初等模型 数学建模

轮船有三班
乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?
2. 乘法原理
设完成一件事有m个步骤，
第一个步骤有n1种方法， 第二个步骤有n2种方法, 则完成这件事共有
…；
第m个步骤有nm种方法,
n1 n2 nm
必须通过每一步骤,
种不同的方法 .
才算完成这件事，
例如，若一个男人有三顶帽子和两件 背心，问他可以有多少种打扮？
2r 3r(n 1) d
• 将d=1,r=0.05代入上式，得n=11.从而可从钢板上压切10 × 6+9× 5=105个小圆板，大于按正方形排列时压切100个 小圆板的数量.
• 105个圆的面积为
S1 r2 105 0.052 105 0.8247 • 钢板面积不变,损耗为
可以有 3 2 种打扮
一 模型的假设
• 1.线路一与线路二不能交叉 • 2.只能在旅行社提供的线路中考虑， • 3.在西安转机到北京的航班可以考虑不在同一天。
二 模型的分析和建立
三 模型的结果
• 如果小张必选北京，则他有八种选择方案 • 如果成都到北京必须在西安转机，且成都到西安有2个航
班，西安到北京有3个航班，则小张从成都到北京有6种不 同的航班安排方式。
• 问题9【比赛场次模型】 • 某次网球单打比赛分两个阶段进行. • 第一阶段为预赛,按分组单循环赛进行,共分成四组,每组n
个人。 • 第二阶段为决赛，实行淘汰赛，由各小组的前二名参加，
最终决出冠军。 • 问冠军至少要打多少场比赛？
S1 r2 100 0.052 100 0.7854
• 钢板面积为
S ld 11 1
• 损耗为 W S S1 21.46% S
• 利用图2-5可以计算切割圆板的层数。此时，中间每层圆 板的高度为 3r ，边上第一层圆心与最后一层圆板圆心到 钢板边缘的高度之和为2r.设切割圆板的层数为n，则它应 满足
初 等 模 型
多元函数模型
问题5【居民电费模型】 在中国有些地区，由于电力紧张，政府鼓励“错峰”用电。四 川省电网居民生活电价表（单位：元/kwh）规定“一户一表”居 民生活用电收费标准如下： 1.月用电量在60kwh及以下部分，每日7:00～23:00期间用电， 每千瓦时0.4724元；23:00～次日7:00期间用电，每千瓦时0. 2295元。 2.月用电量在61至100kwh部分，每千瓦时提高标准0.08元。 3.月用电量在100至150kwh部分，每千瓦时提高标准0.11元。 4.月用电量在150kwh及以上部分，每千瓦时提高标准0.16元。 根据以上规定，建立该地“一户一表”居民用电量与电费 之间的函数关系模型。若某户居民6月份的用电量为：7:00～23: 00期间用了200kwh，23:00～次日7:00期间用了100kwh，请计算 这户居民6月份应缴纳的电费。根据所建立的模型为居民提供一 个合理化的用电建议。
• 第二人的打水时间为2t，则一共有(n-1)个人花了2tmin,
• 以此类推，其中一列打完需要的时间为：
• 2t*n+2t*(n-1)+...+2t=2t(1+2+。。。+n)=tn(n+1)
• 则2n个全打完。
• 共需要时间
• 2tn(n+1)
• 方式B：只有1列，每次分配水龙头时都优先满足最前面 的一个人。
五 模型的结果
六 模型的推广
问题6 手机资费模型
一 模型的假设
• 1.假设北京移动公司全球通“畅听99”共推出了4种手机 套餐方案。第i种（i=1,2,3,4）依次对应表中从上到下的 第i种方案。
• 2.假设套餐费用按月计算，不累计到下月。
二 变量说明
• yi 费
北京移动公司全球通“畅听99”第i种方案的资
径为0.1m的小圆板，请设计一个切割方案，尽量减少损 耗。请问该圆板还能压切出更多的小圆板吗？
一 模型的准备
• 在生产车间，如何下料使浪费最少主要取决于下料的方式 • 本问题等同于在一正方形的纸板上裁剪一些大小相同的圆
，使剩余的纸屑面积最小。 • 我们可以先用圆规在纸上画圆的方法帮助分析。 • 事实上有多种裁剪方式，方式（1）如图2-3所示，方式
一问题的分析
二 模型的假设
• 假设无运动员缺赛
三 模型的建立和求解
四 模型的推广
• 如果这次比赛的初赛和决赛均实行淘汰赛，问冠军至少要 打多少场比赛？
• 问题10【排队打水模型】
• 每天下午5:00至5:30之间开水房的拥塞每位同学都深有感 触，有些人喜欢一个人占几个水龙头，对每个人来讲，最 好的办法是在不违反排队顺序的前提下尽可能早的接触水 龙头。事实上大家也基本上是这样做的。
设完成一件事有m种方式，
第一种方式有n1种方法，
第二种方式有n2种方法, 则完成这件事总共
…；
有n1 + n2 + … + nm
第m种方式有nm种方法,
种方法 .
无论通过哪种方法都可以
完成这件事，
例如，某人要从甲地到乙地去, 可以乘火车, 也可以乘轮船.
火车有两班
ຫໍສະໝຸດ Baidu甲地
乙地
回答是 3 + 2 种方法
三 变量说明
•l •d •D •r •N • S1 •S •W
钢板的长 钢板的宽 圆板的直径 圆板的半径 圆板的数量 圆板的总面积 钢板的面积 损耗
四 模型的建立及求解
• 此时. l d 1, r 0.05, D 0.1 • 先考虑圆成正方形排列的情形,如图一所示.通过粗略的测
算和分析,可知这时横、纵方向均可压切10个半径为0.05 m的圆，共可压切10× 10=100个小圆板。 • 100个小圆板的面积为
• 试分析最节省时间的打水方案。
一 模型的假设
• 1.假设有2个水龙头，有2n个人来打水，每人两个壶。 • 2.假设每打一壶水需要的时间固定。
二 变量说明
• t 打一壶水需要的时间
三 模型的建立
•
下面考虑两种排队打水方式：
• 方式A（经验方法）：两个人同时各用一个水龙头。相当 于有2列，
• 每列的情况为：第1人需要2t min,则n个人都花了2t min
一 模型的假设
• 1.电表能准确地显示每户居民各时段的月用电量，且无公 摊。
• 2.假设收费标准按月执行
二 变量说明
•Z
一户一表居民的月电费
•x
居民一个月内在时段7：00~23：00的用电量
•y
居民一个月内在时段23：00~次日7：00的用电量
三 模型的分析和建立
四 模型的求解
• 这里x=200，y=100,因x+y=300>150， • 所以将x=200，y=100代入电费模型中第四个 • 得Z=150.13元
• 这样，第一个人先用两个水龙头，要t min,等他打完了第 二个人再用。
• 第2个人的等待时间和打水的时间共为t+t=2t min…，
• 以此类推，将2n个水壶打满水，共需要的时间为
•
t×(1+2+3+…+2n)=tn(n+1)/2.
四 模型的求解
• 如果n=5.t=1 • 方式A需要的时间为： • 2*1*5*(5+1)=60（min） • 方式B需要的时间为: • 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55(min)
•x
手机的本地主叫时间
• ai
第i种方案的月基本费
• bi
第i种方案中包含本地主叫分钟数
• ci
第i种方案中超出套餐部分本地主叫资费
• fi
第i种方案中除去月基本费和超出套餐部分本地
主叫费的费用
三 模型的建立
四 模型的求解
四 模型的推广
几何模型
• 问题7 切割钢板的优化模型 • 一道生产工序是用冲床从1m*1m的钢板上压切下100块直
（2）如图2-4所示，以及更多方式。 • 但要使浪费的材料最少，我们可以只考虑这两种方式。
二 模型的假设
• 1.假设冲床能高精度的切割，使圆与圆彼此相切。 • 2.假设不考虑钢板大小和圆的大小误差。 • 3.假设各种切割方式都不产生废品 • 4.假设圆与圆的接触形式为以下两种，且方式不混合： • （1）4圆相切，呈正方形排列 • （2）6圆相切，呈三角形排列
W S S1 17.53% S
五 模型的结果
• 要切出100块小圆板，可以按四圆相切，呈正方形排列的 方式切割，一排十个，十排。一共一百个。
• 如果按六圆相切，呈三角形排列的方式切割，可切出更多 的圆（105个）。
六 模型的推广
排列组合及其他模型
这里我们先简要复习一下计算古典概率 1. 加法原理 所要用到的 基本计数原理
五 模型的结果
• 按照方式B打水更有效率。也就是说。一个人同时使用两 个水龙头。
初等模型在比赛中的应用
• 1999年D题 钻井布局 • 2000年D题 空洞探测 • 2001年C题 基金使用计划 • 2007年C题 手机套餐优惠几何 • 2009年C题 卫星定位地面监测