关于两图形“形状相同”教材还有如下说法：

如人教版九年级教材《数学》下册（07年10月版）P36页明确指出：“形状相同的图形叫做相似图形.”

上教版九年级教材《数学》第一学期（试用本）（10年6月版）P2页：“我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形.”

北师大版(教材八(下)P110)、华东师大版（教材九（上）P42）、上海科技版教材(教材九（上）P53)都是这样定义的.也就是说“两图形形状相同”与“两图形相似”是同义语.

而任意两个抛物线都是相似的（证明见文①），那就是说任意两个抛物线都形状相同.既然如此，那么在21a a =或21a a =的条件下，才有抛物线c bx x a y ++=21与22x a y =形状相同的说法就值得商榷.

3.几点思考与建议

数学的核心工作是计算和推理，而计算法则的确立和推理方法的严谨都依赖于思维的正确.史宁中教授说：“逻辑学的本质告诉我们，在讨论或者研究问题的时候，每一个术语和概念的使用，每一步计算和推理的进展，都必须经得起最严格的检验.②”数学是思维的科学，概念是思维的细胞，没有概念或概念不清，就无法进行计算、推理和论证.李邦河院士说：“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧.技巧不足道也！③”所以正确地理解和使用概念是学好数学的基础！既然教材对两图形“形状相同”有明确的说法——是相似形.那么，对于抛物线，仅就21a a =或21a a =时，说抛物线c bx x a y ++=21与22x a y =形状相同，概念的内涵和外延都发生了变化，前后说法不一致，自然引出矛盾.

鉴于此，对于前面教材和3道例题所述的情况，笔者对其表述提出如下调整方案：

① 当21a a =时，抛物线c bx x a y ++=21与2

2x a y =形状的描述，采用“开口大小相同，开口

方向相同”.它表示两个抛物线通过平移能重合. ②当21a a =时，抛物线c bx x a y ++=21与2

2x a y =形状的描述，采用“开口大小相同，开口方向相同或相反”.它表示两个抛物线通过平移、翻折能重合.

从变换的角度讲，任意两个抛物线c bx x a y ++=21与22x a y =（21不一定等于a a ）相似或说它们形状相同，是说它们之间存在一个相似变换；而当21a a =或21a a =时，它们之间存在一个等距变换.这样处理，保证了教材概念体系的一致、严密，也保证与相似理论和变换理论的一致性.

要真正把两个抛物线形状之间的关系说透切，可以借助下面的一张变换的“谱系”（见文④）,它揭示了变换之间其“父母”、“子女”及相互关系：

显然，当21a a =时，由抛物线c bx x a y ++=21到抛物线22x a y =的变换是平移变换；当2

1a a -=时，由抛物线21x a y =到抛物线22x a y =的变换是旋转（或反射）变换.平移、旋转、反射变换都是等

距变换.而相似变换除了等距变换外，还有位似变换和旋转相似变换，如对于抛物线c bx x a y ++=2

1和抛物线22x a y =，当21a a ±≠时.

以上为一孔之见，不妥之处，请读者批评指正！

参考文献

① 张海堂 熊先香，所有的抛物线都相似吗？《数理天地》高中版，2008年第11期. ② 史宁中，数学思想概论（第2辑），东北师范大学出版社，2009年版P37页.

③ 李邦河，数的概念的发展，数学通报，2009年8期.

中心对称中心相似变换旋转平移反射旋转相似变换位似变换等距变换反射等积变换相似变换仿射变换连续变换变换