方程根的联系,判断一元二次方程根的存在 性及根的个数.

1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与 方程根的联系，判断一元二次方程根的存 在
性及根的个数.
2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相 应方程的近似解.
1.函数零点的定义
(1)对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使 f(x)＝0 成立的实数x叫做 函数y＝f(x)(x∈D)的零点. (2)方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴 有交点⇔ 函数y＝f(x)有 零点 .
断的曲线，且x0是函数在这个区间上的一个零点，但 f(a)f(b)＜0不一定成立. (3)利用图象的交点：有些题目可先画出某两个函数y＝ f(x)，y＝g(x)图象，其交点的横坐标是f(x)－g(x)的零点.
判断下列函数在给定区间是否存在零点.
(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；
(2)f(x)＝x3－x－1，x∈[－1,2]； (3)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]； (4)f(x)＝ [思路点拨] －x，x∈(0,1).
的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
[思考探究2] (1)在上面条件下，(a，b)内有几个零点？ 提示：不一定，可能有一个，也可有多个. (2)若函数f(x)在[a，b]内有零点，一定有f(a)· f(b)＜0吗？ Biblioteka Baidu示：不一定.如函数f(x)＝x2－1在[－2,2]内有两个零点， 但f(2)· f(－2)＞0.
3.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系 Δ＞ 0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 Δ＝ 0 Δ＜ 0
B.函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点
C.函数f(x)在区间[2,16)上无零点 D.函数f(x)在区间(1,16)内无零点 解析：∵函数f(x)唯一零点同时在区间(0,16)，(0,8)， (0,4)，(0,2)内，∴函数f(x)唯一零点必在区间(0,2)内. 答案：C
3.函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在的区间为
与x轴的 交点
零点个数
(x1 ， 0)，(x2 ， 0) 两个
(x1 ，0)
一个
无交点
零个
4.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 f(b)＜0 ，给定精确ε； 第一步，确定区间[a，b]，验证 f(a)·
第二步，求区间(a，b)的中点x1；
第三步，计算 f(x1) ： ①若 f(x1)＝0 ，则x1就是函数的零点； f(x1) ＜0，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))； ②若 f(a)· f(x1)＜0 ，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))； ③若 f(b)·
5.下列是函数f(x)在区间[1,2]上一些点的函数值. x f(x) 1 －2 1.25 －0.984 1.375 0.260 1.4065 －0.052 1.438 0.165
x
f(x)
1.5
0.625
1.625
1.982
1.75
2.645
1.875
4.35
2
6 (精确
由此可判断：方程f(x)＝0的一个近似解为 度0.1，且近似解保留两位有效数字).
[思考探究1] 函数的零点是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点吗？ 提示：不是.函数的零点是一个实数，是函数y＝f(x)的 图象与x轴交点的横坐标.
2.函数零点的判定 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一 f(b)＜0 ，那么函数y＝f(x)在区间 (a， b) 条曲线，并且有 f(a)· 内有零点，即存在c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，这个 c 也就是方 程f(x)＝0的根.
(
)
A.[0，
C.[
]
]
B.[
D.[ )· f( ].
，
,1]
]
解析：因为选项中只有f( 点所在的区间为[
)＜0，所以函数的零
答案：C
4.已知函数f(x)＝4x＋m· 2x＋1有且只有一个零点，则实 数m的值为 .
解析：由题知：方程4x＋m· 2x＋1＝0只有一个零点. 令2x＝t(t>0)， ∴方程t2＋m· t＋1＝0只有一个正根， ∴由图象可知 答案：－2 ∴m＝－2.
(4)画出函数f(x)＝
－x的图象如图.
由图象可知，f(x)＝ 故f(x)＝
－x在(0,1)内图象与x轴没有交点，
－x在(0,1)内不存在零点.
函数零点个数的判定有下列几种方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就 有几个零点. (2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上 是连续的曲线，且f(a)· f(b)＜0.还必须结合函数的图象和 性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点. (3)画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点
第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到
零点近似值a(或b)；否则重复第二、三、四步.
1.下图的函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交 点横坐标的是 ( )
解析：因为B选项中，x0两侧的符号相同，所以无法用
二分法求交点的横坐标. 答案：B
2.若函数f(x)唯一的零点同时在区间(0,16)，(0,8)，(0,4)， (0,2)内，那么下列命题正确的是 A.函数f(x)在区间(0,1)内有零点 ( )
[课堂笔记] (1)∵f(1)＝－20<0，f(8)＝22>0， ∴f(1)· f(8)<0， 故f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零点.
(2)∵f(－1)＝－1<0，f(2)＝5>0，
∴f(－1)· f(2)<0， 故f(x)＝x3－x－1，x∈[－1,2]存在零点. (3)∵f(1)＝log2(1＋2)－1>log22－1＝0， f(3)＝log2(3＋2)－3<log28－3＝0，∴f(1)· f(3)<0， 故f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]存在零点.
解析：∵f(1.438)· f(1.4065)＜0，且|1.438－1.4065|＝ 0.0315＜0.1，∴f(x)＝0的一个近似解为1.4.
答案：1.4
函数零点的存在性问题常用的方法有： (1)解方程：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断. (2)用定理：零点存在性定理.
[特别警示] 如果函数y＝f(x)在[a，b]上的图象是连续不